Zusammenhang partielle Abl. < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich beschäftige mich mal wieder mit den partiellen Ableitungen einer Option und habe gelesen, dass man einerseits mit dem Euler-Theorem von [mm] $\bruch{\partial V}{\partial S}$ [/mm] auf [mm] $\bruch{\partial V}{\partial K}$ [/mm] schließen kann, weil die Option linear homogen in S und K ist. Das kann ich auch nachvollziehen.
Jetzt soll es aber auch einen Zusammenhang zwischen [mm] $\bruch{\partial V}{\partial r}$, $\bruch{\partial V}{\partial \sigma}$ [/mm] und [mm] $\bruch{\partial V}{\partial T}$ [/mm] geben.
In der Optionspreisformel tritt das T immer nur in Verbindung mit [mm] $\sigma$ [/mm] oder in Verbindung mit r auf, also kann man (IRGENDWIE) von 2 der 3 partiellen Ableitungen auf die dritte schließen.
Angenommen, ich habe einen europäischen Call, dann ist der ja gegeben durch:
[mm] $$C(0,S,K,T)=SN(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2),$$
[/mm]
wobei
[mm] $$d_1=\bruch{\ln S - \ln K + (r+0.5 \sigma^2)T}{\sigma \sqrt{T}},$$
[/mm]
[mm] $$d_2=d_1-\sigma\sqrt{T}.$$
[/mm]
Heute ist der Zeitpunkt 0, in T ist die Option fällig, K ist der Strike.
Dass T tatsächlich nur bei r und [mm] $\sigma$ [/mm] steht, sehe ich, aber welche mathematische Regel steckt dahinter, dass man dann von 2 Abl. auf die dritte schließen kann?
Sicher bin ich mir nicht, aber angeblich soll [mm] $$\bruch{\partial V}{\partial r}+ \bruch{\partial V}{\partial \sigma^2}=\bruch{\partial V}{\partial T}$$ [/mm] gelten. (Das kann auch falsch sein!)
Wie leite ich denn eigentlich etwas nach [mm] $\sigma^2$ [/mm] ab, wenn nur ein [mm] $\sigma$ [/mm] in der Formel steht? Muss ich das [mm] $\sigma$ [/mm] dann als [mm] $\sqrt{\sigma^2}$ [/mm] auffassen und dann ableiten?
Wer kennt sich mit diesen Zusammenhängen etwas aus oder kann mir sagen, wo ich etwas darüber finde??
Danke schonmal,
Katrin.
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Also, ich habe folgendes überlegt:
[mm] $$f(T,r,\sigma^2)=f(g(Tr),h(T\sigma^2)).$$
[/mm]
Daher gilt:
[mm] $$\bruch{\partial f}{\partial T}=\bruch{\partial f}{\partial g} [/mm] r + [mm] \bruch{\partial f}{\partial h}\sigma^2,$$
[/mm]
[mm] $$\bruch{\partial f}{\partial r}=\bruch{\partial f}{\partial g}T$$
[/mm]
[mm] $$\bruch{\partial f}{\partial \sigma^2}=\bruch{\partial f}{\partial h} [/mm] T.$$
Also hat man:
[mm] $$\bruch{\partial f}{\partial T}=\bruch{1}{T}\bruch{\partial f}{\partial r} [/mm] + [mm] \bruch{1}{T}\bruch{\partial f}{\partial \sigma^2}.$$
[/mm]
NACHTRAG: Diese Formel stimmt natürlich nicht, ich hab da was vergessen: Richtig lautet es:
[mm] $$\bruch{\partial f}{\partial T}=\bruch{r}{T}\bruch{\partial f}{\partial r} [/mm] + [mm] \bruch{\sigma^2}{T}\bruch{\partial f}{\partial \sigma^2}.$$
[/mm]
So ähnlich könnte es gehen, aber dann hab ich das T in der Formel.
Kann einer diese Rechnung absegnen?? Der Zusammenhang OHNE Konstanten ist wohl wirklich falsch! Ich guck mal bei den Greeks von Black-Scholes, was da rauskommt.
