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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:37 Fr 22.06.2012 | | Autor: | mausieux |
Hallo,
habe zu nachstehender Aufgabe Ansatzschwierigkeiten. Wäre jemand so liebenswürdig und würde mir helfen und mich bis zur Lösung begleiten?
Zeigen Sie: Sind a,b,c natürliche Zahlen, dann gilt:
7 teilt [mm] (a^3 [/mm] + [mm] b^3 [/mm] + [mm] c^3) [/mm] daraus folgt 7 teilt a oder 7 teilt b oder 7 teilt c
Wie kann oder muss ich hier ansetzen?
Grüße
mausieux
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> Zeigen Sie: Sind a,b,c natürliche Zahlen, dann gilt:
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> 7 teilt [mm](a^3[/mm] + [mm]b^3[/mm] + [mm]c^3)[/mm] daraus folgt 7 teilt a oder 7
> teilt b oder 7 teilt c
Hallo,
Du kannst Dir überlegen, welche Reste [mm] x^3 [/mm] modulo 7 überhaupt nur haben kann. Wenn Du das hast, bist Du nah an der Lösung.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 Fr 22.06.2012 | | Autor: | mausieux |
Vielen Dank für die Antwort. Ich habe jetzt bis [mm] 15^3 [/mm] die Reste bestimmt und habe nachstehendes raus:
1, 1, 6, 1, 6, 6, 0, 1, 1, 6, 1, 6, 6, 0, 1
Was kann ich daraus schließen?
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> Vielen Dank für die Antwort. Ich habe jetzt bis [mm]15^3[/mm] die
> Reste bestimmt
Hallo,
Du brauchst das eigentlich nur für 0,1,2,3,4,5,6 zu tun.
Wenn Du ein wenig mit Restklassen rechnen kannst, wird Dir schnell klar werden, weshalb.
> und habe nachstehendes raus:
>
> 1, 1, 6, 1, 6, 6, 0, 1, 1, 6, 1, 6, 6, 0, 1
Ja. 6 ist ja, wenn man modulo 7 rechnet, =-1.
Und den Rest 0 hast Du nur, wenn Du ein Vielfaches von 7 "hoch 3" nimmst.
Überlege Dir nun, was für Reste Du bekommen kannst, wenn Du [mm] a^3+b^3+c^3 [/mm] rechnest, und weder a,b noch c Vielfache von 7 sind.
LG Angela
>
> Was kann ich daraus schließen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Sa 23.06.2012 | | Autor: | mausieux |
Folgende Reste können auftreten:
a, b, c können jeweils -1, 0 und 1 annehmen.
Als Summe könnte man erhalten:
-1 + -1 + -1 = -3
-1 + -1 + 0 = -2
-1 + 0 + 0 = -1
0 + 0 + 0 = 0
0 + 1 + 0 = 1
0 + 1 + 1 = 2
1 + 1 + 1 = 3
Wenn wir die Vielfachen weglassen, hätten wir nur -3 und 3.
Was muss ich jetzt weiter tun? Habe ich die Lösung schon irgendwo?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:03 Sa 23.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
sieh dir noch mal die Aufgabe an! welchen Rest willst u erreichen? geht das wirklich nur wenn alle 3 durch 7 teilbar sind?
deine liste ist ja nicht vollständig, warum haben bei dir immer alle summanden denselben Rest, oder 0?
Ein bissel mehr und länger nachdenken und dabei die Aufgabe im Blick behalten wäre für dich sehr gut.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Sa 23.06.2012 | | Autor: | mausieux |
Ich habe doch alle Möglichkeiten aufgeschrieben. Welche Möglichkeit fehlt denn?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 Sa 23.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
nein, hast du nicht!
kannst du die 0 wirklich nur durch 0+0+0 erzeugen?
[mm] 2^3+7^3+5^3 [/mm] ist z. b durch 7 tb. warum?
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Sa 23.06.2012 | | Autor: | mausieux |
Das habe ich doch dargestellt.
[mm] 2^3 [/mm] = 008, sprich 1 mod 7
[mm] 7^3 [/mm] = 021, sprich 0 mod 7
[mm] 5^3 [/mm] = 125, sprich -1 mod 7
Dies habe ich doch aufgeführt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:54 Sa 23.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
seh ich nicht!
bei dir kommt mur eine gleichung mit rechts 0 vor.
also fehlt 0+1-1=0
wenn du das hättest und keine möglichket 0 mit 3 Summanden von 0 versch Resten zu machen wieso hast du deinen beweis nicht fertig?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Sa 23.06.2012 | | Autor: | mausieux |
Stimmt, die eine Restgleichung habe ich vergessen. Ist mir gerade aufgefallen. Auf deine Frage habe ich keine Antwort. Ist denn jetzt der Beweis fertig? Haben wir alles gezeigt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:55 Sa 23.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast alle Teile edie man für einen Beweis braucht. damit es einer ist musst du die vernünftig zusammenfügen. solange du selbst nicht überzeugt bist, dass es ein Beweis ist, ist es keiner!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:29 Sa 23.06.2012 | | Autor: | mausieux |
Und du bist überzeugt?
