X aus Gleichung errechnen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Man berechne X aus folgender Gleichung:
[mm] A^{T}XA^{-1}+A [/mm] = [mm] (A^{-1})^{T} [/mm] |
Guten morgen,
ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Ich möchte ja, dass nur das x auf der einen Seite steht, bin mir aber vor allem über diesen ersten Term [mm] A^{T}XA^{-1} [/mm] total unsicher. Das + A kann ich ja einfach rüberziehen, dann steht da
--> [mm] A^{T}XA^{-1} [/mm] = [mm] (A^{-1})^{T} [/mm] - A
aber wie kann ich nun ein inverses A und ein transpniertes A von dem X lösen? Also soweit ich weis darf ich nicht einfach dividieren, weil ja auch die Position der Matrize von Bedeutung ist.
Würde mich sehr freuen, wenn mir jemand vllt. ein bisschen genauer erklären kann, wie man nun weiter vorgeht, wenn geht natürlich so einfach wie möglich. Die Aufgabe muss dabei natürlich nciht gelöst werden, dass würde ich nachdem ich es verstanden habe sonst auch probieren.
Im voraus vielen Dank für eure Mühe.
Mfg,
Ronin
|
|
| |
|
Hallo Sebastian,
> Man berechne X aus folgender Gleichung:
>
> [mm]A^{T}XA^{-1}+A[/mm] = [mm](A^{-1})^{T}[/mm]
> Guten morgen,
> ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Ich möchte ja, dass nur das x auf der einen Seite steht,
> bin mir aber vor allem über diesen ersten Term
> [mm]A^{T}XA^{-1}[/mm] total unsicher. Das + A kann ich ja einfach
> rüberziehen,![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") dann steht da
>
> --> [mm]A^{T}XA^{-1}[/mm] = [mm](A^{-1})^{T}[/mm] - A
>
> aber wie kann ich nun ein inverses A und ein transpniertes
> A von dem X lösen? Also soweit ich weis darf ich nicht
> einfach dividieren, weil ja auch die Position der Matrize
> von Bedeutung ist.
Und vor allem, da die Division von Matrizen nicht definiert ist 
>
> Würde mich sehr freuen, wenn mir jemand vllt. ein bisschen
> genauer erklären kann, wie man nun weiter vorgeht, wenn
> geht natürlich so einfach wie möglich. Die Aufgabe muss
> dabei natürlich nciht gelöst werden, dass würde ich
> nachdem ich es verstanden habe sonst auch probieren.
Ich glaube, du hattest schonmal einen ähnlichen post, wo ich geschrieben hatte, das du entsprechend mit den Inversen Matrizen (von der entsprechenden Seite) multiplizieren musst (falls diese Inversen existieren)
Nun existiert die Inverse zu $A$ lt. Aufgabenstellung, denn in der Gleichung ist von [mm] $A^{-1}$ [/mm] die Rede.
Nun der Tipp, der dir weiterhelfen sollte:
Es ist die Transponierte einer Inversen gleich der Inversen der Transponierten, also [mm] $\left(A^{-1}\right)^T=\left(A^T\right)^{-1}$
[/mm]
Und was ist [mm] $\left(A^{-1}\right)^{-1}$? [/mm]
Kommst du damit weiter? ...
> Im voraus vielen Dank für eure Mühe.
>
> Mfg,
> Ronin
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Also ich habe mich da jetzt in Hinblick auf deine Tips mal damit auseinandergesetzt,
--> Die Inverse der Inversen wie du es geschrieben hast führt so wie ich das eben errechnet habe wieder zu der eigentlichen Matrix, formal dargestellt heißt das:
[mm] (A^{-1})^{-1} [/mm] = A
Leider stehe ich trotzdem auf dem Schlauch, weil mir das noch nicht erklärt, wie ich das A hinter dem X wegbekomme und vor allem, wo ich das dann auf der anderen Seite hinstellen musss. Ich verstehe diesen Zusammenhang noch nicht.
Aber ist es so, dass ich das [mm] A^{T} [/mm] vor dem X wegbekomme, indem ich es mit der Inversen multipliziere? Eigentlich müsste ich es doch mit A an sich multiplizieren, da ich dann ja auf die Einheitsmatrix komme und die das X ja nicht verändert, da doch auch gilt: E*A = A wenn ich das richtig verstanden habe.
