Ziehen ohne Zurücklegen < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:27 So 30.10.2016 | | Autor: | lisa2802 |
| Aufgabe | Wie viele Möglichkeiten gibt es, 10 nicht unterscheidbare Gummibärchen an 4
Studenten mit Namen A, B, C, D zu verteilen, wenn ...
a) ... jeder mindestens ein Gummibärchen bekommen soll?
b) ... auch jemand leer ausgehen kann? |
Hallo ihr Lieben.
Ist das Ziehen ohne Zürücklegen?
´wäre das nicht einfach
[mm] \vektor{10\\ 4} [/mm] = [mm] \bruch{10!}{4!*6!} [/mm] = [mm] \bruch{10*9*8*7}{4*3*2*1}=\bruch{10*3*7}{1}=210 [/mm] ?
wobei das ja eigentlichen ZIehen ohne Zürucklegen mit Wiederholung ist oder?
Also
[mm] \vektor{n+k-1\\ k} =\bruch{(n+k-1)!}{(n+k-1-k)!*k!}
[/mm]
[mm] \vektor{13\\ 4} =\bruch{13!}{9!*4!} [/mm] = [mm] \bruch{13*12*11*10}{4*3*2*1}=13*11*5=715.
[/mm]
Ich verstehe nicht so ganz glaube ich die unterschiede..
Könntet mir das vielleicht mal einer erklären ohne das Urnenmodel? Mit Urne finde ich das klar aber wenn ich das zb auf "Spieler auf Mannschaft", oder "Bonbons an Kinder" anwenden muss komme ich nicht klar.
Es gibt ja folgende möglichkeiten
Ziehen mit oder ohne zurücklegen und mit oder ohne Wiederholung. oder?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:42 So 30.10.2016 | | Autor: | chrisno |
Fangen wir mit b an:
Mit meiner ersten Überlegung, die Gummibärchen zu ziehen wurde das unübersichtlich. Dann habe ich die Betrachtungsweise geändert:
Die Studenten stecken in einem Zimmer (der Urne) und werden gezogen. Immer wenn ein Student gezogen wird, bekommt er ein Gummibärchen. Damit er ein zweites bekommen kann, musst Du ihn wieder in die Urne legen.
Damit, denke ich, kommst Du weiter.
Aufgabe a gehe ich folgendermaßen an: Ich gebe jedem Studenten ein Gummibärchen. Die sind weg.
Den Rest verteile ich wie bei b.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:51 Mo 31.10.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo lisa2802!
Lösen würde ich die Aufgabe wie von chrisno vorgeschlagen.
> Ist das Ziehen ohne Zürücklegen?
> ´wäre das nicht einfach
> [mm]\vektor{10\\ 4}[/mm] = [mm]\bruch{10!}{4!*6!}[/mm] =
> [mm]\bruch{10*9*8*7}{4*3*2*1}=\bruch{10*3*7}{1}=210[/mm] ?
>
> wobei das ja eigentlichen ZIehen ohne Zürucklegen mit
> Wiederholung ist oder?
Das wäre die Anzahl der Möglichkeiten, 4 verschiedene der 10 Gummibärchen auszuwählen (ohne eine Reihenfolge der 4 Gummibärchen zu wählen).
Also ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") .
> Also
> [mm]\vektor{n+k-1\\ k} =\bruch{(n+k-1)!}{(n+k-1-k)!*k!}[/mm]
>
> [mm]\vektor{13\\ 4} =\bruch{13!}{9!*4!}[/mm] =
> [mm]\bruch{13*12*11*10}{4*3*2*1}=13*11*5=715.[/mm]
Das wäre die Anzahl der Möglichkeiten, von den 10 Gummibärchen 4 auszuwählen, wobei das gleiche Gummibärchen mehrfach ausgewählt werden darf, uns aber nur interessiert, wie oft jedes Gummibärchen ausgewählt wurde, und keine Reihenfolge der Auswahl.
Also .
> Ich verstehe nicht so ganz glaube ich die unterschiede..
>
> Könntet mir das vielleicht mal einer erklären ohne das
> Urnenmodel? Mit Urne finde ich das klar aber wenn ich das
> zb auf "Spieler auf Mannschaft", oder "Bonbons an Kinder"
> anwenden muss komme ich nicht klar.
>
> Es gibt ja folgende möglichkeiten
>
> Ziehen mit oder ohne zurücklegen und mit oder ohne
> Wiederholung. oder?
Ziehen mit oder ohne Zurücklegen entspricht gerade Wahlen mit oder ohne (möglicher) Wiederholung.
Für mich ist das Urnenmodell nur ein Beispiel; für die Lösung kombinatorischer Probleme denke ich selten an das Urnenmodell (auch wenn das prinzipiell möglich ist, wie du z.B. in chrisnos Antwort siehst).
Stattdessen denke ich allgemein daran, was die vier kombinatorischen Grundformeln denn besagen:
Sei $X$ eine n-elementige Menge.
Wir suchen die Anzahl der "Auswahlen" von k Elementen von X.
Genau diese Anzahl der "Auswahlen" liefern die vier kombinatorischen Grundformeln.
Genauer muss man sich überlegen, ob in einer Auswahl von k Elementen von X auch Elemente von X mehrfach vorkommen können sollen ("mit oder ohne Wiederholung").
Außerdem ist zu überlegen, ob zwischen unterschiedlichen Reihenfolgen in der Auswahl unterschieden werden soll ("mit oder ohne Reihenfolge").
Bevor ich eine der kombinatorischen Grundformeln anwende, überlege ich mir immer, aus welcher Menge X ich mehrere Elemente auswählen möchte.
