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| Aufgabe | Sei M eine abelsche Gruppe. Zeigen Sie, dass M vermöge der skalaren Multiplikation
[mm] rx=\begin{cases} \summe_{i=1}^{r}x, & \mbox{ falls r>0} \\ 0, & \mbox{falls r=0} \\ \summe_{i=1}^{-r}-x, & \mbox{falls r<0} \end{cases}
[/mm]
für alle r [mm] \in \IZ [/mm] und x [mm] \in [/mm] M ein [mm] \IZ-Modul [/mm] ist. Zeigen Sie ausserdem, dass dies die einzige [mm] \IZ-Modulstruktur [/mm] auf M ist und dass jeder Homomorphismus von abelschen Gruppen auch ein Homomorphismus von [mm] \IZ-Moduln [/mm] ist. |
Hi,
der erste Teil, dass ein [mm] \IZ-Modul [/mm] vorliegt, geht ja recht problemlos. Nur bei dem nächsten Teil hänge ich ein wenig. Wie soll man denn jetzt zeigen, dass dies die einzige ist? Man könnte sich noch höchstens andere Strukturen ausdenken und diese dann ausschließen, aber für alle allgemein?
Und der letzte Teil sieht ja wieder recht einfach aus, denn jede abelsche Gruppe M kann mit der obigen skalaren Verknüpfung in eindeutiger Weise als ein [mm] \IZ-Modul [/mm] aufgefasst werden und somit ist jeder Homomorphismus von abelschen Gruppen auch ein Homomorphismus von [mm] \IZ-Moduln
[/mm]
Hat jemand Ideen? 
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> Sei M eine abelsche Gruppe. Zeigen Sie, dass M vermöge der
> skalaren Multiplikation
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> [mm]rx=\begin{cases} \summe_{i=1}^{r}x, & \mbox{ falls r>0} \\ 0, & \mbox{falls r=0} \\ \summe_{i=1}^{-r}-x, & \mbox{falls r<0} \end{cases}[/mm]
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> für alle r [mm]\in \IZ[/mm] und x [mm]\in[/mm] M ein [mm]\IZ-Modul[/mm] ist. Zeigen
> Sie ausserdem, dass dies die einzige [mm]\IZ-Modulstruktur[/mm] auf
> M ist und dass jeder Homomorphismus von abelschen Gruppen
> auch ein Homomorphismus von [mm]\IZ-Moduln[/mm] ist.
> Hi,
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> der erste Teil, dass ein [mm]\IZ-Modul[/mm] vorliegt, geht ja recht
> problemlos. Nur bei dem nächsten Teil hänge ich ein
> wenig. Wie soll man denn jetzt zeigen, dass dies die
> einzige ist? Man könnte sich noch höchstens andere
> Strukturen ausdenken und diese dann ausschließen, aber
> für alle allgemein?
Sei [mm] $m\in [/mm] M$. Aus den Axiomen für Moduln folgt schon, wie $1m$ aussehen muss. Um $nm$ auszurechnen für [mm] $n\in\IZ$, [/mm] verwende, dass [mm] $\IZ$ [/mm] durch $1$ erzeugt wird und das Axiom der Distributivität verrät, dass auch $nm$ eindeutig festgelegt ist.
> Und der letzte Teil sieht ja wieder recht einfach aus, denn
> jede abelsche Gruppe M kann mit der obigen skalaren
> Verknüpfung in eindeutiger Weise als ein [mm]\IZ-Modul[/mm]
> aufgefasst werden und somit ist jeder Homomorphismus von
> abelschen Gruppen auch ein Homomorphismus von [mm]\IZ-Moduln[/mm]
Bist du dir sicher, dass eure Axiome für "Homomorphismus abelscher Gruppen" und "Homomorphismus für [mm] $\IZ$-Moduln" [/mm] übereinstimmen, oder fehlt bei abelschen Gruppen nicht etwas, das du noch zeigen musst?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Super, also kann Mann schreiben:
Sei m [mm] \in [/mm] M. Für n [mm] \in \IZ [/mm] folgt [mm] nm=(1+1+....+1)m=1m+1m+...+1m=m+m+...+m=\summe_{i=1}^{n}m
[/mm]
Somit [mm] \IZ-Modulstruktur [/mm] eindeutig
Jede abelsche Gruppe kann mit dieser skalaren Operation mit Skalaren aus [mm] \IZ [/mm] in eindeutiger Weise zu einem [mm] \IZ-Modul [/mm] ueberfuehrt werden.
Für einen Gruppenomomorphismus f von M nach N (N,M [mm] \IZ-Moduln) [/mm] gilt:
f(x+y)=f(x)+f(y), [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] M
Sei a [mm] \in \IZ, f(ax)=f(\summe_{i=1}^{a}x)=\summe_{i=1}^{a}f(x)=a*f(x),
[/mm]
also ein [mm] \IZ-Modul-Homomorphismus [/mm]
Wäre das so ok?
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
