Zwischenwertsatz < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:04 Di 08.04.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend !
Ich beschäftige mich zur Zeit mit dem Zwischenwertsatz. Die Bedeutung des Satzes ist mir klar, nur bei dem Beweis kann ich gewissen Schlussfolgerungen einfach nicht nachvollziehen. Ich hoffe, dass mir jemand behilflich sein kann.
SATZ :
Seinen [mm] a,b \in \mathbb R [/mm] mit [mm] a < b [/mm] und sei
[mm] f: \left[ a, b \right] \to \mathbb R [/mm] eine stetige Funktion.
Sei [mm] \gamma [/mm] eine reelle Zahl, die zwischen [mm] f(a) [/mm] und [mm] f(b) [/mm] liegt.
Dann gibt es ein [mm] c \in \left[ a, b \right] [/mm] mit [mm] f(c) = \gamma [/mm] .
BEWEIS
Sei o.B.d.A. [mm] f(a) < \gamma < f(b) [/mm]
Sei [mm] X := \{ x \in \left[ a, b \right] | f(x) < \gamma \} [/mm]
Sei [mm] c: = \sup(X) [/mm]
( [mm] X \ne \emptyset [/mm] , weil [mm] a \in X [/mm] ;
Die Menge X ist nach oben beschränkt, weil b eine obere Schranke ist )
[ 1. Frage :
Ist diese Zwischenbemerkung in den runden Klammern einfach eine "Bemerkung" , oder wird sie irgendwo verwendet im Beweis? Ich sehe es nämlich nicht ... ]
[ So, die kommende Zeilen kann ich nicht wirklich nachvollziehen, vor allem nicht die unterstrichenen Satzteile... :-( ]
Wäre [mm] f(c) > \gamma [/mm] , so gäbe es ein [mm] \delta > 0 [/mm], mit [mm] f(x) > \gamma \ \forall x [/mm] mit [mm] \left| x - c \right| < \delta [/mm] , und c wäre nicht die kleinste obere Schranke von X.
Wäre [mm] f(c) < \gamma [/mm] , so gäbe es ein [mm] \delta > 0 [/mm] mit [mm] f(x) < \gamma \ \forall x [/mm] mit [mm] \left| x - c \right| < \delta [/mm] .
Danke für die Hilfe!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:46 Di 08.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen!
> ( [mm]X \ne \emptyset[/mm] , weil [mm]a \in X[/mm] ;
> Die Menge X ist nach oben beschränkt, weil b eine obere
> Schranke ist )
>
> [ 1. Frage :
> Ist diese Zwischenbemerkung in den runden Klammern
> einfach eine "Bemerkung" , oder wird sie irgendwo verwendet
> im Beweis? Ich sehe es nämlich nicht ... ]
Da b eine obere Schranke ist, existiert das Supremum. Wenn die Menge keine obere Schranke hat, funktioniert der Widerspruchsbeweis nicht.
> Wäre [mm]f(c) > \gamma[/mm] , so gäbe es ein [mm]\delta > 0 [/mm], mit [mm]f(x) > \gamma \ \forall x[/mm]
> mit [mm]\left| x - c \right| < \delta[/mm] , und c wäre nicht die kleinste obere Schranke von X.
Was du hier benutzt, ist die Stetigkeit von f, um einen Widerspruchsbeweis zu führen.
Da f stetig in c ist gilt:
Zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gibt es ein [mm] $\delta>0$, [/mm] sodass [mm] $|f(x)-f(c)|<\varepsilon$, [/mm] wenn [mm] $|x-c|<\delta$.
[/mm]
Nun nimm an, dass [mm] $f(c)>\gamma$ [/mm] ist, und wähle [mm] $\varepsilon:=f(c)-\gamma$. [/mm] Dann ist
[mm] |f(x)-f(c)| < f(c)-\gamma [/mm].
