Zufallsvar. standardisieren < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:16 Do 23.10.2008 | | Autor: | winkie |
| Aufgabe | Sei X eine normalverteilte Zufallsvariable mit Mittelwert 2 und Standardabweichung 3. Mithilfe elementarer Rechenschnitte und geeigneter Tabelle finde die Eintrittswahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
(...)
Pr(|X-2|>3) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo an alle,
grundsätzlich ist mir die Vorgehensweise zur Standardisierung einer Zufallsvariablen X (die standardisierte nennen wir dann Z) bekannt: Subtrahiere den Mittelwert und dividiere durch die Standardabweichung.
Allerdings scheue ich mich davor, das beschriebene Problem mit folgender Standardisierung fortzuschreiben:
Pr(|X-2|>3) = Pr([|x-2|-2]/3 > [3-2]/3)
um dann einfach weiter zu gehen und zu sagen
Pr(Z > 1/3) = Pr(Z < -1/3) = 0,3707 (aus der Tabelle die im Englischen heisst: "Cumulative Areas Under the Standard Normal Distribution, also die mir Wahrscheinlichkeiten angibt als Funktionswerte der kumulativen Verteilungsfunktion für die Standardnormalverteilung)
Ich könnte wetten, dadurch dass Betragsstriche beteiligt sind, sieht die Lösung nicht so stupide einfach aus wie von mir vorgeschlagen. Mir fehlt aber leider noch die nötige bildliche Vorstellungskraft. Dazu muss ich noch sagen, dass der Kurs in Ökonometrie, in dem die von mir gestellte Frage hier eine der Einführungsfragen ist, umfangreiche Kurse in Statistik und allg. Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler voraussetzt, die ich aber nie besucht habe. D.h. mein Mathewissen beschränkt sich auf das, was aus der Schule übrig blieb und auf ein wenig Selbststudium, soweit es in den WiWi-Fächern nötig bzw. vorausgesetzt wurde.
Mit besten Grüßen und in der Hoffnung auf Unterstützung
Mickel
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:31 Do 23.10.2008 | | Autor: | abakus |
> Sei X eine normalverteilte Zufallsvariable mit Mittelwert 2
> und Standardabweichung 3. Mithilfe elementarer
> Rechenschnitte und geeigneter Tabelle finde die
> Eintrittswahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
> (...)
> Pr(|X-2|>3)
Na, übersetze doch mal aus der Sprache der Gleichungen/Ungleichungen ins Deutsche:
|X-2|>3 bedeutet: der Abstand von x zur Zahl 2 ist größer als 3.
Bei Mittelwert 2 und Standardabweichung 3 kann man auch so formulieren:
Der Abstand von x zu [mm] \mu [/mm] ist größer als [mm] \sigma [/mm] (bzw. x liegt außerhalb des Intervalls [mm] [\mu -\sigma [/mm] ; [mm] \mu [/mm] + [mm] \sigma]
[/mm]
Gruß Abakus
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo an alle,
>
> grundsätzlich ist mir die Vorgehensweise zur
> Standardisierung einer Zufallsvariablen X (die
> standardisierte nennen wir dann Z) bekannt: Subtrahiere den
> Mittelwert und dividiere durch die Standardabweichung.
> Allerdings scheue ich mich davor, das beschriebene Problem
> mit folgender Standardisierung fortzuschreiben:
>
> Pr(|X-2|>3) = Pr([|x-2|-2]/3 > [3-2]/3)
>
> um dann einfach weiter zu gehen und zu sagen
>
> Pr(Z > 1/3) = Pr(Z < -1/3) = 0,3707 (aus der Tabelle die im
> Englischen heisst: "Cumulative Areas Under the Standard
> Normal Distribution, also die mir Wahrscheinlichkeiten
> angibt als Funktionswerte der kumulativen
> Verteilungsfunktion für die Standardnormalverteilung)
>
> Ich könnte wetten, dadurch dass Betragsstriche beteiligt
> sind, sieht die Lösung nicht so stupide einfach aus wie von
> mir vorgeschlagen. Mir fehlt aber leider noch die nötige
> bildliche Vorstellungskraft. Dazu muss ich noch sagen, dass
> der Kurs in Ökonometrie, in dem die von mir gestellte Frage
> hier eine der Einführungsfragen ist, umfangreiche Kurse in
> Statistik und allg. Mathematik für
> Wirtschaftswissenschaftler voraussetzt, die ich aber nie
> besucht habe. D.h. mein Mathewissen beschränkt sich auf
> das, was aus der Schule übrig blieb und auf ein wenig
> Selbststudium, soweit es in den WiWi-Fächern nötig bzw.