Kannst du vllt noch ein bisschen näher darauf eingehen? Sind meine Überlegungen, bzw. das was ich mit deinen Tips angefangen habe Richtig?
Vielen Dank,
mfg,
Sebastian
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Also ich habe mich da jetzt in Hinblick auf deine Tips mal
> damit auseinandergesetzt,
>
> --> Die Inverse der Inversen wie du es geschrieben hast
> führt so wie ich das eben errechnet habe wieder zu der
> eigentlichen Matrix, formal dargestellt heißt das:
>
> [mm](A^{-1})^{-1}[/mm] = A
>
> Leider stehe ich trotzdem auf dem Schlauch, weil mir das
> noch nicht erklärt, wie ich das A hinter dem X wegbekomme
> und vor allem, wo ich das dann auf der anderen Seite
> hinstellen musss. Ich verstehe diesen Zusammenhang noch
> nicht.
>
> Aber ist es so, dass ich das [mm]A^{T}[/mm] vor dem X wegbekomme,
> indem ich es mit der Inversen multipliziere?
Ja, mit der Inversen von [mm] $A^T$
[/mm]
> Eigentlich
> müsste ich es doch mit A an sich multiplizieren, da ich
> dann ja auf die Einheitsmatrix komme
Nee, dann bekommst du doch [mm] $A\cdot{}A^T$
[/mm]
Und wieso sollte das die Einheitsmatrix sein?
> und die das X ja nicht
> verändert, da doch auch gilt: E*A = A wenn ich das richtig
> verstanden habe.
>
> Kannst du vllt noch ein bisschen näher darauf eingehen?
> Sind meine Überlegungen, bzw. das was ich mit deinen Tips
> angefangen habe Richtig?
Es geht schon in die richtige Richtung.
Die Gleichung nach der ersten Umformung lautet ja
[mm] $\red{A^T}\cdot{}X\cdot{}\blue{A^{-1}}=\left(A^{-1}\right)^T-A$
[/mm]
Nun multipliziere auf beiden Seiten der Gleichung von links mit [mm] $\red{\left(A^T\right)^{-1}}$, [/mm] das gibt
[mm] $\underbrace{\red{\left(A^T\right)^{-1}}\cdot{}\red{A^T}}_{=\mathbb{E}}\cdot{}X\cdot{}\blue{A^{-1}}=\red{\left(A^T\right)^{-1}}\cdot{}\left[\left(A^{-1}\right)^T-A\right]$
[/mm]
Also [mm] $\mathbb{E}\cdot{}X\cdot{}\blue{A^{-1}}=\left(A^{T}\right)^{-1}\cdot{}\left[\left(A^{-1}\right)^T-A\right]$
[/mm]
dh. [mm] $X\cdot{}\blue{A^{-1}}=\left(A^{T}\right)^{-1}\cdot{}\left[\left(A^{-1}\right)^T-A\right]$
[/mm]
So und nun weiter, indem du beide Seiten der Gleichung von rechts mit [mm] $\blue{A}$ [/mm] multiplizierst ...
> Vielen Dank,
>
> mfg,
> Sebastian
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Vielen Vielen Dank erstmal, mit der Erklärung verstehe ich das schon ne Ecke besser, also mit dem letzten Schritt meinst du von recht multiplizieren, da ja auch das A hinter (also rechts von) dem X steht. Dann würde das ganze doch so aussehen:
[mm] X*A^{-1} [/mm] = [mm] (A^{T})^{-1} [/mm] * [mm] [(A^{-1})^{T}-A] [/mm]
Die Üerberlegung ist jetzt also, wie ich das [mm] A^{-1} [/mm] wegbekomme. Ich versuche also es mit etwas zu multiplizieren, dass die Einheitsmatrix hervorbringt, da ich diese dann ja außer Acht lassen kann.
In diesem Fall ist es [mm] A^{-1} [/mm] * A = E oder ist nur A * [mm] A^{-1} [/mm] = E ???
Wenn das so geht dann könnte ich dann schreiben:
[mm] X*\underbrace{A^{-1}*A}_{=E} [/mm] = [mm] (A^{T})^{-1} [/mm] * [mm] [(A^{-1})^{T}-A] [/mm] * A
und somit
X = [mm] (A^{T})^{-1} [/mm] * [mm] [(A^{-1})^{T}-A] [/mm] * A das dann ausrechnen und fertig ??
