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Hallo allerseits.
Habe mir soeben folgendes überlegt (eigentlich ein hinlänglich bekannter Beweis), nämlich daß es unendlich viele Primzahlen gibt.
Konnte aber bislang nichts entdecken, was verhindern würde, daß diese Aussage auch ganz allgemein in ZPE-Ringen gilt bzw. eigentlich sogar in Integritätsbereichen, diese somit nicht endlich wären...
Hier sind meine Gedanken dazu (bzw. eigentlich Euklids...  )
Angenommen, es existieren nur endlich viele Primzahlen [mm] $p_1, p_2, \dots ,p_r$.
[/mm]
Sei [mm] $P:=\{p_1, p_2, \dots ,p_r\}$.
[/mm]
Betrachtete nun [mm] $n:=p_1 \cdot p_2 \cdot [/mm] \ [mm] \dots [/mm] \ [mm] \cdot p_r [/mm] + 1$.
Dann ist $n$ keine Primzahl, da $n [mm] \notin [/mm] P$.
(hier könnte der Fehler stecken, die Aussage für [mm] $\IZ$ [/mm] folgt ja durch [mm] $n>p_j [/mm] \ [mm] \forall j\in\{1,...,r\}$, [/mm] im Allgemeinen haben wir jedoch keine Ordnungsrelation zur Verfügung...)
Da [mm] $\mathbb [/mm] Z$ ZPE-Ring, ex. [mm] $p_i\in [/mm] P$ mit [mm] $p_i|n$.
[/mm]
Außerdem gilt: [mm] $p_i \mid p_1 \cdot [/mm] \ [mm] \dots [/mm] \ [mm] \cdot p_r=n-1$.
[/mm]
Wenn aber [mm] $p_i \mid [/mm] n$ und [mm] $p_i \mid [/mm] n-1$, dann auch gelten [mm] $p_i \mid [/mm] n-(n-1)=1$, also [mm] $p_i$ [/mm] Einheit,
Widerspruch, da Primelemente irreduzibel sind.
Also gibt es unendlich viele Primzahlen, die Behauptung folgt.
Wäre schön, wenn mir jemand helfen könnte.
Gruß,
Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:39 Do 15.12.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Christian!
> Da [mm]\mathbb Z[/mm] ZPE-Ring, ex. [mm]p_i\in P[/mm] mit [mm]p_i|n[/mm].
Aber doch nur, wenn $n$ keine Einheit ist. Und das scheint mir doch fraglich...
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:02 Do 15.12.2005 | | Autor: | Christian |
> Lieber Christian!
>
> > Da [mm]\mathbb Z[/mm] ZPE-Ring, ex. [mm]p_i\in P[/mm] mit [mm]p_i|n[/mm].
>
> Aber doch nur, wenn [mm]n[/mm] keine Einheit ist. Und das scheint
> mir doch fraglich...
>
> Liebe Grüße
> Stefan
>
Aua! :)
Danke.... oh mann... ich bin echt überlastet...
Liebe Grüße,
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:36 Sa 17.12.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo ihr zwei!
Sehr komisch, genau die gleiche Frage habe ich mir eben auch gestellt, als ich für einen speziellen Ring [einen Polynomring [mm] $\IK[x]$ [/mm] über einem Körper [mm] $\IK$] [/mm] nachweisen sollte, dass es unendlich viele Primelemente gibt. Da stutzte ich auch und wunderte mich, warum das nicht auch für endliche Ringe funktionierten könne. Dass [mm] $\prod p_i+1$ [/mm] keine Nicht-Einheit sein muss, habe ich da auch glatt übersehen :)
Liebe Grüße,
Hanno
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