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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:06 Do 27.10.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo ihr Mathematiker... 
Folgende Aufgabe steht auf dem ersten Übungszettel in "Numerik":
a) Schreiben Sie die Binärzahl 100101 als Dezimalzahl.
Das ist nicht weiter schwierig - es ist [mm] 37_{10}. [/mm] (habe ich auch hiermit kontrolliert)
b) Schreiben Sie die Dezimalzahl 100101 als Hexadezimalzahl.
Das ist auch nicht schwierig - es ist [mm] 18705_{16}.
[/mm]
c) Schreiben Sie die Hexadezimalzahl 100101 als Binärzahl.
Das geht genauso einfach: 1 0000 0000 0001 0000 0001 - also einfach jede Stelle als vierstellige Dualzahl codiert.
Aber nun kommt's, warum ich diese einfachen Aufgaben hier überhaupt erwähne - sie sind nämlich ein gutes Beispiel um über folgende Fragen nachzudenken:
d) Seien [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2 [/mm] zwei natürliche Zahlen mit identischer Ziffernfolge [mm] d_{N-1}d_{N-2}...d_0 [/mm] bezüglich unterschiedlicher Basen [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2. [/mm] Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
- falls [mm] b_1>b_2, [/mm] so ist [mm] z_1>z_2
[/mm]
Ich bin der Meinung, dass das wahr ist, weil ja aus [mm] b_1>b_2 [/mm] folgt, dass [mm] b_1^i>b_2^i [/mm] für alle i>0 und [mm] b_1^0=b_2^0=1, [/mm] und da die Ziffernfolge ja gleich ist, folgt daraus, dass auch [mm] z_1>z_2 [/mm] ist. Allerdings weiß ich nicht, ob man das nicht noch etwas mathematischer erklären könnte...
- falls [mm] z_1>z_2, [/mm] so ist [mm] b_1>b_2
[/mm]
Auch hierbei würde ich sagen, dass es wahr ist - mit quasi der umgekehrten Erklärung wie gerade. Wenn also die Zahldarstellung gleich ist und [mm] z_1>z_2, [/mm] so muss ja jede "Stelle" von [mm] z_1 [/mm] größer sein als die entsprechende von [mm] z_2, [/mm] also muss die Basis von [mm] z_1 [/mm] größer sein als die von [mm] z_2.
[/mm]
- falls [mm] b_1 \;b_2 [/mm] teilt, so teilt [mm] z_1\; z_2
[/mm]
Ich dachte zuerst, das sei wahr, aber anhand der Beispiele oben, finde ich ein Gegenbeispiel. Und zwar teilt ja die 16 die 2, also müsste nach a) und b) die [mm] 100101_{16}=1048833_{10} [/mm] die 37 teilen, was aber nicht der Fall ist. Oder habe ich da irgendwas durcheinander gewürfelt? (das passiert mir nämlich schon mal bei so vielen Zahlen und Zahlsystemen...)
- falls [mm] z_1\; z_2 [/mm] teilt, so teilt [mm] b_1\; b_2
[/mm]
Hier komme ich gerade beim Denken etwas durcheinander - evtl. ist diese Aussage wahr, aber ich kann gerade nicht sagen, warum. Wenn jemand ein Gegenbeispiel hat, wäre die Aufgabe natürlich auch gelöst. 
- [mm] z_1+z_2 [/mm] besitzt in der Basis [mm] b_1+b_2 [/mm] die selbe Ziffernfolge wie [mm] z_1 [/mm] bzw. [mm] z_2
[/mm]
Hier weiß ich nicht ganz genau was gemeint ist, ich vermute am Ende bedeutet es: "wie [mm] z_1 [/mm] in der Basis [mm] b_1 [/mm] bzw. [mm] z_2 [/mm] in [mm] b_2". [/mm] Oder soll es [mm] z_1 [/mm] bzw. [mm] z_2 [/mm] in der Basis [mm] b_1+b_2 [/mm] bedeuten? Aber das würde irgendwie meiner Meinung nach keinen Sinn machen.
Also, ich habe hier als Gegenbeispiel die Beispiele aus a) und b) genommen:
[mm] z_1+z_2=100138_{10} [/mm] = [mm] 49B4A_{12}
[/mm]
und das sieht irgendwie ganz anders aus als alles andere. ![[konfus]](/images/smileys/konfus.gif "[konfus]")
- [mm] z_1*z_2 [/mm] besitzt in der Basis [mm] b_1+b_2 [/mm] die selbe Ziffernfolge wie [mm] z_1 [/mm] bzw. [mm] z_2
[/mm]
Auch hier wieder die Frage, was genau gemeint ist - wird aber wohl das gleiche gemeint sein, wie in dem Teil vorher.
Könnte mir hier jemand sagen, in welche Richtung ich da denken könnte um herauszufinden, ob das wahr oder falsch ist?
Also, wäre schön, wenn jemand das ganze mal kontrollieren könnte, vor allem bzgl. der "Beweise". Ach ja, insgesamt gibt es für diese Aufgabe 9 Punkte, also wohl für jede Kleinigkeit einen. Demnach dürfte da auch nicht allzu viel Beweis hinmüssen.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
P.S.: Es hilft mir natürlich auch, wenn jemand nur zu einzelnen Teilen etwas schreibt.
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Hallo Bastiane,
> d) Seien [mm]z_1[/mm] und [mm]z_2[/mm] zwei natürliche Zahlen mit identischer
> Ziffernfolge [mm]d_{N-1}d_{N-2}...d_0[/mm] bezüglich
> unterschiedlicher Basen [mm]b_1[/mm] und [mm]b_2.[/mm] Welche der folgenden
> Aussagen sind wahr?
