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| Aufgabe | | Definition: ein k-dim. ZV X heißt k-variat normalverteilt, falls ein [mm] \mu\in\IR^k [/mm] und ein [mm] L\in \IR^{k\times m} [/mm] existiert mit Rang(L)=m, so dass [mm] X=LZ+\mu, [/mm] wobei [mm] Z=(Z_1,\ldots,Z_m) [/mm] und [mm] Z_i \sim\mathcal{N}(0,1) [/mm] iid. |
Hallo,
zunächst möchte ich auf die Definition aufmerksam machen, die ich in den Aufgabenbereich geschrieben habe. Bei meiner Frage halte ich mich an die Bezeichner in der Definition, nur das ich kleine Buchstaben verwende.
Angenommen Y ist k-variate normalverteilt, für k=2 bspw.
[mm] \vektor{y_1 \\ y_2}\sim \mathcal{N}\left(\vektor{\mu_1 \\ \mu_2},\pmat{ \sigma^2 & 0.5\\ 0.5&\sigma^2 }\right). [/mm]
Man erzeugt sich davon m-Paare, wobei [mm] LL^T=\pmat{ \sigma^2 & 0.5\\ 0.5&\sigma^2 }, [/mm] bspw. für m=2
[mm] \vektor{y_1 \\ y_3\\y_2\\y_4}=\pmat{ 1& 0\\1&0 \\ 0&1\\0&1}(\vektor{\mu_1 \\ \mu_2}+L\vektor{z_1 \\ z_2}).
[/mm]
Falls die letzte Gleichung stimmt, wie kann ich den allgemeinen Fall mittels k und m ausdrücken?
k=1,..,n und m=1,..,i
[mm] y_{k,m}=\mu_k+...
[/mm]
Kann man die Matix L noch in den Varianz- und Covarianzteil zerlegen bspw.
[mm] \vektor{y_1 \\ y_3\\y_2\\y_4}=\pmat{ 1& 0\\1&0 \\ 0&1\\0&1}(\vektor{\mu_1 \\ \mu_2}+(\pmat{ l_{11}& 0\\ 0&l_{22}}+\pmat{ 0& l_{1,2}\\ 0&0})\vektor{z_1 \\ z_2}). [/mm] Auch hier komme ich im allgmeinen Fall mit den Indezies k und m beim Formulieren von
[mm] y_{k,m}=\mu_k+... [/mm] durcheinander. Kann mir jemand dabei helfen, vielen Dank.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Do 11.10.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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