In der vorliegenden Aufgabe hilft es nicht weiter, aus der Menge X der n=10 Gummibärchen eine feste Anzahl k auszuwählen.
Stattdessen führt chrisnos Überlegung zum Erfolg: Wir wählen aus der Menge X der n=4 Studenten (also [mm] $X=\{A,B,C,D\}$) [/mm] k=10 Elemente aus (für jedes Gummibärchen einen Studenten).
Eine mögliche Auswahl ist z.B. AAABBBCCDD (d.h. Student A erhält 3 Gummibärchen, Student B ebenfalls 3, Studenten C und D erhalten jeweils 2 Gummibärchen).
Es dürfen Elemente von X mehrfach in der Auswahl vertreten sein ("mit Wiederholung") und wir unterscheiden nicht zwischen verschiedenen Reihenfolgen ("ohne Reihenfolge"), denn z.B. die Auswahl BAAABBDCDC führt zur gleichen Gummibärchenanzahl für jeden Studenten wie die Auswahl AAABBBCCDD (da die Gummibärchen ununterscheidbar sind, interessiert nur die Anzahl der Gummibärchen, die jeder Student erhält und nicht, welche der 10 genau).
Fazit: Um eine der vier kombinatorischen Grundformeln anzuwenden, mache dir immer klar, aus welcher n-elementigen Menge X du k Elemente auswählen möchtest.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:58 Mo 31.10.2016 | | Autor: | lisa2802 |
Hallöchen:
also nochmal zusammengefasst für mich :
das ist "ziehen mit zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge" und ich verteile k=10 gummibärchen auf n=4 Studenten.
habe gerade den millionsten Blick ins Skript geworfen und festgestellt, dass die "Formel" von oben dann korrekt sein müsste, hätte ich nicht n und k vertauscht...
[mm] \vektor{n+k-1\\ k} =\vektor{4+10-1\\10}=\vektor{13\\ 10}=\bruch{(13!}{10!*3!}=13*11*2=286
[/mm]
Jetzt ist die Frage...so könnte m.M.n auch jemand leer ausgehen oder?
Danke!!!! :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:24 Mo 31.10.2016 | | Autor: | sinnlos123 |
Ja, aber es kann höchstens einer leer ausgehen.
Da selbst wenn 2 Leute jeweils 4 Kekse kriegen, immer noch 2 übrig sind.
Falsch gelesen, siehe chrisno's Kommentar unten :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:21 Mo 31.10.2016 | | Autor: | chrisno |
> Ja, aber es kann höchstens einer leer ausgehen.
>
> Da selbst wenn 2 Leute jeweils 4 Kekse kriegen, immer noch
> 2 übrig sind.
Ich sehe das anders. Wie von der Aufgabe vorgesehen, kann ein Student alle Gummibärchen bekommen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Mo 31.10.2016 | | Autor: | chrisno |
> Hallöchen:
>
> also nochmal zusammengefasst für mich :
> das ist "ziehen mit zurücklegen ohne Beachtung der
> Reihenfolge" und ich verteile k=10 gummibärchen auf n=4
> Studenten.
>
>
> habe gerade den millionsten Blick ins Skript geworfen und
> festgestellt, dass die "Formel" von oben dann korrekt sein
> müsste, hätte ich nicht n und k vertauscht...
Letztlich war und ist das aber dein Problem: was ist n und was ist k? Ich habe dafür doch auf ein Urnenmodell zurückgegriffen.
>
> [mm]\vektor{n+k-1\\ k} =\vektor{4+10-1\\10}=\vektor{13\\ 10}=\bruch{(13!}{10!*3!}=13*11*2=286[/mm]
habe ich auch
>
> Jetzt ist die Frage...so könnte m.M.n auch jemand leer
> ausgehen oder?
Nach meinem Gedanken: es ist durchaus möglich, dass 10 mal der gleiche Student ergriffen wird und also die drei anderen leer ausgehen.
>
> Danke!!!! :)
|
|
|
| |
|
[Dateianhang nicht öffentlich]
Zeichne eine Kästchenschlange der Länge "Gummibärchen"+"Personen"-1=10+4-1=13.
Trage in "Personen"-1=4-1=3 Kästchen ein x ein.
Die 3 x-e trennen nun die Schlange in 4 Teile. Die (insgesamt 10) leeren Kästchen stellen nun die ununterscheidbaren Gummibärchen dar. Dabei kann ein Teil auch aus gar keinem leeren Kästchen bestehen, wenn z.B. ein x im 1. oder letzten Kästchen steht oder, wie hier, zwischen den 1. und 2. x kein leeres Kästchen steht.
Jeder Bereich steht nun der Reihe nach für die Personen A, B, C und D. Die leeren Kästchen jedes Bereiches geben an, wie viele Gummibärchen die jeweilige Person erhält, in obigem Bild also
A=2, B=0, C=5 und D=3.
Mache dir klar, dass jede andere Kombination von 3 x-en eine andere Verteilung bedeutet und dass umgekehrt jede beliebige Anzahlverteilung durch Eintragung der x-e eindeutig dargestellt wird.
Also gibt es genau [mm] \vektor{n+k-1 \\ n} [/mm] mögliche Anzahlverteilungen, wobei auch die 0 vorkommen kann.
Bei Aufgabe a) gibst du jedem Kandidaten vor der Verteilung schon mal 1 Gummibärchen. Die restlichen 6 verteilst du wieder nach obiger Formel. Von denen kann man dann 0 bis 6 bekommen, aber es ist sicher gestellt, dass jeder mindestens 1 bekommt, weil er das ja schon hat.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
|
|