Ist das Theta eigentlich die partielle Ableitung nach der ZEIT oder der RESTLAUFZEIT? Und warum schreiben manche ein - davor und manche nicht?? Wie genau ist THETA definiert?
Ich möchte aber trotzdem noch gerne wissen, wie man nach [mm] $\sigma^2$ [/mm] ableitet, wenn nur [mm] $\sigma$ [/mm] in der Formel steht.
Danke, Katrin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:17 Sa 24.09.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Katrin!
Einer meiner Lieblingssätze vorneweg: 
Ich habe von diese Thematik [mm] $0,\overline{0}$ [/mm] Ahnung!
Das soll mich jetzt aber nicht davon abhalten, einen Verdacht zu äußern ...
Kann es sein, dass sich hier ein Tippfehler eingeschlichen hat, und es soll heißen:
[mm]... \ + \ \bruch{\partial^{\red{2}} V}{\partial \sigma^2} \ ...[/mm]
Denn in diesem Fall handelt es sich ja wohl um die 2. Ableitung von $V_$ nach der Variablen [mm] $\sigma$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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Hallo,
nein, ausnahmsweise ist es kein Tippfehler! ![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
[mm] $\sigma$ [/mm] ist ein Parameter im Black-Scholes-Modell, die so genannte Volatilität. Manchmal kommt aber auch [mm] $\sigma^2$ [/mm] vor, die Varianz. Ich habe zum Beispiel [mm] $$f(x,\sigma)=2x\sigma-\sigma^2$$, [/mm] und f will ich nach [mm] $\sigma^2$ [/mm] ableiten. Einmal. Das ist mein Problem.
Es ist definitiv NICHT die zweite partielle Ableitung.
Wie leitet man denn [mm] $f(x)=2x-4x^2$ [/mm] nach [mm] $x^2$ [/mm] ab? Geht sowas? Aber genau das brauch ich hier.
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Hallo Finanz-Katrin,
> Wie leitet man denn [mm]f(x)=2x-4x^2[/mm] nach [mm]x^2[/mm] ab? Geht sowas?
Stelle die Funktion nur mit Hilfe von Potenzen von [mm]x^{2}[/mm] dar:
[mm]f(x)\; = \;2\;x\; - \;4\;x^2 \; = \;2\;\sqrt {x^2 } \; - \;4\;x^2 [/mm]
Nun führst Du eine neue Variable [mm]u\; = \;x^2 [/mm] ein.
Dann ergibt sich:
[mm]f(u)\; = \;2\;\sqrt u \; - \;4\;u[/mm]
Dies kannst Du dann problemlos ableiten:
[mm]\frac{{df}}
{{du}}\; = \;\frac{1}
{{\sqrt u }}\; - \;4[/mm]
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:57 Mo 26.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Katrin!
Natürlich gilt mit der Kettenregel
[mm] $\frac{\partial f}{\partial \sigma} [/mm] = [mm] \frac{\partial f}{\partial \sigma^2} \cdot [/mm] 2 [mm] \sigma$.
[/mm]
Man sieht im BS-Modell, dass deine Gleichung nicht richtig ist, denn dort gilt ja:
[mm] $\frac{\partial f}{\partial \tau} [/mm] = [mm] \frac{r}{\tau} \cdot \frac{\partial f}{\partial r} [/mm] + [mm] \frac{\sigma^2}{\tau} \cdot \frac{\partial f}{\partial \sigma^2}$.
[/mm]
Im Allgemeinen ist Theta die Ableitung nach [mm] $\tau$ [/mm] (oder $T$), in einigen Fällen aber (leider uneinheitlich) auch nach $t$, was wegen [mm] $\tau [/mm] = T-t$ eine Vorzeichenänderung mit sich zieht.
Liebe Grüße
Julius
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Ok,
dann muss ich mal gucken, wie ich auf diese Faktoren komm.
Danke für die Hilfe, ich leite dann einfach noch ein paar Stündchen ab! 
Katrin
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