Zentrische Streckung < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm]A\cong AG(3,\IK)[/mm] ein geordneter 3-dim. affiner Raum. Zeigen sie analytisch, dass bei einer zentrischen Streckung die Zwischenrelation erhalten bleibt und vorgegebene Ordnungen von Geraden entweder alle belassen oder alle umgedreht werden. |
Hallo Ihr Lieben,
hier mal wieder eine Aufgabe aus dem Bereich der Geometrie. Ich habe mir das Ganze mal skizziert und dann ist ja auch irgendwie klar, dass das gilt. Die Zwischenrelation bleibt unter einer zentrischen Streckung erhalten.
Nur wie zeigt man das jetzt? Die Definitionen von Zwischenrelation und zentrischer Streckung notiere ich mal noch:
Zentrische Streckung: Eine Bijektion [mm] f:P\to [/mm] P heißt Dehnung, falls für beliebige Punkte [mm]A,B\in P[/mm] gilt: f(A)f(B)||AB. Eine Dehung heißt dann zentrische Streckung, falls sie einen Fixpunkt Z hat mit f(Z)=Z.
Zwischenrelation:Sind alle Geraden eines geordneten Inzidenzraumes linear geordnet, so lässt sich eine Relation Z definieren mit [mm](A,B,C)\in Z\gdw[/mm] es existiert ein [mm]g\in G[/mm] mit [mm] A,B,C\in [/mm] g und [mm]A\le B\le C[/mm] oder [mm]C\le B\le A[/mm].
Ach so, und weiß jemand den Begriff analytisch zu interpretieren?
Ich hoffe, es kann jemand etwas damit anfangen!
Viele Grüße
Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:24 Fr 02.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Daniel!
> Sei [mm]A\cong AG(3,\IK)[/mm] ein geordneter 3-dim. affiner Raum.
> Zeigen sie analytisch, dass bei einer zentrischen Streckung
> die Zwischenrelation erhalten bleibt und vorgegebene
> Ordnungen von Geraden entweder alle belassen oder alle
> umgedreht werden.
> Hallo Ihr Lieben,
>
> hier mal wieder eine Aufgabe aus dem Bereich der Geometrie.
> Ich habe mir das Ganze mal skizziert und dann ist ja auch
> irgendwie klar, dass das gilt. Die Zwischenrelation bleibt
> unter einer zentrischen Streckung erhalten.
>
> Nur wie zeigt man das jetzt? Die Definitionen von
> Zwischenrelation und zentrischer Streckung notiere ich mal
> noch:
>
> Zentrische Streckung: Eine Bijektion [mm]f:P\to[/mm] P heißt
> Dehnung, falls für beliebige Punkte [mm]A,B\in P[/mm] gilt:
> f(A)f(B)||AB. Eine Dehung heißt dann zentrische Streckung,
> falls sie einen Fixpunkt Z hat mit f(Z)=Z.
>
> Zwischenrelation:Sind alle Geraden eines geordneten
> Inzidenzraumes linear geordnet, so lässt sich eine Relation
> Z definieren mit [mm](A,B,C)\in Z\gdw[/mm] es existiert ein [mm]g\in G[/mm]
> mit [mm]A,B,C\in[/mm] g und [mm]A\le B\le C[/mm] oder [mm]C\le B\le A[/mm].
>
> Ach so, und weiß jemand den Begriff analytisch zu
> interpretieren?
> Ich hoffe, es kann jemand etwas damit anfangen!
Vielleicht ist gemeint, dass du die Geraden als [mm] $\{ a + \lambda b \in \mathbb{K}^3 \mid \lambda \in \mathbb{K} \}$ [/mm] beschreibst und die zentrische Streckung als affine Abbildung mit den geforderten Eigenschaften...
LG Felix
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Hallo Felix, danke erst mal.
Okay, dann nehme ich also zwei Geraden g,h dieser Form. Um dann irgendwie auf die zentrische Streckung zu kommen, müssen diese sich in einem Punkt Z schneiden. Dieses ist das Zentrum der Streckung. Ein Punkt [mm] A\in [/mm] g und ein Punkt [mm] B\in [/mm] h werden dann durch diese Streckung verschoben in die Punkt [mm] A'\in [/mm] g und [mm] B'\in [/mm] h. Betrachtet man dann die Geraden durch A und B bzw. A' und B', dann liegt nach (OR 2) zwischen A und B sicher ein weiterer Punkt C und zwischen A' und B' ein Punkt C'. Aber wie sehe ich jetzt, dass C' das Bild von C unter f ist? Oder sollte ich die Darstellungsform der Geraden irgendwie benutzen?
