Zerlegung in irredu Faktoren < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:25 So 01.05.2011 | | Autor: | Nadia.. |
| Aufgabe | Hallo Leute,
ich versteh den Satz hier nicht.
sei $p [mm] \in [/mm] R$. Dann gibt es [mm] $k\in [/mm] N$ und irreduzible Elemente [mm] $q_1,q_2, ....q_k \in [/mm] R$ mit [mm] $q_1*....q_k=p$. [/mm] Falls $ l [mm] \in [/mm] R$ und $ [mm] r_1,....r_l \in [/mm] R$ sind irreduzible Elemente mit [mm] $r_1*....r_l=p$ [/mm] , dann gibt $k=l$ und [mm] $q_1$
[/mm]
dann gibt es ein ein k =l
und [mm] $q_i \sim r_i'
[/mm]
$ |
Ich versteh den Satz nicht, ich komme eher mit den Ringen gar nicht zu recht.
Was sagt dieser Satz denn aus, wie kann ich das anhand eines Beispiel verstehen.
Mein Idee ist, wenn ich R = Z betrachte, dann kann ich jedes Element
$a [mm] \in [/mm] Z$ wie oben darstellen.
Nagut, ich nehme mir jetzt die Zahl 8
die kann ich mit 1*2*2*2,oder1*1* 2*4 darstellen , wieso ist jetzt [mm] ($1\sim 1,2\sim [/mm] 1$) wobei eigentlich [mm] 1/2$\neq [/mm] 2/1$
Was ist mit der Zahlt 7
die kann ich nur mit 1*7 darstellen.
Und wieso gilt das nur für Ringe und nicht für Körper.
Kann mir jemand das anhand eines Beispiels z.b der Ring [mm] $\mathbb{Z}$ [/mm] erklären?
Viele Grüße
Nadia
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> Hallo Leute,
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> ich versteh den Satz hier nicht.
>
> sei [mm]p \in R[/mm]. Dann gibt es [mm]k\in \green{\IN}[/mm] und irreduzible Elemente
> [mm]q_1,q_2, ....q_k \in R[/mm] mit [mm]q_1*....q_k=p[/mm]. Falls [mm]l \in \green{\IN}[/mm] und
> [mm]r_1,....r_l \in R[/mm] sind irreduzible Elemente mit
> [mm]r_1*....r_l=p[/mm] , dann gibt [mm]k=l[/mm] und [mm]q_1[/mm]
> dann gibt es ein ein k =l
> und [mm]$q_i \sim r_i'[/mm]
Ich habe mir mal erlaubt ein paar Sachen zu korrigieren.
> Ich versteh den Satz nicht, ich komme eher mit den Ringen
> gar nicht zu recht.
Dan pflücken wir das mal auseinander.
Du hast zwei Darstellungen eines Elementes p aus dem Ring. (
1. Darstellung
[mm] $p=r_1*r_2*r_3*r_4\cdots r_k$ [/mm] mit [mm] $r_i\in [/mm] R$
2. Darstellung
[mm] $p=q_1*q_2*q_3*q_4\cdots q_l$ [/mm] mit [mm] $q_i\in [/mm] R$
Der Satz sagt nun aus, dass du jedes Element - welches sich durch ein Produkt irreduzibler Elemente darstellen lässt - stets nur auf eine Art faktorisieren kannst. Jede andere Darstellung ist fast gleich. Bei "anderen" Darstellungen sind die einzelnen Element zu Elementen Darstellung assoziert sind.
Und die Anzahl der irreduziblen Elemente gleich ist.
konkret: [mm] $\IZ$
[/mm]
$840=2*3*4*5*7$ Es sind 2,3,4,5,7 irreduzibel.
Egal auf welcher Weise du die 840 jetzt in [mm] $\IZ$ [/mm] durch irredzible Elemente darstellen möchtest. Um folgendes kommst du nicht drum herum:
- es sind 5 irreduzible Elemente nötig
- jedes Element deiner neuen Darstellung ist assoziert zu einem der folgenden Elementen 2,3,4,5,7
Es geht:
$840=-2*-3*4*5*7$
$840=-2*3*-4*-5*-7$
...
Es sind bis auf Assoziertheit immer die gleichen Elemente und es gibt keine Darstellung mit nur 4 Faktoren oder sogar 10 Faktoren, sofern alle Faktoren irreduzibel sind.
>
> Was ist mit der Zahlt 7
> die kann ich nur mit 1*7 darstellen.
naja 1 ist eine Einheit und somit insbes. nicht Irreduzibel. Damit bleibt dir nur für die 7 übrig:
7=7
>
> Und wieso gilt das nur für Ringe und nicht für Körper.
Im Körper sind alle Elemente Einheiten und damit nicht irreduzibel.
> Kann mir jemand das anhand eines Beispiels z.b der Ring
> [mm]\mathbb{Z}[/mm] erklären?
