Zyklische Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:54 Mi 11.02.2009 | | Autor: | die_lisa |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, unser Dozent hat uns zur Vorbereitung auf die Klausur ein Blatt mit Mindestanforderungen ausgeteilt. Nun ist hierauf auch folgendes zu finden:
Es müssen mindestens die folgenden theoretischen Konzepte beherrscht werden:
... Beispiele von Gruppen: ... zyklische Gruppen [mm] \IZ [/mm] /n [mm] \cong [/mm] Cn
Ich weiß, dass eine zyklische Gruppe eine Gruppe ist, die nur von einem Element erzeugt wird und dass [mm] \IZ [/mm] von +1, bzw. -1 erzeugt wird. (ist das mit [mm] \IZ [/mm] /n gemeint?)
Aber was ist Cn? Sind dass die Drehungen? Und wie ist das mit der Isomorphie zu verstehen?
Meint das, dass z.B. [mm] \IZ [/mm] /4 [mm] \cong [/mm] C4 ist, da bei [mm] \IZ [/mm] /4 die Restklasse [4] der Null [0]entspricht und bei den Drehungen um 90° die 360° der Identität entspricht, also beide 4 Elemente besitzen?
Aber wie zeige ich dann die Bijektion...
Fragen über Fragen... ich hoffe, mir kann jmd helfen!
Vielen Dank schonmal im Voraus!
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> Es müssen mindestens die folgenden theoretischen Konzepte
> beherrscht werden:
> ... Beispiele von Gruppen: ... zyklische Gruppen [mm]\IZ[/mm] /n
> [mm]\cong[/mm] Cn
>
> Ich weiß, dass eine zyklische Gruppe eine Gruppe ist, die
> nur von einem Element erzeugt wird und dass [mm]\IZ[/mm] von +1,
> bzw. -1 erzeugt wird. (ist das mit [mm]\IZ[/mm] /n gemeint?)
Hallo,
die Bezeichnung [mm]\IZ[/mm] /n finde ich seltsam, meist schreibt man [mm] \IZ [/mm] / [mm] n\Z [/mm] oder auch [mm] \IZ_n. [/mm]
Damit sind die Restklassen modulo n mit der Addition gemeint.
> Aber was ist Cn? Sind dass die Drehungen?
Die Bezeichnungen sind etwas uneinheitlich. Auf jeden Fall ist [mm] C_n [/mm] eine multiplikative zyklische Gruppe der Ordnung n.
Ob sie bei Euch als Gruppe der Drehungen der Ebene, die ein regelmäßiges n-Eck auf sich selbst abbilden, definiert wurde, stellt Du man besten fest, indem Du in Deine Mitschrift schaust. Auf jeden Fall sind diese Drehgruppen multiplikativ geschriebene zyklische Gruppen der Ordnung n.
> Und wie ist das
> mit der Isomorphie zu verstehen?
??? Daß sie isomorph sind.
Sämtliche zyklische Gruppen dre Ordnung n sind isomorph.
> Meint das, dass z.B. [mm]\IZ[/mm] /4 [mm]\cong[/mm] C4 ist, da bei [mm]\IZ[/mm] /4
> die Restklasse [4] der Null [0]entspricht und bei den
> Drehungen um 90° die 360° der Identität entspricht, also
> beide 4 Elemente besitzen?
So in etwa ist das gemeint. Es sind beides zyklische Gruppen der Ordnung 4.
Wenn Du den Isomorphismus angeben willst, überlege Dir zunächst, welches die erzeugenden Elemente sind.
Einen Homomorphismus kannst Du definieren dadurch, daß dem einen erzeugenden Element das andere zugeordnet wird.
Von dieser Abbildung kannst Du dann zeigen, daß es ein Isomorphismus ist.
Bevor Du das tust, solltest Du Dir aber erstmal die Def. von Homomorphismus und Isomorphismus anschauen und auch aufschreiben
> Aber wie zeige ich dann die Bijektion...
Injektiv und surjektiv wäre hierfür zu zeigen.
