Zylindermengen Sigma-Algebra < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:10 Fr 25.09.2015 | | Autor: | Yomu |
Hallo,
Ich habe gelesen, dass die Zylindermengen zweier Sigma-Algebren zwar eine Algebra aber im Allgemeinen keine Sigma-Algebra auf dem Produktraum bilden.
Ich haette jetzt aber gedacht dass
[mm] \bigcup_{i=1}^{\infty} (A_{i} \times B_{i}) [/mm] = [mm] (\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}) \times (\bigcup_{i=1}^{\infty} B_{i}) [/mm] gilt,
was ja dann nicht sein kann. Aber wie ist das sonst definiert?
Kann mir jemand ein Beispiel geben in dem die Zylindermengen keine Sigma-Algebra bilden?
Vielen Dank, mit freundlichen Gruessen,
Johannes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:26 Fr 25.09.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Yomu!
> Ich habe gelesen, dass die Zylindermengen zweier
> Sigma-Algebren zwar eine Algebra aber im Allgemeinen keine
> Sigma-Algebra auf dem Produktraum bilden.
Wir haben also zwei messbare Räume [mm] $(\Omega_1,\mathcal{A}_1)$ [/mm] und [mm] $(\Omega_2,\mathcal{A}_2)$.
[/mm]
Dann heißt eine Menge [mm] $A\subseteq\Omega_1\times\Omega_2$ [/mm] eine Zylindermenge, wenn $A$ die Gestalt [mm] $A=A_1\times A_2$ [/mm] für gewisse [mm] $A_1\in\mathcal{A}_1$ [/mm] und [mm] $A_2\in\mathal{A}_2$ [/mm] hat.
Wenn ich bis hierhin noch richtig liege, bilden die Zylindermengen im Allgemeinen nicht einmal eine Algebra auf [mm] $\Omega_1\times\Omega_2$:
[/mm]
Betrachte z.B. [mm] $\Omega_1=\Omega_2=\{a,b\}$ [/mm] und [mm] $\mathcal{A}_1=\mathcal{A}_2=\mathcal{P}(\Omega)$.
[/mm]
Dann sind [mm] $A:=\{(a,a)\}=\{a\}\times\{a\}$ [/mm] und [mm] $B:=\{(b,b)\}=\{b\}\times\{b\}$ [/mm] Zylindermengen, [mm] $A\cup B=\{(a,a),(b,b)\}$ [/mm] jedoch nicht.
> Ich haette jetzt aber gedacht dass
> [mm]\bigcup_{i=1}^{\infty} (A_{i} \times B_{i})[/mm] =
> [mm](\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}) \times (\bigcup_{i=1}^{\infty} B_{i})[/mm]
> gilt,
> was ja dann nicht sein kann.
Diese Gleichheit ist im Allgemeinen tatsächlich falsch:
Für [mm] $(\omega_1,\omega_2)\in\Omega_1\times\Omega_2$ [/mm] liegt [mm] $(\omega_1,\omega_2)$ [/mm] genau dann in der rechten Seite, wenn [mm] $\omega_1$ [/mm] in irgendeinem [mm] $A_i$ [/mm] liegt und [mm] $\omega_2$ [/mm] in irgendeinem [mm] $B_j$ [/mm] liegt (für das möglicherweise [mm] $i\not=j$ [/mm] gilt).
Damit [mm] $(\omega_1,\omega_2)$ [/mm] auch in der linken Seite liegt, muss schon [mm] $\omega_1\in A_i$ [/mm] und [mm] $\omega_2\in B_i$ [/mm] für ein und dasselbe [mm] $i\in\IN$ [/mm] gelten.
> Aber wie ist das sonst
> definiert?
Welche Definition meinst du?
> Kann mir jemand ein Beispiel geben in dem die
> Zylindermengen keine Sigma-Algebra bilden?
In meinem obigen Beispiel bilden die Zylindermengen keine Algebra und somit erst recht keine Sigma-Algebra.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:48 Sa 26.09.2015 | | Autor: | Yomu |
Hallo tobit,
Vielen Dank fuer deine Antwort! Ich hatte mir die Mengenvereinigung in einem Produktraum falsch vorgestellt.
Mit freundlichen Gruessen,
Johannes
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