Zeigen durch Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:28 Di 23.06.2009 | | Autor: | equity |
| Aufgabe | Sie sollen zeigen, dass für x [mm] \in [/mm] [0,1]
[mm] ln(1+x)=x-\frac{1}{2}*x^2+\frac{1}{3}*x^3+\frac{1}{4}*x^4+...
[/mm]
Gehen sie wie folgt vor:
Sei [mm]f(x)=ln(1+x)[/mm]. Zeigen sie durch Induktion: Für [mm]n\in\IN\setminus\{0\}[/mm] ist
[mm] f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{n-1}*(n-1)!}{(x+1)^n}[/mm]. |
Hallo :)
Ich habe zwar mal gewusst, wie das mit der Vollständigen Induktion geht, aber mit der Aufgabe komme ich nicht wirklich weiter.
Ich habe einfach mal mit dem Induktionsanfang begonnen und habe für n=1 gewählt:
[mm] [mm] f^{(1)}(x)=\frac{(-1)^{1-1}*(1-1)!}{(x+1)^1} [/mm] = [mm] \frac{1}{1+x}
[/mm]
und da: (ln(1+x))´= [mm] \frac{1}{1+x} [/mm]
lautet die Induktionsvoraussetzung: Die Formel sei richtig für ein beliebiges, aber festes [mm] n\in \IN. [/mm]
Eigentlich müsste ich doch jetzt mit n [mm] \to [/mm] n+1, also mit dem Induktionsschluss weitermachen. Aber ich weiss ja noch nicht mal, ob mein Anfang richtig ist, weil mich noch die Angaben
x [mm] \in [/mm] [0,1]
[mm] ln(1+x)=x-\frac{1}{2}*x^2+\frac{1}{3}*x^3+\frac{1}{4}*x^4+...
[/mm]
verwirren. Kann mir jemand bitte helfen?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:32 Di 23.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo equity!
Dein Anfang war gut und richtig. Nun nimm im Induktionsschritt den Term für [mm] $f^{(n)}(x)$ [/mm] und bilde die Ableitung.
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:38 Di 23.06.2009 | | Autor: | equity |
Welchen Term soll ich jetzt genau ableiten, sooorry...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:49 Di 23.06.2009 | | Autor: | equity |
Ach: Also ich setze im Induktionsschritt: n [mm] \to [/mm] n+1 und dann setze ich in die Formel wieder für n=1 ein und bilde dann die Ableitung von [mm] \frac{1}{1+x}
[/mm]
und habe damit dann bewiesen, dass das für jedes weitere n [mm] \in \IN [/mm] stimmt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:05 Di 23.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo equity!
Diesen Term hier musst Du ableiten:
$$ [mm] f^{(n)}(x) [/mm] \ = \ [mm] \frac{(-1)^{n-1}\cdot{}(n-1)!}{(x+1)^n} [/mm] $$
Da sollte dann herauskommen:
$$ [mm] f^{(n+1)}(x) [/mm] \ = \ [mm] \frac{(-1)^{n}\cdot{}n!}{(x+1)^{n+1}} [/mm] $$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:12 Di 23.06.2009 | | Autor: | equity |
Danke für Deine Hilfe Loddar :))
Gute Nacht!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:17 Di 23.06.2009 | | Autor: | equity |
Guten Morgen :)
Ich habe gerade gemerkt, dass ich hier doch noch beim Aufschreiben Probleme habe. An welcher Stelle mache ich denn eine Notiz, dass ich beim Induktionsschritt die Induktionsvoraussetzung anwende?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:25 Di 23.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Etwa so:
Nach Induktionsvor. ist
$ [mm] f^{(n+1)}(x)= [/mm] ( [mm] \frac{(-1)^{n-1}\cdot{}(n-1)!}{(x+1)^n})' [/mm] = ....$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:36 Di 23.06.2009 | | Autor: | equity |
| Aufgabe | b)Stellen Sie das Taylorpolynom n-ten Grades im Entwicklungspunkt [mm] x_0=0
[/mm]
und das das zugehörige Restglied [mm] R_n(x) [/mm] auf.
c) Zeigen Sie: Für x [mm] \in [/mm] [0,1] gilt [mm] \lim_{n \to \infty}|R_n(x)|=0. [/mm] |
Ich habe diese zusätzlichen Aufgaben noch reingestellt, weil einige Angaben vielleicht nur etwas mit den nächsten Zusatzaufgaben zu tun haben? Sorry, aber ich sehe das momentan noch nicht, weil ich noch mit a) beschäftigt bin.
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:05 Di 23.06.2009 | | Autor: | pelzig |
Ja, in a) hast du nur die Taylorreihe von [mm] $f(x)=\log(1+x)$ [/mm] um [mm] $x_0=0$ [/mm] berechnet. Aufgabe b) und c) zeigen, dass die Taylorreihe für [mm] $x\in[0,1]$ [/mm] auch tatsächlich gegen f konvergiert.
Gruß, Robert
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