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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:22 Mi 09.11.2016 | | Autor: | lisa2802 |
| Aufgabe | Es sei der Ergebnisraum Ω = {1,...,8} mit p(ω) [mm] =\bruch{1}{8} [/mm] für jedes ω ∈ Ω als Wahrscheinlichkeitsvektor gegeben. Kann man die folgenden Zufallsexperimente als Zufallsvariablen auf diesem Wahrscheinlichkeitsraum interpretieren, d.h. als Abbildungen X : Ω → R? Beweise jeweils deine Behauptung.
a) Münzwurf mit einer fairen Münze, wobei X = 1, wenn "Kopf" erscheint und X = 0, wenn "Zahl" erscheint
b) Würfelwurf mit einem normalen, 6-seitigen Würfel, wobei X die gewürfelte Zahl ist
c) Dreimaliger Münzwurf nacheinander mit einer fairen Münze, wobei [mm] X_1,X_2,X_3 [/mm] die Münzwurfergebnisse sind (auch hier: "Kopf" = 1 und "Zahl"= 0)
d) Dreimaliges Ziehen mit Zurücklegen aus einer Urne mit 8 Kugeln, auf denen die Zahlen 1 bis 8 stehen, wobei [mm] X_1,X_2,X_3 [/mm] die gezogenenen Zahlen sind |
Hallo ihr Lieben.
Mal wieder ein riiiiesengroßes Problem.
Montag kam das neue Übungsblatt Stochastik raus mit dem Thema "Zufallsvariablen und Poisson-Approximation". Naja wie eigentlich jede Woche haben wir noch nahezu nichts dazu in der Vorlesung gehabt und eigentlich hat sie es nur in der letzten Minute heute ich würde fast sagen an die Tafel geschmiert :
"Zufallsgrößen und zufällige Vektoren:
[mm] (\Omega, [/mm] p) Zufallsexperiment
X: [mm] \Omega \to \IR [/mm] heißt Zufallsgröße
Bsp:
[mm] \Omega [/mm] = [mm] \{1,...,6\}^2
[/mm]
[mm] p(w)=\bruch{1}{36}
[/mm]
[mm] X(w)=w_1+w_2 \forall w=(w_1,w_2) \in \Omega
[/mm]
[mm] p_X(x)=\mathcal{P}({w \in \Omega : X(w)=x\})=\mathcal{P}(X=x) \forall [/mm] x [mm] \in \IR
[/mm]
[mm] F_X(x)=\mathcal{P}({w \in \Omega : X(w)\le x\})
[/mm]
[mm] F_X(x): \IR \to [/mm] [0,1] heißt Verteilungsfkt. von X"
So nun zu der Aufgabe :
Ich soll jetzt also entscheiden ob X solch eine Abbildung, wie oben beschrieben, ist oder?
a) Münzwurf mit einer fairen Münze, wobei X = 1, wenn "Kopf" erscheint und X = 0, wenn "Zahl" erscheint
Intuitiv würde ich nein sagen, da [0,1] [mm] \in \IR, [/mm] aber "kopf", "Zahl" [mm] \notin \Omega
[/mm]
b) Würfelwurf mit einem normalen, 6-seitigen Würfel, wobei X die gewürfelte Zahl ist
Ja denn ich habe X(w)=k wobei k=1,..,6 [mm] \forall w\in \Omega [/mm] und habe eine Abbildung [mm] X:\Omega \to \IR
[/mm]
w [mm] \mapsto [/mm] k .
c) Dreimaliger Münzwurf nacheinander mit einer fairen Münze, wobei [mm] X_1,X_2,X_3 [/mm] die Münzwurfergebnisse sind (auch hier: "Kopf" = 1 und "Zahl"= 0)
s.a)
d) Dreimaliges Ziehen mit Zurücklegen aus einer Urne mit 8 Kugeln, auf denen die Zahlen 1 bis 8 stehen, wobei [mm] X_1,X_2,X_3 [/mm] die gezogenenen Zahlen sind
Ja. [mm] \Omega [/mm] = [mm] \{1,..,8\}
[/mm]
[mm] X_1=k, X_2 [/mm] = m, [mm] X_3= [/mm] n, mit k,n,m = 1,...,8 [mm] \in \IR [/mm]
[mm] X_1 [/mm] : [mm] \Omega \to \IR [/mm] etc
Jetzt würde ich natürlich gerne eure Meinung dazu hören und bitte euch wie so oft um Hilfe, damit ich das vielleicht irgendwann endlich mal verstehe.
Vielen Dank und schöne Abend noch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:43 Mi 09.11.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo lisa2802!
Bis zu einer richtigen Antwort möchte ich dir schon einmal  Teil 4. a) dieses Tutorials nahelegen.
Dort findest du das Konzept der Modellierung mithilfe von Zufallsgrößen/-variablen erklärt, das in der Vorlesung offenbar gar nicht richtig eingeführt wurde.
