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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Zufallsvariablen
Zufallsvariablen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Zufallsvariablen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:00 So 26.01.2014
Autor: petapahn

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo Leute,
ich habe eine Frage:
in meinem Skript steht:
Seien X, Y zwei unabhängige Zufallsvariablen. Sei 1 die charakteristische Fkt.. Dann gilt für
$P(X-Y \le 0)= \integral_{\IR} \integral_{\IR}{f_{X,Y}(x,y)1_{{((x,y)|x-y\le 0)}}}dxdy = \integral_{\IR} \integral_{\IR}{f_{X}(x)*f_{Y}(y)1_{{((x,y)|x-y\le 0)}}}dxdy\$
Wenn man nun P(X+2Y \le 0) ausrechnen will, dann muss doch auch gelten, da X und 2Y ja auch unabhängig sind:
$P(X+2Y \le 0) = \integral_{\IR} \integral_{\IR}{f_{X,2Y}(x,y)1_{{((x,y)|x+2y\le 0)}}}dxdy = \integral_{\IR} \integral_{\IR}{f_{X}(x)*f_{2Y}(y)*1_{{((x,y)| x+2y \le 0)}}(x,y)dxdy.\$
Stimmt das soweit?
Ich komme nämlich irgendwie dauernd auf falsche Ergebnisse. :(
Viele Grüße
petapahn

        
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Zufallsvariablen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:22 So 26.01.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Wenn man nun P(X+2Y [mm]\le[/mm] 0) ausrechnen will, dann muss doch
> auch gelten, da X und 2Y ja auch unabhängig sind:
>  [mm]P(X+2Y \le 0) = \integral_{\IR} \integral_{\IR}{f_{X,2Y}(x,y)1_{{((x,y)|x+2y\le 0)}}}dxdy = \integral_{\IR} \integral_{\IR}{f_{X}(x)*f_{2Y}(y)*1_{{((x,y)| x+2y \le 0)}}(x,y)dxdy.\[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


>  
>  Stimmt das soweit?

[notok]

Sei A(X,Y) eine meßbare Menge, die von X und Y abhängt, bei dir ist also $A(X,Y) = \{X + 2Y \le 0\}$ dann gilt:

$P(A(X,Y)) = \integral_{\IR} \integral_{\IR}{f_{X,Y}(x,y)1_{A(x,y)}dxdy$

Du nimmst also immer die gemeinsame Dichte von X und Y

Wenn du die gemeinsame Dichte von X und 2Y nehmen möchtest, wäre dein A ein anderes.

Nennen wir mal $\overline{Y} = 2Y$, dann wäre dein A ja:

$A(X,Y) = \{X + 2Y \le 0\} = \{X + \overline{Y} \le 0 \} = B\left(X,\overline{Y}\right)$ mit $B(X,Y) =  \{X + Y \le 0 \} = A\left(X,\bruch{1}{2}Y\right)$

Du integrierst also letztlich über eine andere Menge.

Es gilt also:

[mm]P(X+2Y \le 0) = \integral_{\IR} \integral_{\IR}{f_{X,Y}(x,y)1_{{((x,y)|x+2y\le 0)}}}dxdy = \integral_{\IR} \integral_{\IR}{f_{X,2Y}(x,y)1_{{((x,y)|x+y\le 0)}}}dxdy[/mm]

An beiden Stellen die 2 zu haben wäre also doppelt gemoppelt und damit falsch.

Gruß,
Gono.

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Zufallsvariablen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:48 So 26.01.2014
Autor: petapahn

Hallo gono,
vielen Dank für deine Antwort. Das habe ich soweit verstanden.
Kannst du mir vllt bei folgender Übungsaufgabe helfen? Ich krieg immer noch nichts raus.
Seien X,Y unabhängig.
Sei $ [mm] F_X(x)=(1-e^{-x})*1_{(0;\infty)}(x), F_Y(y)\$ [/mm] identisch.  
[mm] f_{X}(x)=F'_{X}(x)= e^{-x}, f_{Y}(y)=e^{-y} [/mm]
Dann ist doch
[mm] P(X+\bruch{1}{2}Y\le [/mm] c)= [mm] \integral_{\IR} \integral_{\IR}{f_{X}(x)*f_{Y}(y)*1_{{((x,y)| x+\bruch{1}{2}y \le c)}}dxdy}= \integral_{0}^{\infty} \integral_{0}^{c-\bruch{1}{2}y}{e^{-x}*e^{-y}dxdy}=\integral_{0}^{\infty}{e^{-y}*(1-e^{-(c-\bruch{1}{2}y)}dy}= \integral_{0}^{\infty}{e^{-y}dy}-\integral_{0}^{\infty}{e^{-\bruch{1}{2}y-c}dy}=1-2e^{-c} [/mm]

--> [mm] f_{X+\bruch{1}{2}Y}(c)= F'_{X+\bruch{1}{2}Y)}(c)=2e^{-c} [/mm]

Das ist aber irgendwie falsch.