Bitte um Hilfe!
VG Daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 Sa 03.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Daniel!
Habt ihr irgendein Resultat gehabt, wie zentrische Streckungen in $AG(3, [mm] \mathbb{K})$ [/mm] aussehen? Also was so eine mit einem Vektor $(x, y, z) [mm] \in \mathbb{K}^3$ [/mm] macht? Das sind ja alles affine Abbildungen der Form $x [mm] \mapsto [/mm] A x + b$, wobei $A [mm] \in GL_3(\mathbb{K})$ [/mm] ist und $b [mm] \in \mathbb{K}^3$.
[/mm]
Und wenn du nun eine Gerade [mm] $\{ a + \lambda v \mid \lambda \in \mathbb{K} \}$ [/mm] hast mit $a, v [mm] \in \mathbb{K}^3$, [/mm] $v [mm] \neq [/mm] 0$, so wird die Gerade auf die Gerade [mm] $\{ (A a + b) + \lambda A v \mid \lambda \in \mathbb{K} \}$ [/mm] abgebildet, und ein Punkt $x = a + [mm] \lambda [/mm] v$ aus der Gerade wird auf $(A a + b) + [mm] \lambda [/mm] A v$ abgebildet.
Damit sollte die Behauptung ziemlich schnell folgen. Zumidenst wenn du weisst, dass zentrische Streckungen von dieser Form sind.
> Okay, dann nehme ich also zwei Geraden g,h dieser Form. Um
> dann irgendwie auf die zentrische Streckung zu kommen,
> müssen diese sich in einem Punkt Z schneiden. Dieses ist
> das Zentrum der Streckung. Ein Punkt [mm]A\in[/mm] g und ein Punkt
> [mm]B\in[/mm] h werden dann durch diese Streckung verschoben in die
> Punkt [mm]A'\in[/mm] g und [mm]B'\in[/mm] h. Betrachtet man dann die Geraden
> durch A und B bzw. A' und B', dann liegt nach (OR 2)
> zwischen A und B sicher ein weiterer Punkt C und zwischen
> A' und B' ein Punkt C'. Aber wie sehe ich jetzt, dass C'
> das Bild von C unter f ist? Oder sollte ich die
> Darstellungsform der Geraden irgendwie benutzen?
Ich versteh nicht so genau was du da machst. Du hast eine zentrische Streckung mit Zentrum $Z$, und du nimmst zwei Punkte $A, B$ mit $g = A Z$ und $h = B Z$? Und dann nimmst du ein $C$ auf $A B$, welches zwischen $A$ und $B$ liegst? Und dann bildest du alles ab? Verstehe ich das richtig?
LG Felix
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Hallo Felix,
> Hallo Daniel!
>
> Habt ihr irgendein Resultat gehabt, wie zentrische
> Streckungen in [mm]AG(3, \mathbb{K})[/mm] aussehen? Also was so eine
> mit einem Vektor [mm](x, y, z) \in \mathbb{K}^3[/mm] macht? Das sind
> ja alles affine Abbildungen der Form [mm]x \mapsto A x + b[/mm],
> wobei [mm]A \in GL_3(\mathbb{K})[/mm] ist und [mm]b \in \mathbb{K}^3[/mm].
>
> Und wenn du nun eine Gerade [mm]\{ a + \lambda v \mid \lambda \in \mathbb{K} \}[/mm]
> hast mit [mm]a, v \in \mathbb{K}^3[/mm], [mm]v \neq 0[/mm], so wird die
> Gerade auf die Gerade [mm]\{ (A a + b) + \lambda A v \mid \lambda \in \mathbb{K} \}[/mm]
> abgebildet, und ein Punkt [mm]x = a + \lambda v[/mm] aus der Gerade
> wird auf [mm](A a + b) + \lambda A v[/mm] abgebildet.
>
> Damit sollte die Behauptung ziemlich schnell folgen.
> Zumidenst wenn du weisst, dass zentrische Streckungen von
> dieser Form sind.
Ja, okay soweit wäre mir das klar, aber wie müsste denn dann eine zentrische Streckung definiert sein? Was genau ist dieses GL oder welcher Art ist dieses A? Wieso folgt jetzt, dass die Zwischenrelation erhalten bleibt? Wenn man sich also drei Punkte x,y,z nimmt, dann werden sie doch alle auf $ (A a + b) + [mm] \lambda [/mm] A v $ abgebildet oder? Damit würden die Punkte und die Bilder sich nur im [mm] \lambda [/mm] unterscheiden richtig? Und?