Ich hoffe, morgen zu einer richtigen Antwort zu kommen und würde mich freuen, wenn du dir bis dahin schon mal obigen Tutorial-Ausschnitt anschauen könntest.
Die Aufgabe selbst scheint mir als Einstiegsaufgabe denkbar ungeeignet, da sie weder mathematisch exakt, noch einer guten ersten Intuition förderlich zu sein scheint.
Daher versuche ich in meiner geplanten Antwort zunächst einmal, die Aufgabenstellung zu präzisieren und hoffe damit die beabsichtigte Aufgabenstellung zu treffen.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:00 Mi 09.11.2016 | | Autor: | lisa2802 |
Danke.
Werde ich mir spätestens morgen früh angucken.
Ich habe auch wirklich sehr sehr große Probleme damit klar zu kommen.
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:39 Mi 09.11.2016 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Lisa,
ich muss Tobias zustimmen. Als einführendes Beispiel von Zufallsvariablen finde ich dieses Beispiel ziemlich unpassend gewählt.
LG
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:54 Do 10.11.2016 | | Autor: | tobit09 |
Ich möchte mal die b) herausgreifen und sie in drei Schritten ausführlich erläutern.
Ich hole dazu in den ersten beiden Schritten etwas aus, bevor ich im dritten Schritt zur eigentlichen Aufgabe komme.
1. naheliegende Modellierung
Ich verrate jetzt sicherlich nichts Neues: Im Normalfall wird man das Werfen eines gewöhnlichen Würfels durch [mm] $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ [/mm] und [mm] $p(\omega)=\frac{1}{6}$ [/mm] für alle [mm] $\omega\in\Omega$ [/mm] modellieren. Z.B. [mm] $3\in\Omega$ [/mm] steht für das Würfelergebnis "Augenzahl 3"; allgemein steht [mm] $\omega\in\Omega$ [/mm] für "Augenzahl [mm] $\omega$".
[/mm]
Wenn X für die gewürfelte Augenzahl stehen soll, wie sähe dann die entsprechende Abbildung [mm] $X\colon\Omega\to\IR$ [/mm] aus?
(Diese Übersetzung hin zu dem mathematischen Objekt einer Abbildung [mm] $X\colon\Omega\to\IR$ [/mm] ist Gegenstand des von mir verlinkten Tutorials.)
Z.B. sollte $X(3)=3$ gelten, denn bei Ausgang [mm] $3\in\Omega$ [/mm] lautet die gewürfelte Augenzahl [mm] $3\in\IR$.
[/mm]
Analog sollte $X(1)=1$, $X(2)=2$, ..., $X(6)=6$ gelten.
Unsere einzig sinnvolle Wahl von $X$ in unserem Modell ist also [mm] $X\colon\Omega\to\IR,\quad X(\omega)=\omega$ [/mm] für alle [mm] $\omega\in\Omega$.
[/mm]
Beispielsweise die Schreibweise $P(X=3)$ steht anschaulich für die Wahrscheinlichkeit, dass X den Wert 3 annimmt (d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl 3 ist) und formal für die Wahrscheinlichkeit [mm] $P(\{\omega\in\Omega\;|\;X(\omega)=3\})$ [/mm] des Ereignisses [mm] $\{\omega\in\Omega\;|\;X(\omega)=3\}$ [/mm] (das anschaulich dem Ereignis entspricht, dass X bzw. die Augenzahl den Wert 3 annimmt).
Es gilt [mm] $P(X=3)=P(\{\omega\in\Omega\;|\;X(\omega)=3\})=P(\{3\})=p(3)=\frac{1}{6}$.
[/mm]
Das ist auch gut so, denn die Wahrscheinlichkeit für Augenzahl 3 sollte [mm] $\frac{1}{6}$ [/mm] sein.
Analog erhält man [mm] $P(X=x)=\frac{1}{6}$ [/mm] für alle [mm] $x\in\{1,2,3,4,5,6\}$.
[/mm]
Für [mm] $x\in\IR\setminus\{1,2,3,4,5,6\}$ [/mm] hingegen erhält man [mm] $P(X=x)=P(\{\omega\in\Omega\;|\;X(\omega)=x\})=P(\emptyset)=0$.
[/mm]
Auch das ist gut so, denn die Wahrscheinlichkeit z.B. für eine Augenzahl von x=-7,5 sollte sicherlich 0 sein.
Zusammengefasst:
(*) Für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] gilt: [mm] $P(X=x)=\begin{cases}\frac{1}{6}&\text{falls }x\in\{1,2,3,4,5,6\}\\0&\text{sonst}\end{cases}$.
[/mm]
2. alternative Modellierungen
Es sind auch alternative Modellierungen denkbar, also andere Wahlen von [mm] $\Omega$, [/mm] p und $X$, bei denen X für die gewürfelte Augenzahl steht. (Wenn ich Beispiele dafür geben soll, frag bitte danach.)
