Zerlegung in Linearfaktoren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Geben Sie ein Beispiel für eine Matrix A [mm] \in M_{22}(\IR), [/mm] deren charakteristisches Polynom nicht in Linearfaktoren zerfällt. |
Hallo,
es wäre nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Meine Frage wäre jetzt folgende: Wann zerfällt ganz allgemein ein Polynom nicht in Linearfaktoren?!
Kann man generell sagen, dass wenn das Polynom im entsprechenden Körper keine einzige Nullstelle hat, es nicht in Linearfaktoren zerfällt.
Und wenn das so richtig sein sollte, gibt es auch Polynome mit Nullstellen, die aber trotzdem nicht in Linearfaktoren zerfallen?
Vielen Dank schon mal für die Hilfe!
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Hi,
> Geben Sie ein Beispiel für eine Matrix A [mm]\in M_{22}(\IR),[/mm]
> deren charakteristisches Polynom nicht in Linearfaktoren
> zerfällt.
> Hallo,
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> es wäre nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Meine
> Frage wäre jetzt folgende: Wann zerfällt ganz allgemein ein
> Polynom nicht in Linearfaktoren?!
> Kann man generell sagen, dass wenn das Polynom im
> entsprechenden Körper keine einzige Nullstelle hat, es
> nicht in Linearfaktoren zerfällt.
> Und wenn das so richtig sein sollte, gibt es auch Polynome
> mit Nullstellen, die aber trotzdem nicht in Linearfaktoren
> zerfallen?
>
naja, bleiben wir erstmal bei den 2x2-matrizen ueber R. das charakteristische polynom hat dann die ordnung 2. Sobald es eine nullstelle [mm] $\lambda_0$ [/mm] hat, kann man diese natuerlich herausdividieren (durch [mm] $(\lambda-\lambda_0)$ [/mm] teilen) und findet damit den zweiten linearfaktor. es gilt also in diesem fall: das char. polyn. hat eine NS gdw. es in linearfaktoren zerfaellt. Fuer groessere matrizen sieht das dann schon ein wenig anders aus.
fuer reelle 2x2 matrizen ist es aber so, dass wenn das char. polynom nicht in LFen zerfaellt, es folglich keine (reellen) Eigenwerte gibt. Ein beispiel dafuer sind zb. die drehungen, also zb die matrix
M= [mm] \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
rechne das mal nach!
gruss
matthias
> Vielen Dank schon mal für die Hilfe!
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