Zentraler Grenzwertsatz < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:26 Mo 19.09.2005 | | Autor: | Magician |
Hallo,
ich habe da eine Frage zum Zentralen Grenzwertsatz. Ich soll mit dessen Hilfe die Wahrscheinlichkeit berechnen, mit 6000 Würfelwurfen die "6" mehr las 1100 mal zu würfeln.
Also habe ich ja folgendes:
[mm]P(S6000>1100)[/mm], da nun gilt (mit dem Satz von Moivre-Laplace) [mm]Sn \le b <=> \bruch{Sn-np}{\wurzel{np(1-p)}} \le \bruch{b-np}{\wurzel{np(1-p)}}[/mm]
kann ich ja nun auch schreiben (mit [mm]p=1/6 und 1-p=5/6[/mm])
[mm] P(S6000>1100)=P(S6000-1000>100)=P(\bruch{S6000-1000}{\wurzel{6000*5/36}}>\bruch{100}{\wurzel{6000*5/36}})
[/mm]
Dabei ist [mm]\bruch{S6000-1000}{\wurzel{6000*5/36}}=S6000'[/mm]
Wie berechne ich nun aber S6000, ich weiss das [mm]Sn=\summe_{i=1}^{n} Xi[/mm] ist. Aber was sind hier die einzelnen Xi?
Danke schonmal. MfG Magician.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:34 Mo 19.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Nach dem Grenzwertsatz von Moivre-Laplace gilt näherungsweise:
$P [mm] \left( \frac{S_{6000} - 1000}{\sqrt{6000 \cdot \frac{5}{36}}} > \frac{100}{\sqrt{6000 \cdot \frac{5}{36}}} \right) [/mm] = 1 - [mm] \Phi \left( \frac{100}{\sqrt{6000 \cdot \frac{5}{36}}} \right)$,
[/mm]
wobei [mm] $\Phi$ [/mm] die Verteilungsfunktion der Gaußschen Normalverteilung ist, deren Werte man in nahezu jedem Stochastik-Buch tabellarisch aufgeführt sieht.
Viele Grüße
Julius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Mo 19.09.2005 | | Autor: | Magician |
Ja, wie der rest dann geht weiss ich auch aber warum ist die nun der erste Teil "1" , ich würde auch gerne wissen wie mann denn allgemein diese Summe berechnet.
Auf jeden Fall schnonmal danke für deine Antwort.
MfG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:44 Mo 19.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Es geht nicht darum irgendwelche Summen auszurechnen.
Nach dem Grenzwertsatz kennt man näherungsweise die Verteilung der standardisierten Summe
[mm] $S_n^{\star} [/mm] = [mm] \frac{S_n - np}{\sqrt{np(1-p)}}$.
[/mm]
Man weiß, dass diese näherngsweise standardnormalverteilt ist, also:
[mm] $P(S_n^{\star} \le [/mm] c ) [mm] \approx \Phi(c)$.
[/mm]
Wenn wir nun zum Gegenereignis übergehen, erhalten wir entsprechend:
[mm] $P(S_n^{\star} [/mm] >c) = 1 - [mm] P(S_n^{\star} \le [/mm] c ) [mm] \approx [/mm] 1- [mm] \Phi(c)$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
|
|
|
|