>
> Viele Grüße
>
> Nadia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:02 So 01.05.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Vielen Dank für die ausführliche Erklärung, mir ist ein Stein vom Kopf gefallen :).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:32 So 01.05.2011 | | Autor: | Nadia.. |
| Aufgabe | Jetzt habe ich hier eine Frage, die ich gerne bearbeiten möchte.
Sei $V$ eine ablesche Gruppe mit $V [mm] \cong \frac{\mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}}\times \frac{\mathbb{Z}}{12\mathbb{Z}}\times\frac{\mathbb{Z}}{84\mathbb{Z}}\times\frac{\mathbb{Z}}{4116\mathbb{Z}}\times\frac{\mathbb{Z}}{8232\mathbb{Z}}$
[/mm]
Mann bestimme $m \ in N$Primzahlen [mm] $p_1....p_m$ [/mm] und positive [mm] Zahlen$v_1.....v_m$derart, [/mm] dass $V [mm] \cong \frac{\mathbb{Z}}{p_1^{v1}\mathbb{Z}}...\times.. \frac{\mathbb{Z}}{p_m^{vm}\mathbb{Z}}$ [/mm] |
Mir Fällt hier nur eins ein , weiß aber nicht wie ich das richtig aufschreibe.
Die 2 ist ja
$2 = 2$
$12= [mm] 2\times\ [/mm] 2 [mm] \times [/mm] 3$
$81 [mm] =2\times\ [/mm] 2 [mm] \times 3\times [/mm] 7$
[mm] $4116=2\times\ [/mm] 2 [mm] \times 3\times 7\times [/mm] 7$
$8232 = [mm] 4116=2\times\ [/mm] 2 [mm] \times 3\times 7\times 7\times [/mm] 7 $
Ist das Richtig wenn ich dann Sage
$V [mm] \cong \frac{\mathbb{Z}}{2^{8}\mathbb{Z}}\times \frac{\mathbb{Z}}{3^{5}\mathbb{Z}}\times \frac{\mathbb{Z}}{7^{6}\mathbb{Z}}$
[/mm]
Danke im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:48 So 01.05.2011 | | Autor: | Lippel |
> Jetzt habe ich hier eine Frage, die ich gerne bearbeiten
> möchte.
>
> Sei [mm]V[/mm] eine ablesche Gruppe mit [mm]V \cong \frac{\mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}}\times \frac{\mathbb{Z}}{12\mathbb{Z}}\times\frac{\mathbb{Z}}{84\mathbb{Z}}\times\frac{\mathbb{Z}}{4116\mathbb{Z}}\times\frac{\mathbb{Z}}{8232\mathbb{Z}}[/mm]
>
> Mann bestimme [mm]m \ in N[/mm]Primzahlen [mm]p_1....p_m[/mm] und positive
> Zahlen[mm]v_1.....v_m[/mm]derart, dass [mm]V \cong \frac{\mathbb{Z}}{p_1^{v1}\mathbb{Z}}...\times.. \frac{\mathbb{Z}}{p_m^{vm}\mathbb{Z}}[/mm]
>
> Mir Fällt hier nur eins ein , weiß aber nicht wie ich das
> richtig aufschreibe.
> Die 2 ist ja
>
> [mm]2 = 2[/mm]
> [mm]12= 2\times\ 2 \times 3[/mm]
> [mm]81 =2\times\ 2 \times 3\times 7[/mm]
>
> [mm]4116=2\times\ 2 \times 3\times 7\times 7[/mm]
> [mm]8232 = 4116=2\times\ 2 \times 3\times 7\times 7\times 7[/mm]
>
> Ist das Richtig wenn ich dann Sage
> [mm]V \cong \frac{\mathbb{Z}}{2^{8}\mathbb{Z}}\times \frac{\mathbb{Z}}{3^{5}\mathbb{Z}}\times \frac{\mathbb{Z}}{7^{6}\mathbb{Z}}[/mm]
Nein, das stimmt nicht ganz. Es handelt sich hier um eine Anwendung des Hauptsatzen über endlich erzeugte abelsche Gruppen. Was du hier brauchst, versuche ich kurz an einem Beispiel zu zeigen. Es ist tatsächlich [mm] $\IZ/6\IZ \cong \IZ/2\IZ \times \IZ/3\IZ. [/mm] Es gilt aber: [mm] $\IZ/4\IZ \not\cong \IZ/2\IZ \times \IZ/2\IZ$ [/mm] Letzteres sieht man beispielsweise daran, dass [mm] $\IZ/4\IZ$ [/mm] ein Element der Ordnung 4 enthält, nämlich [mm] $\overline{1}$. $\IZ/2\IZ \times \IZ/2\IZ$ [/mm] enthält kein Element der Ordnung 4, die Elemente sind nämlich [mm] $\{(0,0), (1,0), (0,1), (1,1)\}$, [/mm] die haben alle maximal Ordnung 2.