Über das "wie" kann hier genauer gsprochen werden, wenn wir Deine Lösungsansätze sehen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:45 Mi 11.02.2009 | | Autor: | die_lisa |
Ja dass sämtliche zyklische Gruppen der gleichen Ordnung isomorph sind, wusste ich, nur nicht wie es zu zeigen ist ;o) - hab ich mich wohl falsch ausgedrückt!
Also zunächst zum Homomorphismus:
Sind (G,*) und (G´,*´) Gruppen, so heißt eine Abb. f: G->G´Homomorphismus, wenn gilt: f(a*b)=f(a)*´f(b) für alle a,b aus G.
Wenn diese Abb. zusätzlich bijektiv ist, spricht man von Isomorphismus.>
So also bei uns wären die Gruppen jetzt [mm] (\IZ_n,+) [/mm] und [mm] (C_n,*) [/mm] oder?
das erzeugende Element von [mm] \IZ_n [/mm] ist +1 (oder -1?!) und von [mm] C_n 2\pi/n [/mm] oder?
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> o zunächst zum Homomorphismus:
> Sind (G,*) und (G´,*´) Gruppen, so heißt eine Abb. f:
> G->G´Homomorphismus, wenn gilt: f(a*b)=f(a)*´f(b) für alle
> a,b aus G.
> Wenn diese Abb. zusätzlich bijektiv ist, spricht man von
> Isomorphismus.>
>
> So also bei uns wären die Gruppen jetzt [mm](\IZ_n,+)[/mm] und
> [mm](C_n,*)[/mm] oder?
Hallo,
ja.
> das erzeugende Element von [mm]\IZ_n[/mm] ist +1 (oder -1?!)
"Das" erzeugende Element ist meist nicht ganz richtig, denn meist gibt es mehrere Elemente, mit denen man die Gruppe erzeugen kann.
die 1 ist auf jeden Fall ein erzeugendes Element und die -1 ebenfalls.
> und
> von [mm]C_n 2\pi/n[/mm] oder?
Es wäre hier doch entscheidend zu wissen, wie Ihr bei Euch [mm] C_n [/mm] definiert habt. Sind die Elemente bei Euch Winkel? Wie werden sie verknüpft? Addiert? Kommt mir seltsam vor. Mir hätte jetzt eher vorgeschwebt, daß [mm] C_n [/mm] Drehungen enthält, und in dem Fall wäre die Drehung um den Winkel [mm] 2\pi/n [/mm] ein erzeugendes Element.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:11 Mi 11.02.2009 | | Autor: | die_lisa |
Also [mm] C_n [/mm] ist bei uns wie folgt definiert: { [mm] D(2\pi/n [/mm] *k / k=0,...,n-1) }
so wie du [mm] C_n [/mm] verstanden hast, meinte ich es auch... hatte doch auch geschrieben, dass ich glaube dass das erzeugende Element von [mm] C_n 2\pi/n [/mm] sei, oder?
Wie definier ich jetzt die Abbildung?
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> Also [mm]C_n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ist bei uns wie folgt definiert: { [mm]D(2\pi/n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
*k /
> k=0,...,n-1) }
>
> so wie du [mm]C_n[/mm] verstanden hast, meinte ich es auch... hatte
> doch auch geschrieben, dass ich glaube dass das erzeugende
> Element von [mm]C_n 2\pi/n[/mm] sei, oder?
Eben. Und [mm] 2\pi/n [/mm] ist ein Winkel und keine Drehung.
> Wie definier ich jetzt die Abbildung?
So:
[mm] \varphi: \IZ_n \to C_n
[/mm]
[mm] k\mapsto D(2\pi/n*k).
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 Mi 11.02.2009 | | Autor: | die_lisa |
ok, das scheint mir plausibel  und wie kann ich jetzt zeigen, dass es sich um einen isomorphismus handelt?
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> ok, das scheint mir plausibel und wie kann ich jetzt
> zeigen, dass es sich um einen isomorphismus handelt?
Hallo,
genau darüber solltest Du jetzt aml ein wenig allein nachdenken. beachte, daß wir hier eigene Lösungsansätze von Dir erwarten.
Du mußt erstmal zeigen, daß es ein Gruppenhomomorphismus ist, denn wenn das nicht der Fall ist, braucht man über den rest gar nciht mehr nachzudenken.