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Zufallsvariablen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:51 So 26.01.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

wenn du es anständig formatiert bekommst, kann man dir sicherlich helfen :-)

edit: Und gleich zu beginn fällt mir auf: Die charakteristische Funktion ist sicherlich [mm] $F_X(x) [/mm] = [mm] (1-e^{-x})1_{[0,\infty)}$. [/mm]

Gruß,
Gono.

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Zufallsvariablen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:14 Mo 27.01.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Das ist aber irgendwie falsch.

Nö. Wie kommst du drauf?
Bis auf die Tatsache, dass du vergisst die Indikatorfunktion mitzuziehen, aber sonst passt es.

edit: Ah doch, da ist ein Fehler..... schau dir deine Grenzen mal noch einmal an, insbesondere wie weit dein x laufen darf. Denk dabei mal an den Definitionsbereich von y.

Gruß,
Gono

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Zufallsvariablen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:29 Mo 27.01.2014
Autor: petapahn

Ich ziehe doch die beiden Indikatorfunktionen von [mm] f_{X} [/mm] und  [mm] f_{Y} [/mm] gleich in das Integral hinein, d.h. da x [mm] \in (0,\infty) [/mm] und [mm] y\in (0,\infty) [/mm] und x [mm] \le c-\bruch{1}{2}y [/mm] müssten doch die Integrationsgrenzen stimmen.
LG,
petapahn

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Zufallsvariablen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:32 Mo 27.01.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

du sagst also [mm] $x\in (0,\infty)$, [/mm] dann geb ich dir jetzt mal x=2c.
Nenne mir dazu mal das passende y so dass weiterhin $x + [mm] \bruch{1}{2}y \le [/mm] c$

Gruß,
Gono.

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Zufallsvariablen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:41 Mo 27.01.2014
Autor: petapahn

OK. Dann setzt man einfach bei x die Grenze bei [mm] c-\bruch{1}{2}y [/mm] und bei y die Grenze bei c?
also [mm] \integral_{0}^{c}\integral_{0}^{c-\bruch{1}{2}y} [/mm] ...
Stimmt das so jetzt so?

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Zufallsvariablen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:44 Mo 27.01.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> OK. Dann setzt man einfach bei x die Grenze bei [mm]c-\bruch{1}{2}y[/mm] und bei y die Grenze bei c?

Na fast, da steht ja $X + [mm] \bruch{1}{2}Y$, [/mm] also darf Y bis wohin laufen?

Gruß,
Gono.

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Zufallsvariablen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:49 Mo 27.01.2014
Autor: petapahn

achso logisch dann bis 2c natürlich.
Vielen Dank, dass du dir Zeit genommen hast, um mir zu helfen!
Liebe Grüße,
petapahn

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Zufallsvariablen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:40 Mo 27.01.2014
Autor: petapahn

Hallo,
jetzt hab ich doch eine Frage:
Seien X,Y wieder unabhängig und [mm] f_{X}(x)=2e^{-2x}1_{(0,\infty)}(x), f_{Y}(y)=4e^{-4y}1_{(0,\infty)}(y). [/mm]
Wenn man z.B. die Verteilungsfkt. für X-2Y ausrechnen möchte
macht man ja P(X-2Y [mm] \le c)=\integral_{0}^{\infty} \integral_{0}^{c+2y}{f_{X}(x)*f_{Y}(y)dxdy}=...=1-\bruch{1}{2}e^{-2c} [/mm]
--> [mm] f_{X-2Y}(c)=P'(X-2Y\lec)=e^{-2c}. [/mm] Aber in der Lösung steht [mm] f_{X-2Y}(c)=e^{-2|c|}. [/mm] Wie kommt man da auf den Betrag?
Grüße,
petapahn


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Zufallsvariablen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:25 Mo 27.01.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

du ignorierst getrost einige Fälle.

Was machst du z.B. wenn $c + 2y < 0$ gilt? Wie integrierst du dann?

Das erkennst du schon daran, dass dein Ergebnis hinten nicht einmal eine Verteilungsfunktion ist.

Mache also eine Fallunterscheidung in Bezug auf c.

Gruß,
Gono.

