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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:21 Mi 28.11.2007 | | Autor: | KyKy |
| Aufgabe | Die Lebensdauer X in Jahren sei bei einer bestimmten Maschine geometrisch verteilt mit dem Parameter p [mm] \in [/mm] (0,1) , d.h. P(X=k) = [mm] pq^k, [/mm] k [mm] \ge [/mm] 0, q = 1-p.
Die Maschine soll entweder bei ihrem Ausfall oder spätestens nach c Jahren ausgetauscht werden.
a) Welche anschauliche Interpretation hat die Zufallsvariable Y := [mm] min\{X,c\}
[/mm]
b) Berechnen Sie P(X [mm] \ge [/mm] c)
c) Geben Sie die Verteilung der Zufallsvariablen Y an! |
Hallo!
Ich hab hier einige Schwierigkeiten und hoffe auf Hilfe von euch. Schon einmal ganz lieben dank dafür
Ich hab mir so dazu gedacht
a) Was das Minimum ist, weiss ich,
X, wenn X<c
c wenn X > c
und sonst beliebig, weil ja gilt X=c
Aber ist das so gemeint? Soll man nicht mit P(X=k) = [mm] pq^k [/mm] arbeiten oder erst später?
b) Dazu denke ich mal, das könnte
[mm] $\sum^c_{k=0} pq^k [/mm] = [mm] \sum^c_{k=0} p(1-p)^k [/mm] = P(X [mm] \le [/mm] c)$
$P(X [mm] \ge [/mm] c) = 1- P(X [mm] \le [/mm] c) = 1 - [mm] \sum^c_{k=0} p(1-p)^k$
[/mm]
Kann man da noch etwas rechnen oder ist das schon falsch?
c) Hier brauche ich sicher eine allgemeine Formel?
P(X=0) = [mm] p(1-p)^0
[/mm]
P(X=1) = [mm] p(1-p)^1
[/mm]
P(X=2) = [mm] p(1-p)^2
[/mm]
...
P(X=c) = [mm] p(1-p)^c
[/mm]
Weiß nicht was ich damit anfangen soll.
Gruß KyKy
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:58 Mi 28.11.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin KyKy,
zunaechst ein herzliches ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich hab mir so dazu gedacht
> a) Was das Minimum ist, weiss ich,
> X, wenn X<c
> c wenn X > c
> und sonst beliebig, weil ja gilt X=c
> Aber ist das so gemeint? Soll man nicht mit P(X=k) = [mm]pq^k[/mm]
> arbeiten oder erst später?
Nein, hier ist eine inhaltliche Interpretation gesucht: $Y$ ist die Verwendungsdauer der Maschine in Jahren. Sie nimmt die Werte 0,1,...,c an.
>
> b) Dazu denke ich mal, das könnte
> [mm]\sum^c_{k=0} pq^k = \sum^c_{k=0} p(1-p)^k = P(X \le c)[/mm]
>
> [mm]P(X \ge c) = 1- P(X \le c) = 1 - \sum^c_{k=0} p(1-p)^k[/mm]
Fast richtig: [mm] $P(X\ge [/mm] c)=P(X<c-1)$
>
> Kann man da noch etwas rechnen oder ist das schon falsch?
Ja, es gilt die alte Bauernregel
[mm] $\sum_{k=0}^nq^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ [/mm]
Zur Bestimmung siehe unten, denn [mm] $P(X\ge [/mm] c)=P(Y=c)$.
>
> c) Hier brauche ich sicher eine allgemeine Formel?
> P(X=0) = [mm]p(1-p)^0[/mm]
> P(X=1) = [mm]p(1-p)^1[/mm]
> P(X=2) = [mm]p(1-p)^2[/mm]
> ...
> P(X=c) = [mm]p(1-p)^c[/mm]
>
> Weiß nicht was ich damit anfangen soll.
