Zentrum der Gruppe GLn(R) < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimme das Zentrum der folgenden Gruppe: [mm] GLn(\IR) [/mm] |
Hallo Zusammen
Folgendes weiss ich schon zu dieser Aufgabe:
GLn={nxn Matrizen A mit Det(A) [mm] \not= [/mm] 0}
und für das Zentrum von G gilt:
Z(G)={g [mm] \in [/mm] G so dass g*h=h*g gilt [mm] \forall [/mm] h,g [mm] \in [/mm] G}
Ich hab mir mal das Beispiel angeschaut für n=2 und den Matrizen A,B.
A sei hier meine GL2 A= [mm] \vmat{ a & b \\ c & d }
[/mm]
nun gilt für das Zentrum AB=BA wobei ich für B anstelle von a,b,c,d einfach [mm] \alpha,\beta,\gamma,\delta [/mm] wähle.
Ich kann die Gleichung auflösen und muss noch beachten, dass [mm] ad-bc\not=0.
[/mm]
Wo ich nun aber wirklich keine Ahnung habe: Wie bekomme ich daraus auf einen allgemienen Fall n>2?
Ich habe hier keinen Ansatz. Ich kann Determinanten von nxn Matrizen nur mit der Leibnitz-Formel berechnen, wüsste sonst nicht wie.
Ich hoffe, jemand kann mir helfen.
Freundliche Grüsse
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:28 Mi 16.11.2011 | | Autor: | statler |
Hi!
In der Gruppe liegen auf jeden Fall alle Matrizen, die auf der Hauptdiagonalen 1en haben und an einer anderen Stelle ein von 0 verschiedenes Element, sonst Nullen. Jedes Element aus dem Zentrum muß mit allen diesen Dingern kommutieren, und das gibt hoffentlich einen ersten Hinweis auf das Zentrum.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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