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Hallo mausieux,
> Und du bist überzeugt?
Ja, ich denke, wir sind hier alle überzeugt, dass Du eigentlich jetzt genug Material für den Beweis hast.
Wenn Du alle Möglichkeiten für die Reste von [mm] a^3, b^3, c^3 [/mm] aufschreibst, musst Du auf 27 Gleichungen kommen - 3 Variable mit je drei möglichen Werten, also [mm] 3^3 [/mm] Möglichkeiten insgesamt.
Wenn man die Möglichkeiten ordnet (weil ja a,b,c eigentlich austauschbar sind), dann gibt es nur noch 10 verschiedene Varianten. Nur 2 davon ergeben 0, nämlich 0+0+0=0 und 1+0-1=0.
Jetzt überleg nochmal, was Du eigentlich zeigen solltest. Dann bist Du doch im Handumdrehen fertig.
lg
rev
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:46 So 24.06.2012 | | Autor: | mausieux |
Also, dann müsste die Folgerung genau dann gelten, wenn jeweils [mm] a^3, b^3 [/mm] und [mm] c^3 [/mm] den Rest 0 oder eins den Rest -1, 1 und 0 ergeben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:24 So 24.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Aufgabe war:
Zeigen Sie: Sind a,b,c natürliche Zahlen, dann gilt:
7 teilt $ [mm] (a^3 [/mm] $ + $ [mm] b^3 [/mm] $ + $ [mm] c^3) [/mm] $ daraus folgt 7 teilt a oder 7 teilt b oder 7 teilt c
jetzt schreib mal bitte einen vollständigen Beweis auf, und nicht solche Bruchstücke.
was du schreibst ist nicht falsch, aber nicht genau die antwort auf die Aufgabe.
Vors: 7 teilt ....
Beh: a oder b oder c sind (ist) durch 7 tb.
Beweis: du schreibst!.........
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 So 24.06.2012 | | Autor: | mausieux |
Beweis:
[mm] 1^3 [/mm] = 001 kongruent 1 mod 7
[mm] 2^3 [/mm] = 008 kongruent 1 mod 7
[mm] 3^3 [/mm] = 027 kongruent -1 mod 7
[mm] 4^3 [/mm] = 064 kongruent 1 mod 7
[mm] 5^3 [/mm] = 125 kongruent -1 mod 7
[mm] 6^3 [/mm] = 216 kongruent -1 mod 7
[mm] 7^3 [/mm] = 343 kongruent 0 mod 7
An dieser Stelle muss ich jetzt noch einmal nachfragen, was ist wenn a,b,c solche Werte annehmen, dass dreimal kongruent 1 mod 7, also zusammen 3 mod 7 herauskommt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 So 24.06.2012 | | Autor: | mausieux |
Beispielsweise:
[mm] 1^3 [/mm] + [mm] 2^3 [/mm] + [mm] 4^3 [/mm] = 73 kongruent 3 mod 7
Muss man solche Fälle im Beweis ausschließen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 So 24.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Antwort weisst du selbst! ist die Summe durch 7 tb? hat das was mit der Beh. zu tun?
konzentrier dich auf den Beweis, den du haben willst. ich hab dir die Vors hingeschrieben, ist die bei deiner Frage erfüllt? Warum stellst du sie?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 So 24.06.2012 | | Autor: | mausieux |
Ist diese Aufgabe jetzt eigentlich so fertig? Ist mein weiter unten geschriebene "Beweis" in Ordnung und abgeschlossen? Oder muss noch etwas ergänzt werden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:03 So 24.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo,
so wie es da steht ist es zumindest unschön.
nirgends steht dass es NUR GEHT, wenn einer der a,b,c durch 7 tb ist.,
warum du die liste mit [mm] x^3 [/mm] hast. also stell dir vor, das stünde so in einem buch, fändest du den Beweis einleuchtend (wenn du noch nicht so viel Arbeit und posts investiert hast.