>
> > Okay, dann nehme ich also zwei Geraden g,h dieser Form. Um
> > dann irgendwie auf die zentrische Streckung zu kommen,
> > müssen diese sich in einem Punkt Z schneiden. Dieses ist
> > das Zentrum der Streckung. Ein Punkt [mm]A\in[/mm] g und ein Punkt
> > [mm]B\in[/mm] h werden dann durch diese Streckung verschoben in die
> > Punkt [mm]A'\in[/mm] g und [mm]B'\in[/mm] h. Betrachtet man dann die Geraden
> > durch A und B bzw. A' und B', dann liegt nach (OR 2)
> > zwischen A und B sicher ein weiterer Punkt C und zwischen
> > A' und B' ein Punkt C'. Aber wie sehe ich jetzt, dass C'
> > das Bild von C unter f ist? Oder sollte ich die
> > Darstellungsform der Geraden irgendwie benutzen?
>
> Ich versteh nicht so genau was du da machst. Du hast eine
> zentrische Streckung mit Zentrum [mm]Z[/mm], und du nimmst zwei
> Punkte [mm]A, B[/mm] mit [mm]g = A Z[/mm] und [mm]h = B Z[/mm]? Und dann nimmst du ein
> [mm]C[/mm] auf [mm]A B[/mm], welches zwischen [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] liegst? Und dann
> bildest du alles ab? Verstehe ich das richtig?
Das verstehst du richtig, bringt das was? Aber wahrscheinlich ist die analytische Methode besser, sie ist ja auch in der Aufgabe gefordert.
>
> LG Felix
>
Vielen Dank, viele Grüße
Daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:17 Sa 03.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Daniel!
> > Hallo Daniel!
> >
> > Habt ihr irgendein Resultat gehabt, wie zentrische
> > Streckungen in [mm]AG(3, \mathbb{K})[/mm] aussehen? Also was so eine
> > mit einem Vektor [mm](x, y, z) \in \mathbb{K}^3[/mm] macht? Das sind
> > ja alles affine Abbildungen der Form [mm]x \mapsto A x + b[/mm],
> > wobei [mm]A \in GL_3(\mathbb{K})[/mm] ist und [mm]b \in \mathbb{K}^3[/mm].
>
> >
> > Und wenn du nun eine Gerade [mm]\{ a + \lambda v \mid \lambda \in \mathbb{K} \}[/mm]
> > hast mit [mm]a, v \in \mathbb{K}^3[/mm], [mm]v \neq 0[/mm], so wird die
> > Gerade auf die Gerade [mm]\{ (A a + b) + \lambda A v \mid \lambda \in \mathbb{K} \}[/mm]
> > abgebildet, und ein Punkt [mm]x = a + \lambda v[/mm] aus der Gerade
> > wird auf [mm](A a + b) + \lambda A v[/mm] abgebildet.
> >
> > Damit sollte die Behauptung ziemlich schnell folgen.
> > Zumidenst wenn du weisst, dass zentrische Streckungen von
> > dieser Form sind.
>
> Ja, okay soweit wäre mir das klar, aber wie müsste denn
> dann eine zentrische Streckung definiert sein? Was genau
> ist dieses GL oder welcher Art ist dieses A?
[mm] $GL_n(\mathbb{K})$ [/mm] ist die Gruppe der invertierbaren $n [mm] \times [/mm] n$-Matrizen mit Koeffizienten in dem Koerper [mm] $\mathbb{K}$.
[/mm]
Ihr habt doch sicher irgendein Resultat welches sagt, wie die zentrischen Streckungen von $A(n, [mm] \mathbb{K})$ [/mm] aussehen. Oder wie die Dehnungen aussehen.
> Wieso folgt
> jetzt, dass die Zwischenrelation erhalten bleibt? Wenn man
> sich also drei Punkte x,y,z nimmt, dann werden sie doch
> alle auf [mm](A a + b) + \lambda A v[/mm] abgebildet oder? Damit
> würden die Punkte und die Bilder sich nur im [mm]\lambda[/mm]
> unterscheiden richtig? Und?
Wie ist denn die Ordnungsrelation auf der Geraden [mm] $\{ a + \lambda v \mid \lambda \in \mathbb{K} \}$ [/mm] definiert; wenn du zwei Punkte $a + [mm] \lambda [/mm] v$ und $a + [mm] \mu [/mm] v$ hast, [mm] $\lambda, \mu \in \mathbb{K}$, [/mm] wann gilt $a + [mm] \lambda [/mm] v [mm] \le [/mm] a + [mm] \mu [/mm] v$?