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Zufallsvariablen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:00 Di 28.01.2014
Autor: petapahn

Wenn c+2y< 0, wäre das natürlich blöd, weil dann x < 0 wäre und x muss ja >0 sein wegen der Indikatorfkt..  Also darf c+2y gar nicht <0 sein. Aber ich check es echt grad gar nicht. Muss ich die Integralgrenzen anders setzen und wie genau muss diese Fallunterscheidung bei c aussehen? Weil für c+2y>0 passt es doch so wie es ist. Sorry, wenn ich gerade total dummes Zeug laber :D.
Greetz
petapahn

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Zufallsvariablen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:11 Di 28.01.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Wenn c+2y< 0, wäre das natürlich blöd, weil dann x < 0 wäre und x muss ja >0 sein wegen der Indikatorfkt..  Also darf c+2y gar nicht <0 sein.

[ok]

> Muss ich die Integralgrenzen anders setzen

Ja und das tolle ist, du brauchst gar keine Fallunterscheidung :-)

Wie du schon selbst festgestellt hast, ist die obere Integrationsgrenze eben entweder c+2y oder 0, je nachdem, was größer ist.

Ergo: [mm] $\max\{c+2y,0\}$, [/mm] damit rechnest du erstmal und setzt zum Schluß die Definition vom [mm] \max [/mm] ein (so kommt auch der Betrag rein)

Gruß,
Gono.

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Zufallsvariablen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:06 Di 28.01.2014
Autor: petapahn

Ok dann steht da
[mm] \integral_{0}^{\infty}\integral_{0}^{\max(c+2y,0)}{8e^{-2x}e^{-4y}dxdy} [/mm]
Fubini birngt mich hier nicht weiter, darum muss ich zuerst [mm] \integral_{0}^{max(c+2y,0)}{8e^{-2x}e^{-4y}dx} [/mm] ausrechnen. Ich setze dazu, wie du gesagt hast die Definition vom Maximum ein:
[mm] \integral_{0}^{\bruch{c+2y+|2y+c|}{2}}{8e^{-2x}e^{-4y}dx}= 4e^{-4y}*(1-e^{-(c+2y+|2y+c|)}) [/mm]

Bei [mm] \integral_{0}^{\infty}{4e^{-4y}*(1-e^{-(c+2y+|2y+c|)}dy} [/mm] gibt es halt dann die Schwierigkeit über den Betrag zu integrieren. Bei der Fallunterscheidung kommt einmal 0 raus für [mm] 2y+c\le [/mm] 0 und einmal [mm] 1-\bruch{1}{2}e^{-2c} [/mm] für 2y+c>0. Das ist aber doch wieder keine Verteilungsfunktion, oder?

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Zufallsvariablen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:51 Di 28.01.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  [mm]\integral_{0}^{\bruch{c+2y+|2y+c|}{2}}{8e^{-2x}e^{-4y}dx}= 4e^{-4y}*(1-e^{-(c+2y+|2y+c|)})[/mm]

Mit Augenmaß und Draufgucken, ohne explizit nachzurechnen, könnte das passen,

> [mm]\integral_{0}^{\infty}{4e^{-4y}*(1-e^{-(c+2y+|2y+c|)}dy}[/mm] gibt es halt dann die Schwierigkeit über den Betrag zu integrieren.

Na wirklich schwierig ist das nicht.

> Bei der Fallunterscheidung kommt einmal 0 raus für [mm]2y+c\le[/mm] 0 und einmal [mm]1-\bruch{1}{2}e^{-2c}[/mm] für 2y+c>0.

Erstmal: Deine Lösung sollte kein y mehr enthalten, das fällt durch die Integration ja weg :-)
Die Idee ist aber richtig. Für $2y+c < 0$ kommt da 0 raus, demzufolge ändern sich die Integrationsgrenzen wie?

Dabei musst du natürlich auch beachten, dass [mm] $y\in (0,\infty)$. [/mm]

Tipp: Die untere Grenze ist wieder ein Maximum aus zwei Werten.

Irgendwie mag ich die Aufgabe  ^^

Gruß,
Gono.

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Zufallsvariablen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:18 Di 28.01.2014
Autor: petapahn

Hallo,
jetzt hab ichs endlich! Die untere Grenze ist dann [mm] max(0,-\bruch{c}{2}) [/mm]
Beim Weiterrechnen krieg ich das gewünschte Ergebnis. Danke nochmal für deine Hilfe, war ne schwere Geburt...
Man könnte die Aufgabe aber eigentlich auch viel einfacher/schneller durch die Faltungsformel lösen, sofern man diese kennt, oder?
LG,
petapahn

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Zufallsvariablen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:21 Di 28.01.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Die untere Grenze ist dann [mm]max(0,-\bruch{c}{2})[/mm]

[ok]

>  Man könnte die Aufgabe aber eigentlich auch viel einfacher/schneller durch die Faltungsformel lösen

Ich denke, da wirst du über ein ähnliches Problem stolpern.
Versuchs doch mal :-)

Gruß,
Gono.

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