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Schönen guten Abend!
Ich knacke grade an folgender Aufgabe:
Durch jährliche vorschüssige Zahlungen von 2000 wurde auf einem Konto bis zum Ende des 15. Jahres einschließlich der Zz ein Betrag von 60000 angespart.
Berechnen Sie die durchschnittliche Verzinsung!
Ich habe das Ergebnis q=1,0826 gegeben.
Allerdings komme ich mit meinem Rechenweg zu einem anderen Ergebnis.
Ich habe die Gleichung:
2000* q^15=60000
aufgestellt und erhalte ein anderes q.
Wäre nett wenn ihr mir sagen könntet, wo mein Fehler liegt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:04 So 21.01.2007 | | Autor: | Walde |
Hi Viva,
da steht doch "jährlich Zahlung" von 2000 , d.h.
im 1. Jahr hast du $2000*q$
im 2. Jahr dann [mm] $((2000*q)+2000)*q=2000*(q^2+q)$
[/mm]
usw.
d.h. nach 15 Jahren:
[mm] $2000*(q^{15}+\ldots+q)$
[/mm]
Da kann man noch ein q ausklammern und dann das in der Klammer mit der endl. geometrischen Reihe (wenn du die Formel nicht im Kopf hast,kuck bei Wikipedia nach) zusammenfassen. Versuch mal, ob man so auf das richtige Ergebnis kommt.
L G walde
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So, habe jetzt mal versucht die geometrische Reihe bei wikipedia zu suchen, aber irgendwie finde ich keine Formel, die auf diese Aufgabe passen könnte.
Wäre nett, wenn mir jemand nochmal auf die Sprünge helfen könnte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:30 Mo 22.01.2007 | | Autor: | Walde |
Hi Viva,
> So, habe jetzt mal versucht die geometrische Reihe bei
> wikipedia zu suchen, aber irgendwie finde ich keine Formel,
> die auf diese Aufgabe passen könnte.
>
> Wäre nett, wenn mir jemand nochmal auf die Sprünge helfen
> könnte.
Die Formel steht aber ![[]](/images/popup.gif) da. Hier nochmal zur Verdeutlichung:
[mm] \summe_{k=0}^{n}a_0q^k=a_0\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}
[/mm]
Und bei dir steht [mm] 2000*q(q^{14}+\ldots+1)=60000
[/mm]
Für die Klammer kannst du jetzt obige Formel anwenden [mm] (a_0=1 [/mm] und n=14).
Kommst du weiter?
LG walde
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Hm, irgendwie komme ich immer noch nicht weiter.
Wenn ich jetzt n=14 einsetze erhalte ich ja:
1* (1-q^15/1-q)
Aber wie zum Teufel komme ich denn jetzt auf das q?
Hab keine Ahnung wie ich die Gleichung auflösen soll, stehe total auf dem Schlauch.
Wäre für jede Hilfe dankbar!!
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Hallo VivaColonia,
> Hm, irgendwie komme ich immer noch nicht weiter.
>
> Wenn ich jetzt n=14 einsetze erhalte ich ja:
>
> 1* (1-q^15/1-q)
>
genauer: $ [mm] 2000\cdot{}q(q^{14}+\ldots+1)=60000 [/mm] $ mit q>1
> Aber wie zum Teufel komme ich denn jetzt auf das q?
> Hab keine Ahnung wie ich die Gleichung auflösen soll,
> stehe total auf dem Schlauch.
Mir fällt auch keine analytische Umformung dazu ein.
Dann hilft m.E. nur "probieren", also eine Näherung zu versuchen:
Da q>1 mit Zinsen zusammenhängt, wird gelten: 1,01<q<1,10
$ [mm] 2000\cdot{}q(q^{14}+\ldots+1)=60000 [/mm] $
[mm] \gdw $q(q^{14}+\ldots+1)=30=q*\frac{1-q^{15}}{1-q} [/mm] $
oder, weil q>1 gilt: [mm] 30=q*\frac{q^{15}-1}{q-1} [/mm]
Du hast ja schon einen Anhaltspunkt, wo du suchen musst, könntest ihn aber durch das Intervallhalbierungsverfahren auch schnell ohne dieses Wissen finden.
> Wäre für jede Hilfe dankbar!!
War's das, was du suchst?
q=1,0826 ist übrigens richtig - sagt mein Derive. 
Gruß informix
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Naja, ich such eigentlich immer noch einen rechnerischen Weg auf das gesuchte Ergebnis zu kommen. Hab jetzt nochmal sämtliche Umformungen ausprobiert, die mir so eingefallen sind, aber irgendwie hilft nichts.
Es müsste doch irgendeine Möglichkeit geben die Gleichung
$ [mm] 2000\cdot{}q(q^{14}+\ldots+1)=60000 [/mm] $ mit q>1
zu lösen.
Oder nicht????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 Di 23.01.2007 | | Autor: | chrisno |
> Es müsste doch irgendeine Möglichkeit geben die Gleichung
>
> [mm]2000\cdot{}q(q^{14}+\ldots+1)=60000[/mm] mit q>1
>
> zu lösen.
>
>
> Oder nicht????
Tatsächlich nicht. Bei Gleichungen mit [mm] q^4 [/mm] hört es auf.
In der Praxis löst man nur die quadratischen Gleichungen und überlässt den Rest den numerischen Verfahren.
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Das heißt dann doch eigentlich es gibt keine rechnerische Lösung für die angegebene Aufgabe???
Oder könnte es möglicherweise noch einen anderen Weg geben das ganze zu berechnen?
Mir fällt auf jedenfall keiner mehr ein?
Vielleicht hat ja jemand noch ne Idee.
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Hallo VivaColonia,
> Das heißt dann doch eigentlich es gibt keine rechnerische
> Lösung für die angegebene Aufgabe???
> Oder könnte es möglicherweise noch einen anderen Weg geben
> das ganze zu berechnen?
>
Warum gibst du dich mit Chrisnos und meiner Antwort nicht zufrieden?
Man kann im Leben nicht alles rechnerisch exakt bestimmen, Näherungslösungen sind fürs praktische Leben durchaus akzeptabel.
> Mir fällt auf jedenfall keiner mehr ein?
>
> Vielleicht hat ja jemand noch ne Idee.
Keine Chance...
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
Gruß informix
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Ich bin mit euren Lösungen mehr als zufrieden!
Vielen Dank für eure Hilfe!
Hatte mich eben nur gewundert, dass man die Gleichung nicht auflösen kann.
Naja, jetzt weiß ich auf jedenfall Bescheid.
Nochmal Vielen Dank für eure Mühe!
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