ZV, Erwartungswert, Verteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
geht um folgende drei Kleinigkeiten, die mir noch nicht so ganz klar sind:
1) Sei X eine ZV, dann folgt aus [mm] E(X^2) [/mm] < [mm] \infty [/mm] immer E(X) < [mm] \infty [/mm] ? Ich habe ja dann nur [mm] X^2(\omega) [/mm] anstatt [mm] X(\omega) [/mm] im Integral stehen und letzteres kann nicht unendlich werden ohne dass dies für ersteres auch gilt.
2) Sei X reelle ZV >= 0. Warum gilt dann: [mm] \integral_{0}^{\infty}{\chi_{(t,\infty)}(X) dt} [/mm] = X?
3) Ich habe hier eine Aufgabe bei der nach den beiden Zusammenhängen zwischen einer reellen ZV mit Dichte und ihrer Verteilungsfunktion gefragt ist.
Ist damit die Bijektion gemeint? Also dass man für jedes W-Maß auf [mm] \mathcal{B} [/mm] genau eine VF findet und umgekehrt oder zählt dieser Zusammenhang nur einfach und es ist noch etwas anderes gemeint?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:59 So 15.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> geht um folgende drei Kleinigkeiten, die mir noch nicht so
> ganz klar sind:
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> 1) Sei X eine ZV, dann folgt aus [mm]E(X^2)[/mm] < [mm]\infty[/mm] immer E(X)
> < [mm]\infty[/mm] ? Ich habe ja dann nur [mm]X^2(\omega)[/mm] anstatt
> [mm]X(\omega)[/mm] im Integral stehen und letzteres kann nicht
> unendlich werden ohne dass dies für ersteres auch gilt.
Aus [mm] $E(|X|^2) [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] folgt $E(|X|) < [mm] \infty$ [/mm] (Ungleichung von Ljapunoff).
Und aus $E(|X|) < [mm] \infty$ [/mm] folgt $E(X) < [mm] \infty$, [/mm] zumindest falls $X$ selber messbar ist (was du aber wohl implizit annimmst wenn du sagst, dass $X$ eine ZV ist).
> 2) Sei X reelle ZV >= 0. Warum gilt dann:
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\chi_{(t,\infty)}(X) dt}[/mm] = X?
Hier brauchst du nur, dass $X$ eine reelle Zahl [mm] $\ge [/mm] 0$ ist, da das Integral nur vom festen Wert [mm] $X(\omega)$ [/mm] abhaengt, und auf der rechten Seite ebenfalls [mm] $X(\omega)$ [/mm] steht.
Ich nehme an, bei [mm] $\chi_{(t, \infty)}(x)$ [/mm] handelt es sich um die Indikatorfunktion, die fuer $x [mm] \in [/mm] (t, [mm] \infty)$ [/mm] den Wert 1 und sonst den Wert 0 annimmt, oder?
Der Integrand [mm] $\chi_{(t, \infty)}(X)$ [/mm] ist 0 falls $X [mm] \le [/mm] t$ ist, und 1 sonst. Damit ist [mm] $\int_0^\infty \chi_{(t, \infty)}(X) \; [/mm] dt = [mm] \int_0^X \chi_{(t, \infty)}(X) \; [/mm] dt + [mm] \int_X^\infty \chi_{(t, \infty)}(X) \; [/mm] dt = [mm] \int_0^X [/mm] 1 [mm] \; [/mm] dt + [mm] \int_X^\infty [/mm] 0 [mm] \; [/mm] dt = (X - 0) [mm] \cdot [/mm] 1 + 0 = X$.
> 3) Ich habe hier eine Aufgabe bei der nach den beiden
> Zusammenhängen zwischen einer reellen ZV mit Dichte und
> ihrer Verteilungsfunktion gefragt ist.
> Ist damit die Bijektion gemeint?
Nein, es ist einfach nur der Zusammenhang $F'(t) = f(t)$ und $F(t) = [mm] \int_{-\infty}^t [/mm] f(s) [mm] \; [/mm] ds$ gemeint.
LG Felix
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