Zylinderschnitt Ebene 2 Winkel < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:31 Fr 15.05.2015 | | Autor: | Mobbi |
| Aufgabe | Ein waagerechter Hohlzylinder (Rohr Øinnen 1000 Øaußen 1240) schneidet eine schiefe Ebene (Böschung) mit der Neigung 1:1,5 = 56,3° (zur Vertikale) in einem Horizontalwinkel von 25°. Die Schnittfläche ergibt eine Ellipse.
Gesucht: 1. Verrollwinkel der Hauptachse zur Vertikalachse
2. Winkel der Hauptachse zur Rohrachse (Schnittwinkel) |
Ich habe bisher eine grafischen Konstruktionsansatz ( ![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang). Der geht zwar ungefähr auf aber eben nicht ganz, da hier ein paar Vereinfachungen gemacht wurden. Außerdem ist der Weg zur Lösung recht lang und zeitaufwendig.
Ich suche nach einer rechnerischen Lösung. Vektorrechnung und Funktionsgleichungen sind jedoch einfach zu lange her.
Vielen Dank im vorraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Mo 15.06.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:39 So 13.09.2015 | | Autor: | Mobbi |
Ergänzung
In den letzten Monaten hatte ich noch 1x diesen Fall und über die grafische Lösung konnte der Schnittwinkel und die Verrollung ermittelt werden.
Es handelt sich dabei um Betonrohre die schräg aus eine Böschung herausragen. (Regenwassersamelbecken)
Das Ergebnis war in der Praxis ganz gut zu gebrauchen, aber leider nicht 100% richtig. Die Abweichungen vom Schnitt wurden durch die anprofilierung der Böschung ausgeglichen. Dies möchte ich aber gern vermeiden.
|
|
|
| |
|
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wenn ich dich richtig verstanden habe, ist die Situation folgende:
Die Böschung hat die im linken Bild gezeigte Neigung 1:1,5.
Dann soll sie von vorn nach hinten in y-Richtung laufen, genau quer zur x-Achse.
Der Normalenvektor [mm] \vec{n} [/mm] der Böschungsebene steht genau senkrecht zur Fläche. Seine Länge ist beliebig, und ich wähle daher
[mm] \vec{n}=\vektor{1 \\ 0 \\ 1,5} [/mm] (geht nur in x- und z-Richtung).
Das mittlere Bild zeigt nun den Blick von oben aus der Luft. Rechts verläuft irgendwo der untere Rand der Böschung, das (rote) Rohr steht nicht senkrecht zu dieser Linie, sondern weicht davon schräg um 25° ab (ist das so richtig?). Das Rohr verläuft waagerecht.
Wenn das so stimmt, hat der Vektor [mm] \vec{r} [/mm] in Rohrrichtung keine z-Komponente, sondern nur eine x- und y-Komponente. Setzt man in dem Dreieck die Rohrlänge auf 1, so erhält man
[mm] \vec{r}=\vektor{ cos( 25 °) \\ sin( 25 °) \\ 0} [/mm] (Länge ist hier 1, aber zunächst ebenfalls unwichtig).
Das 3. Bild zeigt nun (in anderer Position) die Böschungsebene mit dem normalenvektor [mm] \vec{n}, [/mm] auf den der Rohrvektor [mm] \vec{r} [/mm] stösst. Der Winkel zwischen beiden lässt sich durch das Skalarprodukt ermitteln:
[mm] \vec{r}*\vec{n}=|\vec{r}|*|\vec{n}|*cos(\alpha)
[/mm]
[mm] \vec{r}*\vec{n}=cos( [/mm] 25 °)*1+sin( 25 °)*0+0*1,5 = cos( 25 °)
[mm] |\vec{r}|=\wurzel{(cos( 25 °))^2+(sin( 25 °))^2+0^2} [/mm] = 1
[mm] |\vec{n}|=\wurzel{1^2+0^2+1,5^2} [/mm] = [mm] \wurzel{3,25}
[/mm]
Daraus ergibt sich nun:[math] cos(\alpha)=\bruch{cos(25°)}{\wurzel{3,25}} [/math] und damit [math]\alpha = 59,8 ° \approx 60 °.[/math]
Das bedeutet, dass die Rohrrichtung 60 ° von der Normalenrichtung abweicht. Bei 0 ° müsste man es genau quer abschneiden, jetzt muss man 60 ° davon abweichen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Nun legen wir das Rohr wie im unteren Bild links gezeigt so hin, dass das längste Stück im Schnitt unten liegt (!) und das Rohr nach rechts in eine neue x-Richtung zeigt. Dann weist der neue Normalenvektor [mm] \vec{N} [/mm] dieser Fläche um (ca.) 60 ° schräg nach oben, da wir ja mit 60 ° abgeschnitten haben. Er hat die Komponenten
[mm] \vec{N}=\vektor{ cos( 60 °) \\ 0 \\ sin(60)°}. [/mm] Seine Länge ist 1.
Nun rollen wir das Rohr so lange um den Winkel [mm] \Phi [/mm] auf uns zu, bis diese Fläche dieselbe Neigung hat wie die Böschung.
Zunächst ermitteln wir deren Wert:
Die Neigung der Böschung gegen die z-Achse ergibt sich wieder aus dem Skalarprodukt von [mm] \vec{n} [/mm] und [mm] \vec{z}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}:
[/mm]
[mm] \vec{n}*\vec{z}=|\vec{n}|*|\vec{z}|*cos(Böschungsw.) [/mm] oder
1,5 = [mm] 1*\wurzel{3,25}*cos(Böschungsw.)
[/mm]
[mm] cos(Böschungsw.)=\bruch{1,5 }{\wurzel{3,25}}
[/mm]
Böschungsw.=33,69 ° (=90°-56,3°)
Schaut man nun in die Skizze links, so stellt man fest, dass sich beim Rollen die x-Komponente cos(60°) des Vektors [mm] \vec{N} [/mm] nicht ändert. Schaut man dann von rechts gegen das Rohr, sieht man (rechte Skizze) zunächst die z-Komponente sin(60 °) von [mm] \vec{N}, [/mm] die sich nun um [mm] \phi [/mm] dreht. Dadurch verkürzt sie sich auf [mm] sin(60°)*cos(\phi), [/mm] und es entsteht eine y-Komponente [mm] -sin(60°)*sin(\phi). [/mm]
Somit heißt nun der neue Vektor
[mm] \vec{N}=\vektor{cos(60°) \\ - sin(60°)sin(\phi) \\ sin(60°)cos(\phi)} [/mm] mit der Länge 1.
Die Drehung soll nun so weit gehen, dass [mm] \vec{N} [/mm] die Neigung des Böschungswinkels erhält:
[mm] \vec{N}*\vec{z}=|\vec{N}|*|\vec{z}|*cos(Böschungsw.)
[/mm]
[mm] sin(60°)*cos(\phi)=1*1*\bruch{1,5 }{\wurzel{3,25}}
[/mm]
[mm] cos(\phi)=\bruch{1,5 }{\wurzel{3,25}*sin(60°)}
[/mm]
[mm] \phi\approx [/mm] 16,10 °. (Rollwinkel, Ausgangslage: Die Spitze liegt zunächst unten)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
|
|
