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Zeigen von Konvergenz: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:34 Mo 14.11.2011
Autor: KaJaTa

Aufgabe
Bestimmen Sie folgende Grenzwerte mit Hilfe der Rechenregeln für Folgen.
Begründen Sie jeweils kurz, dass die Voraussetzungen für die Anwendung der Regeln erfüllt sind.

Wie zeige ich, dass eine Folge konvergent ist, damit ich die Rechenregeln anwenden kann.
Z.B. bei

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}=(1+n^{2})*(\bruch{1}{n^{4}}-\bruch{1}{n^{2}}) [/mm]

        
Bezug
Zeigen von Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:42 Mo 14.11.2011
Autor: schachuzipus

Hallo KaJaTa,


> Bestimmen Sie folgende Grenzwerte mit Hilfe der
> Rechenregeln für Folgen.
>  Begründen Sie jeweils kurz, dass die Voraussetzungen für
> die Anwendung der Regeln erfüllt sind.
>  Wie zeige ich, dass eine Folge konvergent ist, damit ich
> die Rechenregeln anwenden kann.
> Z.B. bei
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}=(1+n^{2})*(\bruch{1}{n^{4}}-\bruch{1}{n^{2}})[/mm]

Was soll das bedeuten?

Insbesondere das "=" ??

Das ergibt doch überhaupt keinen Sinn ...

Du meinst [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left[\left(1+n^2\right)\cdot{}\left(\frac{1}{n^4}-\frac{1}{n^2}\right)\right][/mm]

Nun, du weißt, dass das Produkt zweier konvergenter Folgen konvergent ist und der GW das Produkt der "Einzel"grenzwerte ist.

Hier ist "leider" die Folge [mm]\left(1+n^2\right)_{n\in\IN}[/mm] divergent, die andere konvergent, das hilft also nix.

Multipliziere die beiden Klammern miteinander, das ergibt:

[mm]\frac{1}{n^4}-\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^2}-1=\frac{1}{n^4}-1[/mm]

Was treibt das für [mm]n\to\infty[/mm]?

Welche Rechenregel für Grenzwerte nutzt du dabei?

Gruß

schachuzipus


>  


Bezug
                
Bezug
Zeigen von Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:58 Mo 14.11.2011
Autor: KaJaTa

Danke für den Tipp. Das mit dem = war natürlich nur eine Unachtsamkeit.

Durch die Umformung sieht man halt, dass nun beide Folgenglieder konvergieren. Einmal gg 0 und 1. Und die Differenz beider Einzelgrenzwerte ist nunmal der Gesamtgrenzwert.
Hier -1

Dankeschön



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