>
Es gilt [mm] $P(Y=0)=P(X=0)=p=:p_0$, $P(Y=1)=P(X=1)=pq=:p_1$,...,$P(Y=c-1)=P(X=c-1)=pq^{c-1}=:p_{c-1}$ [/mm] und
[mm] $P(Y=c)=P(X\ge c)=:p_{c}$. [/mm] Um die Berechnung von [mm] $p_c$ [/mm] geht es. Damit wir eine Wahrscheinlichkeitsfunktion definieren, muss offenbar gelten
[mm] $p_c=1-p_0-p_1-...-p_{c-1}=1-p\sum_{k=0}^{c-1}q^k=1-\frac{p(1-q^c)}{1-q}=q^c$
[/mm]
nach obiger Bauernregel.
lg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Mi 28.11.2007 | | Autor: | KyKy |
| Aufgabe | Die Lebensdauer X in Jahren sei bei einer bestimmten Maschine geometrisch verteilt mit dem Parameter p $ [mm] \in [/mm] $ (0,1) , d.h. P(X=k) = $ [mm] pq^k, [/mm] $ k $ [mm] \ge [/mm] $ 0, q = 1-p.
Die Maschine soll entweder bei ihrem Ausfall oder spätestens nach c Jahren ausgetauscht werden.
a) Welche anschauliche Interpretation hat die Zufallsvariable Y := $ [mm] min\{X,c\} [/mm] $
d) Es sei p=0,2. Wie groß muß c mindestens sein, damit die Erneuerung mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% vor dem Zeitpunkt c liegt.
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Hallo
a)
> Nein, hier ist eine inhaltliche Interpretation gesucht: [mm]Y[/mm]
> ist die Verwendungsdauer der Maschine in Jahren. Sie nimmt
> die Werte 0,1,...,c an.
Und mehr muss ich dazu nicht sagen? Oder hast du mir etwas offen gelassen zum weiter grübeln? Ich sehe da nämlich nichts mehr, was man noch schreiben könnte
> c) [mm]p_c=1-p_0-p_1-...-p_{c-1}=1-p\sum_{k=0}^{c-1}q^k=1-\frac{p(1-q^c)}{1-q}=q^c[/mm]
d) Muss jetzt gelten [mm] $q^c [/mm] = [mm] (1-p)^c [/mm] = [mm] (1-0,2)^c [/mm] = [mm] (0,8)^c \ge [/mm] 0,5$?
Einen schönen Abend wünsche ich Euch/Dir
KyKy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:01 Mi 28.11.2007 | | Autor: | luis52 |
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> a)
> > Nein, hier ist eine inhaltliche Interpretation
> gesucht: [mm]Y[/mm]
> > ist die Verwendungsdauer der Maschine in Jahren. Sie nimmt
> > die Werte 0,1,...,c an.
>
> Und mehr muss ich dazu nicht sagen? Oder hast du mir etwas
> offen gelassen zum weiter grübeln? Ich sehe da nämlich
> nichts mehr, was man noch schreiben könnte
Nein, das ist alles.
>
> > c)
> [mm]p_c=1-p_0-p_1-...-p_{c-1}=1-p\sum_{k=0}^{c-1}q^k=1-\frac{p(1-q^c)}{1-q}=q^c[/mm]
>
> d) Muss jetzt gelten [mm]q^c = (1-p)^c = (1-0,2)^c = (0,8)^c \ge 0,5[/mm]?
Genau anders herum. Gesucht ist c, so dass $P(X< [mm] c)\ge [/mm] 0.5$, also [mm] $1-P(X\ge c)\ge [/mm] 0.5$, also [mm] $1-q^c\ge [/mm] 0.5$, also [mm] $q^c\le [/mm] 0.5$. *Ich* erhalte als kleinstes $c=4$.
>
> Einen schönen Abend wünsche ich Euch/Dir
Danke, das wuensche ich dir auch.
lg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:07 Mi 28.11.2007 | | Autor: | KyKy |
Hallo luis52
recht herzlichen Dank für Deine Erläuterungen
Echt klasse :)
LG
KyKy
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