Wenn diese Modellierungen angemessen sein sollen, müssen sie auf alle Fälle der Bedingung (*) genügen. (Wenn ich das näher ausführen soll, frag bitte danach.)
Unter Stochastiker ist nun folgende Idee verbreitet: Es kommt gar nicht so sehr auf die genaue Gestalt von [mm] $\Omega$, [/mm] p und X an, sondern nur auf $P(X=x)$ für [mm] $x\in\IR$. [/mm] Gemäß dieser Idee genügt es für die Modellierung der geworfenen Augenzahl, eine beliebige Zufallsgröße X mit (*) zu betrachten, ohne dass besondere Forderungen an [mm] $\Omega$ [/mm] und p gestellt werden.
(Diese Idee lernt man normalerweise nicht direkt nach der Einführung von Zufallsgrößen kennen, sondern üblicherweise erst, wenn man mit Zufallsgrößen gut vertraut ist.
Für das Verständnis der vorliegenden Aufgabe erscheint es mir jedoch geboten, sie schon jetzt einzuführen.)
3. Modellierungen mit [mm] $\Omega=\{1,\ldots,8\}$ [/mm] und [mm] $p(\omega)=\frac18$ [/mm] für alle [mm] $\omega\in\Omega$
[/mm]
In der Aufgabe geht es nun nach meiner Interpretation um die (nicht sehr praxisrelevante) Frage, ob auch eine (nicht notwendigerweise sonderlich sinnvolle) Modellierung der anschaulichen Zufallsgröße "geworfene Augenzahl" mithilfe von [mm] $\Omega=\{1,\ldots,8\}$ [/mm] und [mm] $p(\omega)=\frac18$ [/mm] für alle [mm] $\omega\in\Omega$ [/mm] möglich ist, wenn man als einzige Forderung (*) erhebt.
Probieren wir dies zunächst einmal an einem Beispiel aus: Sei [mm] $X\colon\{1,\ldots,8\}\to\IR$ [/mm] definiert durch [mm] $X(\omega)=\omega$ [/mm] für [mm] $\omega\in\{1,2,3,4,5,6\}$ [/mm] und $X(7)=1$ und $X(8)=2$. (Diese Wahl ist ziemlich willkürlich.)
Dann gilt z.B. [mm] $P(X=1)=P(\{\omega\in\Omega\;|\;X(\omega)=1\})=P(\{1,7\})=p(1)+p(7)=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac14\not=\frac{1}{6}$.
[/mm]
Also ist Forderung (*) verletzt.
Vielleicht habe ich X nur unpassend gewählt? Gibt es also ein anderes [mm] $X\colon\{1,\ldots,8\}\to\IR$ [/mm] mit (*)?
Dann müsste insbesondere [mm] $P(X=1)=\frac{1}{6}$ [/mm] gelten.
Es gilt jedoch für jede Wahl von X, dass [mm] $P(X=1)=P(\{\omega\in\Omega\;|\;X(\omega)=1\})=|\{\omega\in\Omega\;|\;X(\omega)=1\}|*\frac{1}{8}\in\{\frac{0}{8},\frac18,\frac28,\ldots,\frac88\}$ [/mm] und somit [mm] $P(X=1)\not=\frac{1}{6}$.
[/mm]
Somit kann es auf [mm] $\Omega=\{1,\ldots,8\}$ [/mm] mit [mm] $p(\omega)=\frac18$ [/mm] für alle [mm] $\omega\in\Omega$ [/mm] keine Zufallsgröße geben, die (*) genügt.
Dein Versuch zur b) scheitert bereits daran, dass ich gar nicht erkennen kann, wie deine Abbildung [mm] $X\colon\Omega\to\IR$ [/mm] aussehen soll. Soll z.B. X(3) nun 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 sein?
Nun schlage ich vor, dass du dich zunächst noch einmal a) widmest.
Die Fragestellung nach meiner Interpretation lautet da:
Gibt es eine Abbildung [mm] $X\colon\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\to\IR$, [/mm] so dass bezüglich [mm] $p(\omega)=\frac18$ [/mm] für alle [mm] $\omega\in\Omega$ [/mm] gilt: [mm] $P(X=1)=P(X=0)=\frac12$ [/mm] (und $P(X=x)=0$ für [mm] $x\in\IR\setminus\{0,1\}$) [/mm] ?
Wenn ja, gib eine solche Zufallsgröße X an und rechne nach, dass sie tatsächlich der Bedingung [mm] $P(X=1)=P(X=0)=\frac12$ [/mm] (und $P(X=x)=0$ für [mm] $x\in\IR\setminus\{0,1\}$) [/mm] genügt.
Wenn nein, beweise dies ähnlich, wie ich es bei b) vorgemacht habe.
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