Entweder ist [mm] $f(x)\ge [/mm] f(c) > [mm] \gamma$, [/mm] oder aber $f(x) < f(c)$, woraus
[mm] f(c)-\gamma > |f(x)-f(c)| = f(c) - f(x) \gdw f(x) >\gamma [/mm]
folgt. Es ist also wegen der Stetigkeit immer $f(x) [mm] >\gamma$, [/mm] wenn [mm] $|x-c|<\delta$. [/mm] Daher gibt solche Werte von x zwischen $c$ und [mm] $c+\delta$ [/mm] und dies ist ein Widerspruch zur Annahme, dass c die größte obere Schranke der Menge X ist.
Die andere Hälfte kannst du jetzt selber nachvollziehen, oder? 
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 Di 08.04.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Ich habe mir jetzt die Antwort viele Male durchgelesen und leider habe ich immernoch ein paar Fragen.
Und zwar:
> Was du hier benutzt, ist die Stetigkeit von f, um einen
> Widerspruchsbeweis zu führen.
>
> Da f stetig in c ist gilt:
> Zu jedem [mm]\varepsilon > 0[/mm] gibt es ein [mm]\delta>0[/mm], sodass
> [mm]|f(x)-f(c)|<\varepsilon[/mm], wenn [mm]|x-c|<\delta[/mm].
>
> Nun nimm an, dass [mm]f(c)>\gamma[/mm] ist, und wähle
> [mm]\varepsilon:=f(c)-\gamma[/mm]. Dann ist
>
> [mm]|f(x)-f(c)| < f(c)-\gamma [/mm].
>
> Entweder ist [mm]f(x)\ge f(c) > \gamma[/mm], oder aber [mm]f(x) < f(c)[/mm],
> woraus
>
> [mm]f(c)-\gamma > |f(x)-f(c)| = f(c) - f(x) \gdw f(x) >\gamma[/mm]
>
> folgt. Es ist also wegen der Stetigkeit immer [mm]f(x) >\gamma[/mm],
> wenn [mm]|x-c|<\delta[/mm].
Hier hakt es! sehe ich das richtig, dass hier jetzt nur [mm]f(x) < f(c)[/mm],
betrachtet wurde? Denn ich habe das durchgespielt mit [mm]f(x)\ge f(c) > \gamma[/mm] und ich komme dort nicht zu dem Schluss , dass
[mm]f(x) >\gamma[/mm].
Denn wenn ich annehme, dass [mm]f(x)\ge f(c) > \gamma[/mm]
dann ist doch
[mm]f(c)-\gamma > |f(x)-f(c)| = f(x) - f(c) [/mm].
Wie zeigt man denn das in diesem Fall?
> Daher gibt solche Werte von x zwischen [mm]c[/mm]
> und [mm]c+\delta[/mm] und dies ist ein Widerspruch zur Annahme, dass
> c die größte obere Schranke der Menge X ist.
>
> Die andere Hälfte kannst du jetzt selber nachvollziehen,
> oder?
Ich werde es sofort versucher, wenn ich die erst Hälfte vollständig verstanden habe  .
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:39 Di 08.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen!
> Hier hakt es! sehe ich das richtig, dass hier jetzt nur
> [mm]f(x) < f(c)[/mm],
> betrachtet wurde? Denn ich habe das durchgespielt mit
> [mm]f(x)\ge f(c) > \gamma[/mm] und ich komme dort nicht zu dem
> Schluss , dass
> [mm]f(x) >\gamma[/mm].
> Denn wenn ich annehme, dass [mm]f(x)\ge f(c) > \gamma[/mm]
Aber aus der Ungleichungskette [mm] $f(x)\ge [/mm] f(c) [mm] >\gamma$ [/mm] ergibt sich direkt [mm] $f(x)>\gamma$ [/mm] (wegen Transitivität der Ordnungsrelation).
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:05 Di 08.04.2008 | | Autor: | Irmchen |
Oh.... ja, klar! Sorry!
Werde mich jetzt an dem zweiten Teil versuchen und mich wahrscheinlich wieder melden ....
Vielen Dank nochmal!
Viele Grüße
Irmchen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 Do 10.04.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Morgen!
Ich habe jetzt die eine Richtung verstanden ,aber bei der anderen verstehe ich nicht den Widerspruch leider!
So:
....