Ist das so korrekt??
Vielen Dank nochmal für deine sehr ausführliche Antwort ;)
mfg,
Sebastian
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Vielen Vielen Dank erstmal, mit der Erklärung verstehe ich
> das schon ne Ecke besser, also mit dem letzten Schritt
> meinst du von recht multiplizieren, da ja auch das A hinter
> (also rechts von) dem X steht. Dann würde das ganze doch
> so aussehen:
>
> [mm]X*A^{-1}[/mm] = [mm](A^{T})^{-1}[/mm] * [mm][(A^{-1})^{T}-A][/mm]
>
> Die Üerberlegung ist jetzt also, wie ich das [mm]A^{-1}[/mm]
> wegbekomme. Ich versuche also es mit etwas zu
> multiplizieren, dass die Einheitsmatrix hervorbringt, da
> ich diese dann ja außer Acht lassen kann.
>
> In diesem Fall ist es [mm]A^{-1}[/mm] * A = E oder ist nur A * [mm]A^{-1}[/mm] = E ???
Es ergibt beides natürlich die EInheitsmatrix, hier solltest du aber $A$ rechts dranmutiplizieren, wo willst du es sonst auf der rechten Seite der Gleichung "hinpacken"?
> Wenn das so geht dann könnte ich dann schreiben:
>
> [mm]X*\underbrace{A^{-1}*A}_{=E}[/mm] = [mm](A^{T})^{-1}[/mm] * [mm][(A^{-1})^{T}-A][/mm] * A
>
> und somit
>
> X = [mm](A^{T})^{-1}[/mm] * [mm][(A^{-1})^{T}-A][/mm] * A das dann
> ausrechnen und fertig ??
>
> Ist das so korrekt??
Perfekt, wenn du noch bedenkst, dass [mm] $\left(A^{T}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^T$ [/mm] ist, kannst du dir ein wenig Rechenarbeit sparen ...
>
> Vielen Dank nochmal für deine sehr ausführliche Antwort
> ;)
Gerne
> mfg,
> Sebastian
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Genial, so habe ich das verstanden. Vielen Dank nochmal.
Bei folgendem Beispiel habe ich jetzt mal die Regeln angewendet.
AXB - 2XB -3D = 5C | +3D
AXB - 2XB = 5C + 3D | + 2XB
AXB = 5C + 3D + 2XB
--> also, jetzt kommt der erste Schritt, auf beiden Seiten habe ich ganz rechts ein B stehen, dass ich da ja weghaben möchte. Also multipliziere ich von rechts und zwar mit [mm] B^{-1}
[/mm]
also:
[mm] AX\underbrace{B*B^{-1}}_{=E} [/mm] = 5C + 3D + [mm] 2X\underbrace{B*B^{-1}}_{=E}
[/mm]
kann ich das so machen?
das Ergebnis wäre dann ja im ersten Schritt:
AX = 5c + 3D + 2X
oder?
vielen dank fürs drüber sehen.
mfg, Sebastian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 Do 20.08.2009 | | Autor: | fred97 |
> Genial, so habe ich das verstanden. Vielen Dank nochmal.
>
> Bei folgendem Beispiel habe ich jetzt mal die Regeln
> angewendet.
>
> AXB - 2XB -3D = 5C | +3D
> AXB - 2XB = 5C + 3D | + 2XB
> AXB = 5C + 3D + 2XB
>
> --> also, jetzt kommt der erste Schritt, auf beiden Seiten
> habe ich ganz rechts ein B stehen, dass ich da ja weghaben
> möchte. Also multipliziere ich von rechts und zwar mit
> [mm]B^{-1}[/mm]
>
> also:
>
> [mm]AX\underbrace{B*B^{-1}}_{=E}[/mm] = 5C + 3D +
> [mm]2X\underbrace{B*B^{-1}}_{=E}[/mm]
>
> kann ich das so machen?
Nein, so ist das nicht richtig. Richtig:
[mm]AX\underbrace{B*B^{-1}}_{=E} = 5CB^{-1} + 3DB^{-1} +2X\underbrace{B*B^{-1}}_{=E}[/mm]
>
> das Ergebnis wäre dann ja im ersten Schritt:
>
> AX = 5c + 3D + 2X
Nein. Sondern:
$AX = [mm] 5CB^{-1} [/mm] + [mm] 3DB^{-1} [/mm] + 2X$
FRED
>
> oder?
