Zwei Formeln für die Varianz < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:02 Mo 24.08.2009 | | Autor: | cauchy |
| Aufgabe | In einer Urne befinden sich n Kugeln, die mit den Zahlen 1,...,n durchnummeriert sind [mm] (n\ge [/mm] 2). Es werden nacheinander zwei Kugeln (ohne Zurücklegen) gezogen. Es sei X die Zufallsvariable, die die Nummer der ersten gezogenen Kugel angibt, und Y die Zufallsvariable, die die Nummer der zweiten gezogenen Kugel angibt. Bestimmen Sie:
i) E(X) und E(Y)
ii) V(X) und V(Y) |
Hallo Leute, meine Frage bezieht sich auf die Berechnung von V(X).
Die Varianz ist ja durch zwei verschiedene Formeln definiert:
V(X) = [mm] E((X-E(X))^2)
[/mm]
= [mm] E(X^2) [/mm] - [mm] E(X)^2
[/mm]
(ich habe bereits ausgerechnet, dass [mm] E(X)=\bruch{n+1}{2} [/mm] ist)
Wenn ich die erste Formel benutze, rechne ich:
V(X) = [mm] \sum^{n}_{i=1}{(i-\bruch{n+1}{2})^2}*\bruch{1}{n} [/mm] = [mm] \bruch{n^2-1}{12}
[/mm]
Wenn ich die zweite nehme rechne ich:
V(X) = [mm] \sum_{i=1}^{n}{\bruch{i^2}{n}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n^2}=\bruch{2n^4+3n^3+n^2-6}{6n^2}
[/mm]
Wie kommt das? Habe - glaube ich - nicht falsch gerechnet. Ein falscher Ansatz? Sind die Formeln gar nicht austauschbar? Bitte helft mir, kommt mir irgendwie spanisch vor;)
LG, cauchy
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Hallo cauchy,
> In einer Urne befinden sich n Kugeln, die mit den Zahlen
> 1,...,n durchnummeriert sind [mm](n\ge[/mm] 2). Es werden
> nacheinander zwei Kugeln (ohne Zurücklegen) gezogen. Es
> sei X die Zufallsvariable, die die Nummer der ersten
> gezogenen Kugel angibt, und Y die Zufallsvariable, die die
> Nummer der zweiten gezogenen Kugel angibt. Bestimmen Sie:
>
> i) E(X) und E(Y)
> ii) V(X) und V(Y)
> Hallo Leute, meine Frage bezieht sich auf die Berechnung
> von V(X).
>
> Die Varianz ist ja durch zwei verschiedene Formeln
> definiert:
>
> V(X) = [mm]E((X-E(X))^2)[/mm]
> = [mm]E(X^2)[/mm] - [mm]E(X)^2[/mm]
>
> (ich habe bereits ausgerechnet, dass [mm]E(X)=\bruch{n+1}{2}[/mm]
> ist)
>
> Wenn ich die erste Formel benutze, rechne ich:
>
> V(X) = [mm]\sum^{n}_{i=1}{(i-\bruch{n+1}{2})^2}*\bruch{1}{n}[/mm] =
> [mm]\bruch{n^2-1}{12}[/mm]
>
> Wenn ich die zweite nehme rechne ich:
>
> V(X) = [mm]\sum_{i=1}^{n}{\bruch{i^2}{n}}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{n^2}=\bruch{2n^4+3n^3+n^2-6}{6n^2}[/mm]
>
> Wie kommt das? Habe - glaube ich - nicht falsch gerechnet.
> Ein falscher Ansatz? Sind die Formeln gar nicht
> austauschbar? Bitte helft mir, kommt mir irgendwie spanisch
> vor;)
Bei Verwendung der zweiten Formel rechnest Du so:
[mm]V\left(x\right)=\left( \ \summe_{i=1}^{n}\bruch{i^{2}}{n} \ \right)-\left( \ \bruch{n+1}{2} \ \right)^{2}=\bruch{1}{n}\left( \ \summe_{i=1}^{n}i^{2} \ \right)-\left( \ \bruch{n+1}{2} \ \right)^{2}[/mm]
>
> LG, cauchy
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:45 Mo 24.08.2009 | | Autor: | cauchy |
Oh, nein, du hast natürlich vollkommen Recht!! Vielen Dank, da hatte ich einen Denkfehler....
DANKE
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