Also was ist die Essenz des ganzen: Für zwei Primzahlen [mm] $p_1, p_2$ [/mm] gilt: [mm] $\IZ/p_1\IZ \times \IZ/p_2\IZ \cong \IZ/{p_1 p_2}\IZ$ [/mm] nur dann, wenn [mm] $p_1$ [/mm] und [mm] $p_2$ [/mm] verschieden sind. Das heißt konkret für deine Aufgabe:
[mm] $\IZ/12\IZ \cong \IZ/2^2\IZ \times \IZ/3\IZ$
[/mm]
[mm] $\IZ/81\IZ \cong \IZ/2^2\IZ \times \IZ/3\IZ \times \IZ/7\IZ$
[/mm]
usw.
Wenn dir die Sache noch nicht ganz klar ist, dann schau dir den Satz über endlich erzeugte abelsche Gruppen an.
LG Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:04 So 01.05.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Danke Lippel,
müsste das dann so heißen?
$ [mm] \IZ/12\IZ \cong \IZ/2^2\IZ \times \IZ/3\IZ [/mm] $
$ [mm] \IZ/81\IZ \cong \IZ/2^2\IZ \times \IZ/3\IZ \times \IZ/7\IZ [/mm] $
$ [mm] \IZ/4116\IZ \cong \IZ/2^2\IZ \times \IZ/3\IZ \times \IZ/7\IZ \times \IZ/7\IZ$
[/mm]
$ [mm] \IZ/8232\IZ \cong \IZ/2^3\IZ \times \IZ/3\IZ \times \IZ/7\IZ \times \IZ/7\IZ$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] V [mm] \cong \frac{\mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}}\times \frac{\mathbb{Z}}{12\mathbb{Z}}\times\frac{\mathbb{Z}}{84\mathbb{Z}}\times\frac{\mathbb{Z}}{4116\mathbb{Z}}\times\frac{\mathbb{Z}}{8232\mathbb{Z}} \IZ/2^2\IZ \times \IZ/3\IZ \times\cong \IZ/2^2\IZ \times \IZ/3\IZ \times \IZ/7\IZ \times \IZ/2^2\IZ \times \IZ/3\IZ \times \IZ/7\IZ \times \IZ/7\IZ \timesIZ/2^3\IZ \times \IZ/3\IZ \times \IZ/7\IZ \times \IZ/7\IZ$
[/mm]
Kann man das nicht abkürzen ?
Viele Grüße
Nadia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:28 So 01.05.2011 | | Autor: | Lippel |
Nabend,
> [mm]\IZ/12\IZ \cong \IZ/2^2\IZ \times \IZ/3\IZ[/mm]
> [mm]\IZ/81\IZ \cong \IZ/2^2\IZ \times \IZ/3\IZ \times \IZ/7\IZ[/mm]
>
> [mm]\IZ/4116\IZ \cong \IZ/2^2\IZ \times \IZ/3\IZ \times \IZ/7\IZ \times \IZ/7\IZ[/mm]
Nein, [mm] $\IZ/49\IZ \not\cong \IZ/7\IZ.
[/mm]
[mm]\IZ/4116\IZ \cong \IZ/2^2\IZ \times \IZ/3\IZ \times \IZ/7^2\IZ [/mm]
> [mm]\IZ/8232\IZ \cong \IZ/2^3\IZ \times \IZ/3\IZ \times \IZ/7\IZ \times \IZ/7\IZ[/mm]
Gleicher Fehler hier:
[mm]\IZ/8232\IZ \cong \IZ/2^3\IZ \times \IZ/3\IZ \times \IZ/7^2\IZ [/mm]
>
> [mm]\Rightarrow V \cong \frac{\mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}}\times \frac{\mathbb{Z}}{12\mathbb{Z}}\times\frac{\mathbb{Z}}{84\mathbb{Z}}\times\frac{\mathbb{Z}}{4116\mathbb{Z}}\times\frac{\mathbb{Z}}{8232\mathbb{Z}} \cong \IZ/2^2\IZ \times \IZ/3\IZ \times \IZ/2^2\IZ \times \IZ/3\IZ \times \IZ/7\IZ \times \IZ/2^2\IZ \times \IZ/3\IZ \times \IZ/7^2\IZ \times \IZ/2^3\IZ \times \IZ/3\IZ \times \IZ/7^2\IZ[/mm]
Das passt dann folglich auch nicht, es fehlt ganz am Anfang nach dem letzten = auch noch ein [mm] $\IZ/2\IZ$
[/mm]
Doch, schreibtechnisch schon:
[mm] $\ldots [/mm] = [mm] \IZ/2\IZ \times (\IZ/2^2\IZ)^3 \times \IZ/2^3\IZ \times (\IZ/3\IZ)^4 \times \IZ/7\IZ \times (\IZ/7^2\IZ)^2 [/mm] [/mm]
LG Lippel
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