Aufbau:
ich zeige 1., dass für [mm] x^3 [/mm] immer mod 7 1,-1 oder 0 ist.
durch Kombination von 3 der Möglichkeiten ungleich 0 kann man nie 0mod 7 erreichen.
also muss mindestens eines der 3 0 mod7 sein,
dann ist [mm] a^3+b^3+c^3 [/mm] durch 7 tb wenn eines davon Rest 1, das andere Rest -1 das Dritte Rest 0 hat. oder natürlich wenn alle 3 durch 7tb sind.
irgendwie so.
warum du die zweite aufstellung machst ist unklar, die Reihenfolge von a,b,c ist doch egal!
der Satz
"Wie man durch die zweite Aufstellung gut sehen kann, ist:
Das in jeder Kongruenz einmal (0 mod 7) vorhanden ist, sprich wie in der Voraussetzung gefolgert 7 teilt a oder 7 teilt b oder 7 teilt c. Dies wird dadurch bestätigt. "
macht keinen Sinn
was etwa ist "dies" du hast da einige Gleichungen stehen nicht Kongruenzen
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 So 24.06.2012 | | Autor: | mausieux |
Gesamt gesehen können aber nur Werte herauskommen, die folgendes liefern:
...kongruent 3 mod 7
...kongruent 2 mod 7
...kongruent 1 mod 7
...kongruent 0 mod 7
...kongruent -1 mod 7
...kongruent -2 mod 7
Wenigstens dieser Gedanke von mir müsste doch jetzt mal richtig sein, oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 So 24.06.2012 | | Autor: | mausieux |
Es fehlt natürlich noch:
...kongruent -3 mod 7
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 So 24.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
bitte stell nicht ne Mitteilung als frage ein.
ja, das ist nicht falsch, aber warum ist das für den Beweis wichtig, fang doch mit der vorgabe also der Vors an, was interressieren dich dann Summen die nicht durch 7 tb sind?
Versuch jetz mal einen Beweis aufzuschreiben, wo du von der Vors. ausgehst.
lass dir nicht jeden Minigedanken von uns bestätigen, sondern arbeite zielgerichteter. was ist gegebenß was kann ich deshalb benutzen, was muss ich beweisen?
Hilfsmittel: deine Tabelle für die [mm] x^3 [/mm] mod 7
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 So 24.06.2012 | | Autor: | mausieux |
Beweis: (2. Version)
Schauen wir uns die Reste für x = {0,1,2,3,4,5,6,7} an.
[mm] x^3 [/mm] = y mod m m = 7
[mm] 0^3 [/mm] = 000 kongruent 0 mod 7
[mm] 1^3 [/mm] = 001 kongruent 1 mod 7
[mm] 2^3 [/mm] = 008 kongruent 1 mod 7
[mm] 3^3 [/mm] = 027 kongruent -1 mod 7
[mm] 4^3 [/mm] = 064 kongruent 1 mod 7
[mm] 5^3 [/mm] = 125 kongruent -1 mod 7
[mm] 6^3 [/mm] = 216 kongruent -1 mod 7
[mm] 7^3 [/mm] = 343 kongruent 0 mod 7
Die Behauptung ist erfüllt, wenn die Gleichung
[mm] x{1}^3 [/mm] + [mm] x{2}^3 [/mm] + [mm] x{3}^3 [/mm] = y kongruent 0 mod 7 ist.
Sprich, wenn die Kongruenzen wie folgt sind:
a b c
1 -1 + 0 = 0 mod 7
1 +0 -1 = 0 mod 7
0 +0 +0 = 0 mod 7
0 +0 -1 = 0 mod 7
0 -1 +0 = 0 mod 7
-1 +1 +0 = 0 mod 7
-1 +0 +1 = 0 mod 7 ist.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:14 So 24.06.2012 | | Autor: | mausieux |
Wie man durch die zweite Aufstellung gut sehen kann, ist:
Das in jeder Kongruenz einmal (0 mod 7) vorhanden ist, sprich wie in der Voraussetzung gefolgert 7 teilt a oder 7 teilt b oder 7 teilt c. Dies wird dadurch bestätigt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:33 So 24.06.2012 | | Autor: | mausieux |
Ist denn wenigstens diese Aufgabe jetzt gelöst? Oder fehlt da noch irgendetwas?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:11 Mo 25.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast alle einzelheiten. aber sehr schlecht aufgeschrieben, teils zu kurz, teils zu lang (etwa die ganze liste von 0+1-1=0 ist überflüssig.
es fehlt, dass NUR wenn eins der 3 durch 7tb die anderen beiden +1 und -1 mod 7 , oder alle durch 7tb zur Teilbarkeit führt.
Sätze wie:"Wie man durch die zweite Aufstellung gut sehen kann, ist:
Das in jeder Kongruenz einmal (0 mod 7) vorhanden ist, sprich wie in der Voraussetzung gefolgert 7 teilt a oder 7 teilt b oder 7 teilt c. Dies wird dadurch bestätigt.
ist recht wirre,
was etwa ist "dies"
da steht jede Kongruenz, du meinst alle deine Gleichungen oder so was.
stell dir vor du liest so nen beweis in nem buch (bevor du ihn erarbeitet hast, würdest du ihn mit deinen Worten verstehen?
Gruss leduart
gruss leduart
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