Zeigen, dass der geg Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für [mm] n\in\IN [/mm] sei [mm] a_n=\wurzel{n^2+n}-n. [/mm] Zeigen Sie, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=1/2.
[/mm]
Bestimmen Sie dazu zu gegebenen [mm] \epsilon [/mm] >0 ein [mm] n_0 \in \IN [/mm] mit [mm] |a_n-1/2|<\epsilon [/mm] für [mm] n>=n_0. [/mm] |
Hallo,
ich habe:
[mm] |\wurzel{n^2+n}-n-1/2|
[/mm]
= [mm] |\wurzel{n^+n}-(n+1/2)|
[/mm]
= (nach 3.binom.Formel) [mm] |\bruch{\wurzel{n^2+n}^2-(n+1/2)^2}{\wurzel{n^2+n}+(n+1/2)}|
[/mm]
= [mm] \bruch{|n^2+n-(n^2+2*1/2*n+1/4|}{|\wurzel{n^2+n}+n+1/2)|}
[/mm]
[mm] =\bruch{|n^2+n-n^2-n-1/4|}{|\wurzel{n^2+n}+n+1/2)|}
[/mm]
[mm] =\bruch{|-1/4|}{|\wurzel{n^2+n}+n+1/2)|}
[/mm]
[mm] <=\bruch{|-1/4|}{|\wurzel{n^2+n^2}+n+1/2)|}
[/mm]
[mm] =\bruch{|-1/4|}{|\wurzel{2*n^2}+n+1/2)|}
[/mm]
[mm] =\bruch{|-1/4|}{|\wurzel{2}*n+n+1/2)|}
[/mm]
[mm] <=\bruch{|-1/4|}{|2n+n+1/2)|}
[/mm]
[mm] =\bruch{|-1/4|}{|3n+1/2)|}<\epsilon
[/mm]
<=> [mm] \bruch{1/4}{3n+1/2|}<\epsilon
[/mm]
<=> 1/4 [mm] <\epsilon*(3n+1/2)
[/mm]
<=> [mm] \bruch{1}{4*\epsilon} [/mm] < 3n+1/2
<=> [mm] \bruch{1}{4*\epsilon}-1/2 [/mm] < 3n
<=> [mm] \bruch{1}{12*\epsilon}-1/6 [/mm] < n
D.h. [mm] n_0 [/mm] = [mm] [\bruch{1}{12*\epsilon}-1/6]+1 [/mm] , damit die Definition erfüllt ist.
Ich weiß leider nicht mehr, ob [] Auf- oder Abrundung bedeutet, aber ist das hier nicht sogar egal, weil durch die +1 immer ein größerer Wert als [mm] \bruch{1}{12*\epsilon}-1/6 [/mm] herauskommt?
LG
meinmathe
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:10 Mi 20.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Der übliche Irrtum ist, dass man ein möglichst [mm] "gutes"n_0 [/mm] finden soll. Das ist aber nicht nötig, deshalb kannst du viel grober abschätzen!
Aber du hast einen Fehler!
> Für [mm]n\in\IN[/mm] sei [mm]a_n=\wurzel{n^2+n}-n.[/mm] Zeigen Sie, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=1/2.[/mm]
> Bestimmen Sie dazu zu gegebenen [mm]\epsilon[/mm] >0 ein [mm]n_0 \in \IN[/mm]
> mit [mm]|a_n-1/2|<\epsilon[/mm] für [mm]n>=n_0.[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe:
> [mm]|\wurzel{n^2+n}-n-1/2|[/mm]
> = [mm]|\wurzel{n^+n}-(n+1/2)|[/mm]
> = (nach 3.binom.Formel)
> [mm]|\bruch{\wurzel{n^2+n}^2-(n+1/2)^2}{\wurzel{n^2+n}+(n+1/2)}|[/mm]
> =
> [mm]\bruch{|n^2+n-(n^2+2*1/2*n+1/4|}{|\wurzel{n^2+n}+n+1/2)|}[/mm]
> [mm]=\bruch{|n^2+n-n^2-n-1/4|}{|\wurzel{n^2+n}+n+1/2)|}[/mm]
> [mm]=\bruch{|-1/4|}{|\wurzel{n^2+n}+n+1/2)|}[/mm]
Hier liegt dein Fehler, du verkleinerst einen Bruch, wenn du den Nenner vergrößerst.
hier solltest du gr0ßzügig vergrößern, indem du im Nenner [mm] \wurzel{n^2+n}+1/2 [/mm] weglässt. dann hast du garantiert vergrößert, und hast mit [mm] 1/(4n)<\epsilon [/mm] für [mm] n>1/(4\epsilon) [/mm] ne schön einfaches [mm] n_0
[/mm]
> [mm]<=\bruch{|-1/4|}{|\wurzel{n^2+n^2}+n+1/2)|}[/mm]
> [mm]=\bruch{|-1/4|}{|\wurzel{2*n^2}+n+1/2)|}[/mm]
> [mm]=\bruch{|-1/4|}{|\wurzel{2}*n+n+1/2)|}[/mm]
> [mm]<=\bruch{|-1/4|}{|2n+n+1/2)|}[/mm]
> [mm]=\bruch{|-1/4|}{|3n+1/2)|}<\epsilon[/mm]
>
> <=> [mm]\bruch{1/4}{3n+1/2|}<\epsilon[/mm]
> <=> 1/4 [mm]<\epsilon*(3n+1/2)[/mm]
> <=> [mm]\bruch{1}{4*\epsilon}[/mm] < 3n+1/2
> <=> [mm]\bruch{1}{4*\epsilon}-1/2[/mm] < 3n
> <=> [mm]\bruch{1}{12*\epsilon}-1/6[/mm] < n
>
> D.h. [mm]n_0[/mm] = [mm][\bruch{1}{12*\epsilon}-1/6]+1[/mm] , damit die
> Definition erfüllt ist.
>
> Ich weiß leider nicht mehr, ob [] Auf- oder Abrundung
> bedeutet, aber ist das hier nicht sogar egal, weil durch
> die +1 immer ein größerer Wert als
> [mm]\bruch{1}{12*\epsilon}-1/6[/mm] herauskommt?
ja, und die 1/6 lies ich auch gleich weg! immer alles so einfach wie möglich. Du musst wirklich nur irgend ein [mm] N_0 [/mm] finden, das darf ruhig 100 oder 10000 mal so groß sein wie es unbedingt sein muss!
Gruss leduart
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