>
> vielen dank fürs drüber sehen.
>
> mfg, Sebastian
>
|
|
|
| |
|
Ah, alles klar, das hatte ich vergessen, dass ich ja zu jeder Zahl dass [mm] B^{-1} [/mm] hinzurechnen muss.
Allerdings stehe ich dann ja vor dem nächsten Problem:
Es ist jetzt:
AX = [mm] 5CB^{-1} [/mm] + [mm] 3DB^{-1} [/mm] + 2X
jetzt muss ich natürlich noch das A vor dem X wegbekommen, dafür würde ich das ganze mit [mm] A^{-1} [/mm] von links multiplizieren.
Das Ergebnis sieht dann wie folgt aus:
--> [mm] A^{-1} [/mm] * AX = [mm] A^{-1}5CB^{-1} [/mm] + [mm] A^{-1}3DB^{-1} [/mm] + [mm] A^{-1}2X
[/mm]
--> X = [mm] A^{-1}5CB^{-1} [/mm] + [mm] A^{-1}3DB^{-1} [/mm] + [mm] A^{-1}2X
[/mm]
aber jetzt habe ich rechts immer noch das x und wenn ich das rüber hole
X- [mm] A^{-1}2X [/mm] = [mm] A^{-1}5CB^{-1} [/mm] + [mm] A^{-1}3DB^{-1}
[/mm]
wie kann ich hier jetzt weitermachen??
Vielen Dank für eure Mühe,
mfg,
Sebastian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 Do 20.08.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ah, alles klar, das hatte ich vergessen, dass ich ja zu
> jeder Zahl dass [mm]B^{-1}[/mm] hinzurechnen muss.
>
> Allerdings stehe ich dann ja vor dem nächsten Problem:
>
> Es ist jetzt:
> AX = [mm]5CB^{-1}[/mm] + [mm]3DB^{-1}[/mm] + 2X
>
> jetzt muss ich natürlich noch das A vor dem X wegbekommen,
> dafür würde ich das ganze mit [mm]A^{-1}[/mm] von links
> multiplizieren.
>
> Das Ergebnis sieht dann wie folgt aus:
>
> --> [mm]A^{-1}[/mm] * AX = [mm]A^{-1}5CB^{-1}[/mm] + [mm]A^{-1}3DB^{-1}[/mm] +
> [mm]A^{-1}2X[/mm]
> --> X = [mm]A^{-1}5CB^{-1}[/mm] + [mm]A^{-1}3DB^{-1}[/mm] + [mm]A^{-1}2X[/mm]
>
> aber jetzt habe ich rechts immer noch das x und wenn ich
> das rüber hole
>
> X- [mm]A^{-1}2X[/mm] = [mm]A^{-1}5CB^{-1}[/mm] + [mm]A^{-1}3DB^{-1}[/mm]
>
> wie kann ich hier jetzt weitermachen??
$X [mm] -2A^{-1}X [/mm] = [mm] (E-2A^{-1})X$
[/mm]
FRED
>
> Vielen Dank für eure Mühe,
>
> mfg,
> Sebastian
>
|
|
|
| |
|
Okay, das verstehe ich, aber wie holst du jetzt den ausgeklammerten teil rüber??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:23 Do 20.08.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wir haben
[mm] AX=5CB^{-1}+3DB^{-1}+2X [/mm]
[mm] \gdw (E-2A^{-1})X=5CB^{-1}+3DB^{-1}
[/mm]
Und [mm] P:=(E-2A^{-1}) [/mm] ist wieder eine quadratische Matrix (Das ist wichtig), also gibt es ein [mm] P^{-1}, [/mm] mit dem du passend multiplizieren kannst.
Beachte aber auf der rechten Seite das Distributivgesetz.
Marius
|
|
|
| |
|
Hallo Marius,
ich habe jetzt den Vorspann zu dieser Aufgabe nicht komplett gelesen, aber wie kommt denn deine Äquivalenz zustande?