>
> - falls [mm]b_1>b_2,[/mm] so ist [mm]z_1>z_2[/mm]
>
> Ich bin der Meinung, dass das wahr ist, weil ja aus [mm]b_1>b_2[/mm]
> folgt, dass [mm]b_1^i>b_2^i[/mm] für alle i>0 und [mm]b_1^0=b_2^0=1,[/mm] und
> da die Ziffernfolge ja gleich ist, folgt daraus, dass auch
> [mm]z_1>z_2[/mm] ist. Allerdings weiß ich nicht, ob man das nicht
> noch etwas mathematischer erklären könnte...
Also wenn ich jetzt z.B. [mm] $3_{10}$ [/mm] und [mm] $3_8$ [/mm] betrachte. So gilt ja nach dem obigen Satz: $10 > 8 [mm] \Rightarrow [/mm] 3 > 3$, oder?
> - falls [mm]b_1 \;b_2[/mm] teilt, so teilt [mm]z_1\; z_2[/mm]
Also: 2 teilt 10 aber [mm] $11_2$ [/mm] teilt nicht [mm] $11_{10}$ [/mm] (beides Primzahlen).
Viele Grüße
Karl
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Hallo Bastiane,
Ich bin noch einmal alles für Dich durchgegangen. Wenn nicht anders angegeben, sind die Zahlen in Dezimalsystem geschrieben.
Wie Du gleich siehst, habe ich mit ganz einfachen Zahlen herumgespielt, um Gegenbeispiele zu finden.
> - falls [mm]b_1>b_2,[/mm] so ist [mm]z_1>z_2[/mm]
Setze [mm] $b_1$ [/mm] = 2, [mm] $b_2$ [/mm] = 3. Es ist 1 = [mm] $1_2$ [/mm] = [mm] $1_3$ [/mm] in Widerspruch zur Behauptung.
Ersetzt man das > durch ein [mm] $\ge$, [/mm] so ist die Behauptung wahr. (Brauche ich gleich.)
Denn: [mm] $z_1$ [/mm] = [mm] $\summe_{k=0}^{N-1} d_k b_1^k$ $\ge$ $\summe_{k=0}^{N-1} d_k b_2^k$ [/mm] = [mm] $z_2$
[/mm]
> - falls [mm]z_1>z_2,[/mm] so ist [mm]b_1>b_2[/mm]
Das ist wahr.
Denn: Kleiner Exkurs in die Logik. Für zwei Aussagen A und B gilt immer $(A [mm] \Rightarrow [/mm] B)$ [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] $( [mm] \neg [/mm] B [mm] \Rightarrow \neg [/mm] A)$
Also hat man: [mm] $(z_1 [/mm] > [mm] z_2 \Rightarrow b_1 [/mm] > [mm] b_2)$ $\Leftrightarrow$ $(b_1 \le b_2 \Rightarrow z_1 \le z_2)$ [/mm] Die rechte Seite ist aber wahr (siehe oben).
> - falls [mm]b_1 \;b_2[/mm] teilt, so teilt [mm]z_1\; z_2[/mm]
Setze [mm] $b_1$ [/mm] = 2, [mm] $b_2$ [/mm] = 4. Dann ist [mm] $11_2$ [/mm] = 3 kein Teiler von [mm] $11_4$ [/mm] =5 in Widerspruch zur Behauptung.
> - falls [mm]z_1\; z_2[/mm] teilt, so teilt [mm]b_1\; b_2[/mm]
Es teilt [mm] $11_2$ [/mm] = 3 die Zahl [mm] $11_5$ [/mm] = 6, aber 2 teilt 5 nicht in Widerspruch zur Behauptung.
> - [mm]z_1+z_2[/mm] besitzt in der Basis [mm]b_1+b_2[/mm] die selbe
> Ziffernfolge wie [mm]z_1[/mm] bzw. [mm]z_2[/mm]
Setze [mm] $b_1$ [/mm] = 2, [mm] $b_2$ [/mm] = 3. Es ist [mm] $11_2$ [/mm] = 3 und [mm] $11_3$ [/mm] = 4. Es müsste [mm] $11_5$ [/mm] = 3+4 = 7 sein. Es ist aber [mm] $11_5$ [/mm] = 6 im Widerspruch zur Behauptung.
> - [mm]z_1*z_2[/mm] besitzt in der Basis [mm]b_1+b_2[/mm] die selbe
> Ziffernfolge wie [mm]z_1[/mm] bzw. [mm]z_2[/mm]
Die selben Zahlen wie eben liefern auch hier ein Gegenbeispiel, übrigens auch dann falls die Basis [mm] $b_1*b_2$ [/mm] sein sollte.
Ich kann mir an hier diesen dämlichen englichen Witz nicht verkneifen:
Why do mathematicians always confuse Helloween and Chistmas?
Because Oct 31 = Dec 25 [mm] ($31_8$ [/mm] = [mm] $25_{10}$ [/mm] = 25)
Liebe Grüße,
Holy Diver
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> Würde die Aussage denn gelten (also die mit >), wenn man
> voraussetzt, dass N>1 sein muss? Ich würde sagen schon, und
> auch mit der Begründung von hier, oder nicht?
Stimmt genau. Dann kann man in der Ungleichung immer den Hebel
[mm] $b_1^N [/mm] > [mm] b_2^N$
[/mm]
ansetzen.
Liebe Grüße,
Holy Diver
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