Zeigen der Differenzierbarkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:27 Di 08.06.2004 | | Autor: | Laura20 |
Hallo!
Ich komme mit folgender Aufgabe einfach nicht zurecht, da ich Aufgaben dieser Art (differenzierbarkeit zeigen) noch nie bearbeitet habe. Ich würde mich sehr freuen, wenn ihr mir helfen könntet :)
Hier ist die Aufgabe:
Die Funktion f: [mm] [\bruch{-\pi}{2}, \bruch{\pi}{2}] \to\IR [/mm] sei definiert durch:
[mm] f(t)=\vmat{ sin(t) }- \vmat{ t }cos(t)
[/mm]
Zeigen sie, dass f differenzierbar ist.
p.s. Die Eingabehilfen sind übrigens wirklich gut.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Di 08.06.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Laura!
> Die Funktion f: [mm] [\bruch{-\pi}{2}, \bruch{\pi}{2}] \to\IR [/mm]
> sei definiert durch:
>
> [mm] f(t)=\vmat{ sin(t) }- \vmat{ t }cos(t)
[/mm]
>
> Zeigen sie, dass f differenzierbar ist.
Interessant ist die Differenzierbarkeit ja nur für $t=0$ Für $t [mm] \ne [/mm] 0$ hat man
$f(t) = [mm] \sin(t) [/mm] - [mm] t\cdot \cos(t)$ [/mm] im Falle $t>0$
und
$f(t) = [mm] -\sin(t) [/mm] + [mm] t\cdot \cos(t)$ [/mm] im Falle $t<0$
und in beiden Fällen ist die Differenzierbarkeit offenkundig.
Für $t=0$ berechnen wir nun den linksseitigen und den rechtsseitigen Differentialquotienten und schauen nach, ob beide Grenzwerte existieren und identisch sind. In diesem Fall ist nämlich $f$ in $t=0$ differentierbar.
Es gilt aber:
[mm]\lim\limits_{t \downarrow 0} \frac{f(t) - f(0)}{t} = \lim\limits_{t \downarrow 0} \frac{\sin(t) - t \cdot \cos(t)}{t}
= \underbrace{\lim\limits_{t \downarrow 0} \frac{sin(t)}{t}}_{=\, 1} - \underbrace{\lim\limits_{t \downarrow 0} \cos(t)}_{=\,1} = 0[/mm]
und
[mm]\lim\limits_{t \uparrow 0} \frac{f(t) - f(0)}{t} = \ldots[/mm]
Führe das bitte selbst zu Ende und melde dich bei Rückfragen und/oder einem Lösungsvorschlag einfach wieder.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 Mi 09.06.2004 | | Autor: | Laura20 |
Hi Julius!
Also, wenn ich t von unten gegen 0 gehen lasse sieht das bei mir genauso aus, also:
[mm] \limes_{t\uparrow\ 0} \bruch{f(t)-f(0)}{t} [/mm] = [mm] \limes_{t\uparrow\ 0} \bruch{sin(t)-tcos(t)}{t} [/mm] = [mm] \limes_{t\uparrow\ 0} \bruch{sin(t)}{t} [/mm] - [mm] \limes_{t\uparrow\ 0} [/mm] cos(t) = 1-1 = 0
Ist das richtig bzw. ist das dann schon der Beweis? Kommt mir irgentwie ein bißchen einfach vor. Andererseits ist damit ja eigentlich eindeutig gezeigt dass rechts-und linkseitiger Grenzwert übereinstimmen und die funktion damit in t=0 eindeutig differenzierbar ist, was ja quasi die Aufgabe war. Also bin ich jetzt ja fertig, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:10 Mi 09.06.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Laura!
> Hi Julius!
> Also, wenn ich t von unten gegen 0 gehen lasse sieht das
> bei mir genauso aus, also:
>
> [mm] \limes_{t\uparrow\ 0} \bruch{f(t)-f(0)}{t} [/mm] =
> [mm] \limes_{t\uparrow\ 0} \bruch{sin(t)-tcos(t)}{t} [/mm] =
> [mm] \limes_{t\uparrow\ 0} \bruch{sin(t)}{t} [/mm] -
> [mm] \limes_{t\uparrow\ 0} [/mm] cos(t) = 1-1 = 0
Du hast die Betragsstriche falsch aufgelöst.
Richtig muss es heißen:
[mm]\limes_{t\uparrow\ 0} \bruch{f(t)-f(0)}{t}[/mm]
[mm]= \limes_{t\uparrow\ 0} \bruch{-\sin(t)+t\cos(t)}{t}[/mm]
[mm]= \limes_{t\uparrow\ 0} \bruch{-\sin(t)}{t} + \limes_{t\uparrow\ 0} \cos(t)[/mm]
[mm]= -1+1 = 0[/mm].
> ist das dann schon der Beweis?
Wenn du ihn so verbesserst, dann war es das. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Liebe Grüße
Julius
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