> Hallo
>
> Wir haben
>
> [mm]AX=5CB^{-1}+3DB^{-1}+2X[/mm]
> [mm]\gdw (E-2A^{-1})X=5CB^{-1}+3DB^{-1}[/mm]
Nicht eher: [mm] $\gdw (A-2\mathbb{E})X=5CB^{-1}+3DB^{-1}$ [/mm] ?
>
> Und [mm]P:=(E-2A^{-1})[/mm] ist wieder eine quadratische Matrix (Das
> ist wichtig), also gibt es ein [mm]P^{-1},[/mm] mit dem du passend
> multiplizieren kannst.
> Beachte aber auf der rechten Seite das Distributivgesetz.
>
> Marius
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Alles klar, wenn ich das jetzt richtig verstehe kann ich von diesem Ausgeklammerten teil die Inverse berechnen (natürlich nur insoweit das mgl ist, wie du schon sagst) und dann kann ich das rüber holen.
Das sieht dann so aus?
[mm] (E-2A^{-1})X=5CB^{-1}+3DB^{-1} [/mm] | [mm] *(E-2A^{-1})^{-1}
[/mm]
also
--> [mm] \underbrace{(E-2A^{-1})^{-1}*(E-2A^{-1})}_{=E}X= [/mm]
[mm] (E-2A^{-1})^{-1}*(5CB^{-1}+3DB^{-1})
[/mm]
ist das so richtig ?
Ich habe das Distributivgesetz doch jetzt beachtet, oder?
A(B+C) = AB + AC
Vielen Dank schonmal,
mfg, Sebastian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 Do 20.08.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das ist soweit korrekt, nur müsstest du nochmal schauen, ob [mm] (E-2A^{-1}) [/mm] korrekt ist, oder, Schachuzipus' Einwand berechtigt ist.
Marius
|
|
|
| |
|
Hallo Marius,
> Hallo
>
> Das ist soweit korrekt, nur müsstest du nochmal schauen,
> ob [mm](E-2A^{-1})[/mm] korrekt ist, oder,
> Schachuzipus' Einwand
> berechtigt ist.
Das ist er wohl, ich habe mir das Gnze jetzt mal durchgelesen.
Außerdem solltest du, Sebastian, dir klar machen, dass diese Umformungen nur klappen, wenn $B$ und [mm] $(A-2\mathbb{E})$ [/mm] auch tatsächlich invertierbar sind.
Falls nicht, wird das nix mit dem Auflösen nach $X$ ...
>
> Marius
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:49 Do 20.08.2009 | | Autor: | ronin1987 |
Danke für den Hinweis.
Im Papula habe ich gelesen, dass es ein hinreichender Beweis ist, wenn die determinante der Matrix [mm] \not= [/mm] 0 ist, ist das korrekt? Damit denke ich ist diese Frage dann auchb gelöst und ich möchte mich bei allen, die mir geholfen haben nochmal sehr bedanken. Merci beacoup,
sebastian
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Danke für den Hinweis.
>
> Im Papula habe ich gelesen, dass es ein hinreichender
> Beweis ist, wenn die determinante der Matrix [mm]\not=[/mm] 0 ist,
> ist das korrekt?
Ja, es gilt $A \ [mm] \text{invertierbar} [/mm] \ [mm] \gdw [/mm] \ [mm] det(A)\neq [/mm] 0$
> Damit denke ich ist diese Frage dann auchb
> gelöst und ich möchte mich bei allen, die mir geholfen
> haben nochmal sehr bedanken. Merci beacoup,
>
> sebastian
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:35 Do 20.08.2009 | | Autor: | smarty |
Hallo,
entschuldigt bitte, dass ich mich hier zwischenklinke.
> Genial, so habe ich das verstanden. Vielen Dank nochmal.
>
> Bei folgendem Beispiel habe ich jetzt mal die Regeln
> angewendet.
>
> AXB - 2XB -3D = 5C | +3D
wäre es denn hier nicht besser (sofern das überhaupt geht, was hiermit auch meine Frage ist) jetzt mit B^(-1) von rechts zu multiplizieren und anschließend X auszuklammern?
Danke und Grüße
Smarty
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:59 Do 20.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wann man X ausklammert ist egal, und ja du kannst und musst es so oder aehnlich machen, wie du ja an Freds spaeterem post siehst.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:02 Do 20.08.2009 | | Autor: | smarty |
Hallo Leduart,
ok, danke schön
Grüße
Smarty
|
|
|
|