Für die Injektivität und Surjektivität schau Dir Kern und Bild an.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:10 Mi 11.02.2009 | | Autor: | die_lisa |
Also folgender Ansatz:
Seien k, k' aus [mm] \IZ [/mm] beliebig
[mm] \varphi [/mm] (k+k') = [mm] D(2\pi/n [/mm] *(k+k'))
[mm] \varphi [/mm] (k) + [mm] \varphi [/mm] (k') = [mm] D(2\pi/n [/mm] *(k)) + [mm] D(2\pi/n [/mm] *(k'))
so, darf ich jetzt einfach schreiben, dass [mm] D(2\pi/n [/mm] *(k)) + [mm] D(2\pi/n *(k'))=D(2\pi/n [/mm] *(k+k'))?
Anschaulich ist mir das klar, aber ist das auch mathematisch korrekt?
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> Also folgender Ansatz:
> Seien k, k' aus [mm]\IZ[/mm] beliebig
> [mm]\varphi[/mm] (k+k') = [mm]D(2\pi/n[/mm] *(k+k'))
> [mm]\varphi[/mm] (k) + [mm]\varphi[/mm] (k') = [mm]D(2\pi/n[/mm] *(k)) + [mm]D(2\pi/n[/mm]
> *(k'))
>
> so, darf ich jetzt einfach schreiben, dass [mm]D(2\pi/n[/mm] *(k))
> + [mm]D(2\pi/n *(k'))=D(2\pi/n[/mm] *(k+k'))?
> Anschaulich ist mir das klar, aber ist das auch
> mathematisch korrekt?
Hallo,
Ihr werdet ja die Gruppe [mm] C_n [/mm] mit irgendeiner Verknüpfung definiert haben. Aber doch nicht mit der Addition, oder? Drehungen addiert man ja normalerweise nicht, sondern man führt sie nacheinander aus. Schau nach, welche Verknüpfung für die Elemente von [mm] C_n [/mm] wie definiert war.
Du mußt bei solchen Aufgaben wirklich an die Definitionen gehen - denn wie Du schon sagst: anschaulich/intuitiv ist das alles klar.
Gruß v Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 Mi 11.02.2009 | | Autor: | die_lisa |
[mm] C_n [/mm] := { I, [mm] \delta,\delta²,...\delta^{n-1} [/mm] } mit [mm] \delta=D(2\pi/n) [/mm] = das was ich oben schon definiert hatte... mehr haben wir leider nicht aufgeschrieben...
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> [mm]C_n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= { I, [mm]\delta,\delta²,...\delta^{n-1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} mit
> [mm]\delta=D(2\pi/n)[/mm] = das was ich oben schon definiert
> hatte... mehr haben wir leider nicht aufgeschrieben...
Hallo,
dann kannst Du die Abbildung ja schreibfreundlich so definieren:
[mm] \varphi(k):=\delta^k.
[/mm]
Irgendwo habt Ihr bestimmt stehen, daß [mm] \delta^r\circ \delta^s=\delta^{r+s} [/mm] ist.
Zeigen mußt Du nun:
[mm] \varphi(k+k')=\varphi(k)\circ \varphi(k')
[/mm]
Gruß v. Angela
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[mm] \varphi(k+k')=\delta^{k+k'}=\delta^k\circ \delta^{k'}= \varphi(k)\circ \varphi(k')
[/mm]
soweit so gut... würdest du mir noch bei der bijektion helfen?
also um z.z., dass [mm] \varphi [/mm] injektiv ist, betrachte ich den kern der abbildung, also alle elemente aus [mm] \IZ_n [/mm] die auf das neutralelement aus [mm] C_n [/mm] also der 1 abebildet werden. da das in unserem fall nur die 0 ist, was das neutralelement von [mm] \IZ_n [/mm] ist, besteht der kern nur aus dem neutralelement und somit ist die abbildung injektiv.
stimmt das so?
nach definition ist ja auch klar, dass [mm] \varphi [/mm] surjektiv ist, da für alle [mm] \delta^k [/mm] aus [mm] C_n [/mm] ein k aus [mm] \IZ_n [/mm] (nämlich immer genau das k) existiert so dass [mm] \varphi(k)=\delta^k
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:21 Fr 13.02.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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