Zerlegung in irr. Poly. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Mi 22.08.2012 | | Autor: | Lonpos |
| Aufgabe | [mm] f\in{K[x]} f\not=0. [/mm] Sei [mm] K=\IR
[/mm]
[mm] f(x)=(x^4-1)*(x^3+1)^2 [/mm] |
Ich habe dieses Polynom aus einer meiner Skripten, in welchem nun die Zerlegung in [mm] f=c*p_1*p_2*...*p_k [/mm] mit [mm] p_i\in\mathcal{P} [/mm] durchgeführt wurde.
[mm] p_1(x)=x+1 f(p_1)=Grad=3
[/mm]
[mm] p_2(x)=x^2+1
[/mm]
[mm] p_3(x)=x-1
[/mm]
[mm] p_4(x)=x^2-x+1
[/mm]
Könnte mir jemand mitteilen, wie man vorgehen muss um die gewünschten irreduziblen Polynome zu erhalten? Ich habe das nicht ganz nachvollziehen können.
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moin,
Könntest du erstmal kurz erzählen, was du grad machen möchtest:
> [mm]f\in{K[x]} f\not=0.[/mm] Sei [mm]K=\IR[/mm]
Also du hast $0 [mm] \neq [/mm] f [mm] \in \IR[x]$ [/mm] ?
> [mm]f(x)=(x^4-1)*(x^3+1)^2[/mm]
> Ich habe dieses Polynom aus einer meiner Skripten, in
> welchem nun die Zerlegung in [mm]f=c*p_1*p_2*...*p_k[/mm] mit
> [mm]p_i\in\mathcal{P}[/mm] durchgeführt wurde.
$c$ soll eine Einheit, also in diesem Fall eine reelle Zahl ungleich 0 sein und die [mm] $p_i$ [/mm] sollen irreduzible Polynome sein rate ich einfach mal?
> [mm]p_1(x)=x+1 f(p_1)=Grad=3[/mm]
Huch?
Wie kommst du darauf?
Und was soll [mm] $f(p_1)$ [/mm] sein?
Wie und wieso setzt du ein Polynom in ein anderes ein?
> [mm]p_2(x)=x^2+1[/mm]
>
> [mm]p_3(x)=x-1[/mm]
>
> [mm]p_4(x)=x^2-x+1[/mm]
>
> Könnte mir jemand mitteilen, wie man vorgehen muss um die
> gewünschten irreduziblen Polynome zu erhalten? Ich habe
> das nicht ganz nachvollziehen können.
>
Da kann dir sicher geholfen werden.
Aber erzähl erstmal wie du zu faktorisieren versuchst.
Es gibt eine ganze Reihe verschiedener Verfahren um Polynome zu faktorisieren; welche verwendest du hier/versuchst du zu verwenden?
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 Do 23.08.2012 | | Autor: | Lonpos |
Ja c ist eine Einheit ungleich 0, und die [mm] p_i [/mm] sind irreduzible Polynome.
Zur Erläuterung von f(p)=m: Sei [mm] f\in\IR[x], f\not=0, [/mm] p irr. Falls [mm] p^m|f, p^{m+1}\not|f [/mm] sei f(p)=m
Also es wird die Potenz von den [mm] p_i [/mm] dadurch ermittelt, aber kein Polynom in f eingesetzt.
Ich glaube ich weiß nun wie die [mm] p_i [/mm] ermittelt wurden
[mm] (x^4-1)=(x-1)(x+1)(x^2+1)
[/mm]
[mm] (x^2+1)^2=(x+1)^2*(x^2-x+1)^2
[/mm]
=> f= [mm] (x-1)*(x+1)^3*(x^2+1)*(x^2-x+1)^2
[/mm]
Eine Frage zu irr. Polynomen hätte ich aber noch:
Ang [mm] f=ax^2+bx+c, [/mm] wieso ist f genau dann irr. [mm] b^2-4ac<0 [/mm] ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:09 Do 23.08.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
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> Eine Frage zu irr. Polynomen hätte ich aber noch:
>
> Ang [mm]f=ax^2+bx+c,[/mm] wieso ist f genau dann irr. [mm]b^2-4ac<0[/mm] ?
das ist falsch!
[mm] b^2 [/mm] - 4ac sollte dir eigentlich als Diskriminante bekannt sein. (Mitternachtsformel, pq-Formel). Wenn [mm] b^2-4ac [/mm] < 0, dann besitzt das Polynom keine reellen Nullstellen. Es wäre also irreduzibel in [mm] \IR[x]. [/mm]
Grüße
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Hallo Lonpos,
> Ja c ist eine Einheit ungleich 0, und die [mm]p_i[/mm] sind
> irreduzible Polynome.
>
> Zur Erläuterung von f(p)=m: Sei [mm]f\in\IR[x], f\not=0,[/mm] p
> irr. Falls [mm]p^m|f, p^{m+1}\not|f[/mm] sei f(p)=m
>
> Also es wird die Potenz von den [mm]p_i[/mm] dadurch ermittelt, aber
> kein Polynom in f eingesetzt.
>
> Ich glaube ich weiß nun wie die [mm]p_i[/mm] ermittelt wurden
>
> [mm](x^4-1)=(x-1)(x+1)(x^2+1)[/mm]
>
> [mm](x^2+1)^2=(x+1)^2*(x^2-x+1)^2[/mm]
Hier ist nur ein Tippfehler. Links steht [mm] (x^{\blue{3}}+1)^2
[/mm]
> => f= [mm](x-1)*(x+1)^3*(x^2+1)*(x^2-x+1)^2[/mm]
Ja, genau.
Es ist gut und für solche Faktorisierungen oft nützlich zu wissen, dass [mm] (x^{2k-1}+a^{2k-1}) [/mm] durch (x+a) teilbar ist.
Grüße
reverend
> Eine Frage zu irr. Polynomen hätte ich aber noch:
>
> Ang [mm]f=ax^2+bx+c,[/mm] wieso ist f genau dann irr. [mm]b^2-4ac<0[/mm] ?
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