> vorausgesetzt wurde.
>
> Mit besten Grüßen und in der Hoffnung auf Unterstützung
>
> Mickel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:59 Do 23.10.2008 | | Autor: | winkie |
Zunächst vielen Dank abakus,
Das heißt also X>5 oder X<-1.
Abgesehen davon, dass ich durch deine letzte Aussage mit dem [mm] \mu [/mm] und [mm] \sigma [/mm] wirklich Anzeichen einer geistigen Überforderung zeige, habe ich zur eigentlichen Aufgabe eine Idee wie folgt:
Ich muss also ersteinmal diese Betragsungleichung auflösen nach der Zufallsvariablen X, und bekomme, so dein Hinweis, die zwei Lösungen
X>5 sowie
X<-1
Mein Problem stellt sich nun (hoffentlich) so dar:
Ich frage nun nach der Wahrscheinlichkeit, einmal, dass X einen Wert größer 5 annimmt, und zum zweiten nach der Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert kleiner -1 annimmt.
Ich hab also 2 Dinge zu berechnen:
Pr(X<5) und Pr(X<-1)
Durch Standardisierung (X-->Z) bekomme ich entsprechend
Pr(Z<1) und Pr(Z<-1)
was ja dasselbe ist. Nämlich beidesmal eine Wahrscheinlichkeit von 0,1587 laut Tabelle.
Vorausgesetzt das ist so richtig, habe ich noch eine Verständnishürde:
Heisst das nun, dass die Eintrittswahrscheinlichkeit des Ereignisses |X-2|>3, nach der ja ursprünglich gefragt wurde, die Summe aus den Einzelwahrscheinlichkeiten
0,1587+0,1587
lautet? Denn die W., dass Z<-1 wird, ist 0,1587, ebenso die W., dass Z>1.
Die Chance, dass X also entweder größer 5 wird ODER kleiner -1 ist ja höher als wenn X NUR größer 5 werden kann oder NUR kleiner -1.
Addiere ich jetzt die oben gefundenen W. einfach?
Mit besten Grüßen und hoffentlich auf dem richtigen Weg
Mickel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:15 Do 23.10.2008 | | Autor: | abakus |
> Zunächst vielen Dank abakus,
>
> Das heißt also X>5 oder X<-1.
> Abgesehen davon, dass ich durch deine letzte Aussage mit
> dem [mm]\mu[/mm] und [mm]\sigma[/mm] wirklich Anzeichen einer geistigen
> Überforderung zeige, habe ich zur eigentlichen Aufgabe eine
Bei der Standardisierung ist [mm] \mu=0 [/mm] und [mm] \sigma [/mm] =1.
> Idee wie folgt:
>
> Ich muss also ersteinmal diese Betragsungleichung auflösen
> nach der Zufallsvariablen X, und bekomme, so dein Hinweis,
> die zwei Lösungen
>
> X>5 sowie
> X<-1
>
> Mein Problem stellt sich nun (hoffentlich) so dar:
> Ich frage nun nach der Wahrscheinlichkeit, einmal, dass X
> einen Wert größer 5 annimmt, und zum zweiten nach der
> Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert
> kleiner -1 annimmt.
>
> Ich hab also 2 Dinge zu berechnen:
> Pr(X<5) und Pr(X<-1)
>
> Durch Standardisierung (X-->Z) bekomme ich entsprechend
> Pr(Z<1) und Pr(Z<-1)
Tippfehler. Pr(Z>1) und Pr(Z<-1)
>
> was ja dasselbe ist. Nämlich beidesmal eine
> Wahrscheinlichkeit von 0,1587 laut Tabelle.
>
> Vorausgesetzt das ist so richtig, habe ich noch eine
> Verständnishürde:
>
> Heisst das nun, dass die Eintrittswahrscheinlichkeit des
> Ereignisses |X-2|>3, nach der ja ursprünglich gefragt
> wurde, die Summe aus den Einzelwahrscheinlichkeiten
>
> 0,1587+0,1587
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> lautet? Denn die W., dass Z<-1 wird, ist 0,1587, ebenso die
> W., dass Z>1.
> Die Chance, dass X also entweder größer 5 wird ODER
> kleiner -1 ist ja höher als wenn X NUR größer 5 werden kann
> oder NUR kleiner -1.
> Addiere ich jetzt die oben gefundenen W. einfach?
>
> Mit besten Grüßen und hoffentlich auf dem richtigen Weg
Gruß Abakus
>
> Mickel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:17 Do 23.10.2008 | | Autor: | winkie |
Vielen lieben Dank abakus
|
|
|
|