( Zweite Richtung )
Wäre [mm] f(c) < \gamma [/mm], so wähle [mm] \epsilon : = \gamma - f(c) [/mm].
Dann ist
[mm] \left| f(x) - f(c) \right| < \gamma - f(c) = \epsilon [/mm]
aufgrund der Stetigkeit der Funktion im Punkt c.
Entweder ist
[mm] f(x) \ge f(c) [/mm] oder [mm] f(x) < f(c) < \gamma [/mm].
Aus [mm] f(x) \ge f(c) [/mm] folgt
[mm] \gamma - f(c) > \left| f(x) - f(c) \right| = f(x) - f(c) \gdw f(x) < \gamma [/mm]
Also ist wegen der Stetigkeit bei diesem Fall immer [mm] f(x) < \gamma [/mm] , wenn [mm] \left| x- c \right| < \delta [/mm].
So, und nun sehe ich nicht nen Widerspruch :-( ...
Viele liebe Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 Do 10.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Irmchen,
> Guten Morgen!
>
> Ich habe jetzt die eine Richtung verstanden ,aber bei der
> anderen verstehe ich nicht den Widerspruch leider!
> So:
>
> ....
> ( Zweite Richtung )
>
> Wäre [mm]f(c) < \gamma [/mm], so wähle [mm]\epsilon : = \gamma - f(c) [/mm].
>
> Dann ist
> [mm]\left| f(x) - f(c) \right| < \gamma - f(c) = \epsilon \blue{> 0}[/mm]
gültig für alle $x$ mit $|x-c| < [mm] \delta$
[/mm]
> aufgrund der Stetigkeit der Funktion im Punkt c.
>
> Entweder ist
>
> [mm]f(x) \ge f(c) [/mm] oder [mm]f(x) < f(c) < \gamma [/mm].
1. Fall: $f(x) [mm] \ge [/mm] f(c)$
> Aus [mm]f(x) \ge f(c)[/mm] folgt
>
> [mm]\gamma - f(c) > \left| f(x) - f(c) \right| = f(x) - f(c) \gdw f(x) < \gamma[/mm]
>
> Also ist wegen der Stetigkeit bei diesem Fall immer [mm]f(x) < \gamma[/mm]
> , wenn [mm]\left| x- c \right| < \delta [/mm].
> So, und nun sehe ich nicht nen Widerspruch :-( ...
Naja, für alle $x$ mit [mm] $|x-c|<\delta$ [/mm] und $f(x) [mm] \ge [/mm] f(c)$ folgt, dass $f(x) < [mm] \gamma$. [/mm] Ebenso folgt dies für alle $x$ mit [mm] $|x-\delta|$ [/mm] und $f(x) < f(c)$.
Konsequenz:
Für alle $x [mm] \in (c-\delta,c+\delta) \subset [/mm] [a,b]$ gilt $f(x) < [mm] \gamma$.
[/mm]
Das impliziert insbesondere:
Für [mm] $C:=c+\frac{\delta}{2}$ [/mm] gilt $C [mm] \in (c-\delta,c+\delta)$ [/mm] (Frage: Warum kann nicht $c=b$ gelten?), und daher
$f(C) < [mm] \gamma$
[/mm]
und zudem
[mm] $(\*)$ [/mm] $C > c$ (Da ja [mm] $\delta [/mm] > 0$ ist!)
Nach Definition von $c$ gilt aber
[mm] $c:=\sup\{x \in [a,b]: f(x) < \gamma\}=\sup [/mm] X$,
d.h. wegen $C [mm] \in [/mm] X$ muss insbesondere $c [mm] \ge [/mm] C$ gelten nach der Definition des Begriffes Supremum. Das steht aber im Widerspruch zu [mm] $(\*)$.
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 14:00 Do 10.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Rainer,
> Hallo Irmchen!