> > > Okay, dann nehme ich also zwei Geraden g,h dieser Form. Um
> > > dann irgendwie auf die zentrische Streckung zu kommen,
> > > müssen diese sich in einem Punkt Z schneiden. Dieses ist
> > > das Zentrum der Streckung. Ein Punkt [mm]A\in[/mm] g und ein Punkt
> > > [mm]B\in[/mm] h werden dann durch diese Streckung verschoben in die
> > > Punkt [mm]A'\in[/mm] g und [mm]B'\in[/mm] h. Betrachtet man dann die Geraden
> > > durch A und B bzw. A' und B', dann liegt nach (OR 2)
> > > zwischen A und B sicher ein weiterer Punkt C und zwischen
> > > A' und B' ein Punkt C'. Aber wie sehe ich jetzt, dass C'
> > > das Bild von C unter f ist? Oder sollte ich die
> > > Darstellungsform der Geraden irgendwie benutzen?
> >
> > Ich versteh nicht so genau was du da machst. Du hast eine
> > zentrische Streckung mit Zentrum [mm]Z[/mm], und du nimmst zwei
> > Punkte [mm]A, B[/mm] mit [mm]g = A Z[/mm] und [mm]h = B Z[/mm]? Und dann nimmst du ein
> > [mm]C[/mm] auf [mm]A B[/mm], welches zwischen [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] liegst? Und dann
> > bildest du alles ab? Verstehe ich das richtig?
>
> Das verstehst du richtig, bringt das was? Aber
Wenn du es geometrisch Loesen willst ist das sicher ein guter Ansatz. Fuer die analytische Methode bringt es allerdings nichts...
LG Felix
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Hallo Felix,
ah ja, habs gerade gefunden. Es lautet: Für Geraden im AG(3,IR) definieren wir für die Gerade eine Ordnungsrelation
$ a + [mm] \lambda [/mm] v [mm] \le [/mm] a + [mm] \mu [/mm] v [mm] $\gdw \lambda\le\mu
[/mm]
Wenn ich das dann also für drei Punkte auf einer solcher Geraden mache und diese Definition ausnutze, müsste ich dann ziemlich fertig sein, oder? Und ist damit auch gezeigt, dass die Ordnung erhalten bleibt oder sich umkehrt?
Und hier die Definition für zentrische Streckung:
In AG(3,IK) wird zu [mm] p\in\IK^{3} [/mm] und [mm] k\in\IK [/mm] \ [mm] \{0\} [/mm] durch [mm] f_{p,k}:\IK^{3}\to\IK^{3} [/mm] mit [mm]x\mapsto k(x-p)[/mm] eine zentrische Streckung definiert.
Also, genau das, was du meintest.
Danke, Daniel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:52 Sa 03.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Daniel!
> ah ja, habs gerade gefunden. Es lautet: Für Geraden im
> AG(3,IR) definieren wir für die Gerade eine
> Ordnungsrelation
>
> [mm]a + \lambda v \le a + \mu v[/mm][mm] \gdw \lambda\le\mu[/mm]
>
> Wenn ich das dann also für drei Punkte auf einer solcher
> Geraden mache und diese Definition ausnutze, müsste ich
> dann ziemlich fertig sein, oder? Und ist damit auch
> gezeigt, dass die Ordnung erhalten bleibt oder sich
> umkehrt?
Ja, fast  Das `Problem' ist, das diese Definition der Ordnung abhaengig von $a$ und $v$ ist (eigentlich nur von der Richtung von $v$). Wenn du allerdings zwei Paare $(a, v)$ und $(a', v')$ zur gleichen Gerade hast, dann erzeugen sie entweder die gleiche Ordnung oder die entgegengesetzte Ordnung. Jedoch ist in beiden Faellen die Relation `zwischen zwei anderen Punkten liegen' dieselbe -- und genau das brauchst du hier
> Und hier die Definition für zentrische Streckung:
>
> In AG(3,IK) wird zu [mm]p\in\IK^{3}[/mm] und [mm]k\in\IK[/mm] \ [mm]\{0\}[/mm] durch
> [mm]f_{p,k}:\IK^{3}\to\IK^{3}[/mm] mit [mm]x\mapsto k(x-p)[/mm] eine
(Du bist dir sicher, dass es nicht $k (x - p) + p$ ist?)
> zentrische Streckung definiert.
Genau, wobei das hier noch einfacher ist
LG Felix
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Hi Felix,
alles klar. Danke und dir noch schöne Pfingsten.
VG Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:59 Sa 03.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Daniel!
> alles klar. Danke und dir noch schöne Pfingsten.
Danke gleichfalls
LG Felix
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