Zerlegung von Endomorphismen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper und V ein endlich-dim. K-Vektorraum. Zeigen Sie:
a) Jeder Endomorphismus [mm] \varphi [/mm] besitzt eine Zerlegung [mm] \varphi = \varphi_{d} + \varphi_{n} [/mm] in [mm] End_{K}(V) [/mm], wobei [mm] \varphi_{d} [/mm] diagonalisierbar und [mm] \varphi_{n} [/mm] nilpotent ist.
b) Es existieren Polynome [mm] p,q \in K[X] [/mm] mit X|p und X|q so dass [mm] \varphi_{d} = p( \varphi ) [/mm] und [mm] \varphi_{n} = q( \varphi ) [/mm] ist.
Hinweis: Verwenden Sie die Zerlegung von V in seine verallgemeinerten Eigenräume und führen Sie eine Induktion nach der Anzahl der verschiedenen Eigenwerte durch.
c) Die Zerlegung in a) ist eindeutig.
Hinweis: Benutzen Sie b). |
Teil a) konnte ich lösen, indem ich die Jordan-Normalform von [mm] M_{B}( \varphi ) [/mm] zu einer beliebigen Basis B von V in eine Summe aus der mit den Eigenwerten besetzten Diagonalmatrix und der teilweise mit 1 besetzten Nebendiagonalmatrix zerlegt habe.
Aber zu Teil b) fällt mir leider nicht wirklich viel ein. Klar ist nur, dass p und q nach Voraussetzung 0 als Nullstelle haben müssen. Von daher dachte ich bei q schonmal an das Minimal- oder das Charakteristische Polynom von [mm] \varphi_{n} [/mm], weil das ja eine Potenz von X ist, aber mit diesem Ansatz komme ich irgendwie nicht weiter. Der Hinweis hilft mir auch nicht wirklich weiter, weil mir das mit den verallgemeinerten Eigenräumen nichts sagt. Ich habe diesbezüglich schon mal gegooglet und auch was gefunden, aber nur Bahnhof verstanden. Vielleicht genügt es ja schon, wenn mir das mal jemand verständlich erklären könnte.
Vielleicht ergibt sich daraus ja dann auch von selbst die Lösung zu c), bei der stehe ich leider auch total auf dem Schlauch.
Vielen Dank im Voraus (Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Fr 23.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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