>
> > ( [mm]X \ne \emptyset[/mm] , weil [mm]a \in X[/mm] ;
> > Die Menge X ist nach oben beschränkt, weil b eine
> obere
> > Schranke ist )
> >
> > [ 1. Frage :
> > Ist diese Zwischenbemerkung in den runden Klammern
> > einfach eine "Bemerkung" , oder wird sie irgendwo verwendet
> > im Beweis? Ich sehe es nämlich nicht ... ]
>
> Da b eine obere Schranke ist, existiert das Supremum. Wenn
> die Menge keine obere Schranke hat, funktioniert der
> Widerspruchsbeweis nicht.
>
> > Wäre [mm]f(c) > \gamma[/mm] , so gäbe es ein [mm]\delta > 0 [/mm], mit [mm]f(x) > \gamma \ \forall x[/mm]
>
> > mit [mm]\left| x - c \right| < \delta[/mm] , und c wäre nicht die
> kleinste obere Schranke von X.
>
>
> Was du hier benutzt, ist die Stetigkeit von f, um einen
> Widerspruchsbeweis zu führen.
>
> Da f stetig in c ist gilt:
> Zu jedem [mm]\varepsilon > 0[/mm] gibt es ein [mm]\delta>0[/mm], sodass
> [mm]|f(x)-f(c)|<\varepsilon[/mm], wenn [mm]|x-c|<\delta[/mm].
>
> Nun nimm an, dass [mm]f(c)>\gamma[/mm] ist, und wähle
> [mm]\varepsilon:=f(c)-\gamma[/mm]. Dann ist
>
> [mm]|f(x)-f(c)| < f(c)-\gamma [/mm].
>
> Entweder ist [mm]f(x)\ge f(c) > \gamma[/mm], oder aber [mm]f(x) < f(c)[/mm],
> woraus
>
> [mm]f(c)-\gamma > |f(x)-f(c)| = f(c) - f(x) \gdw f(x) >\gamma[/mm]
>
> folgt. Es ist also wegen der Stetigkeit immer [mm]f(x) >\gamma[/mm],
> wenn [mm]|x-c|<\delta[/mm]. Daher gibt solche Werte von x zwischen [mm]c[/mm]
> und [mm]c+\delta[/mm] und dies ist ein Widerspruch zur Annahme, dass
> c die größte obere Schranke der Menge X ist.
Es gibt also $x [mm] \in (c,c+\delta)$ [/mm] mit der Eigenschaft, dass $f(x) > [mm] \gamma$. [/mm] (Die gibt es nicht nur, es gilt sogar für alle $x [mm] \in (c,c+\delta)$, [/mm] dass $f(x) [mm] \gamma$.) [/mm]
Das bereitet mir hier eigentlich keine Sorgen
Was mir Sorgen macht:
Es ist ja [mm] $c:=\sup\{x \in [a,b]: f(x) < \gamma\}=\sup [/mm] X$
Und wenn nun $f(x) > [mm] \gamma$ [/mm] für alle $x [mm] \in (c-\delta,c]$ [/mm] gilt, dann habe ich das Problem, dass die Konsequenz ist, dass z.B. [mm] $\sup [/mm] X [mm] \le c-\frac{\delta}{2}$ [/mm] gelten müsste und damit [mm] $\sup [/mm] X < c$.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:50 Do 10.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Irmchen,
ich wollte nur noch kurz anmerken, falls Du Dir das noch nicht überlegt hast, warum o.B.d.A. $f(a) < f(b)$ angenommen werden kann.
Ist nämlich $f(a)=f(b)$, so ist die Behauptung trivial, da dann [mm] $I:=[f(a),f(b)]=\{f(a)\}=\{f(b)\}$, [/mm] d.h. für [mm] $\gamma \in [/mm] I$ folgt [mm] $\gamma=f(a)$ [/mm] und $c:=a$ (oder $c:=b$) erfüllt dann [mm] $f(c)=\gamma$.
[/mm]
Im Falle $f(a) > f(b)$ betrachte man anstatt der Funktion $f$ die Funktion $g:=-f$ (punktw. definiert, d.h. $g(x)=(-f)(x):=-f(x)$ für alle $x [mm] \in [/mm] [a,b]$). Denn $f$ ist stetig auf $[a,b]$ genau dann, wenn es $-f$ ist.
Gruß,
Marcel
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