X Binomial verteilt, EW < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Sei X Binomial verteilt, d.h. Bin(n,p). Zeigen Sie: [mm] E(\bruch{1}{X+1})=\bruch{1-(1-p)^{n+1}}{(n+1)*p}
[/mm]
Hinweis: Zeigen Sie zuerst [mm] E(\bruch{1}{X+1})=E(\integral_{0}^{1}{t^X dt}) [/mm] und verwenden Sie an geeigneter Stelle die erzeugenden Funktion von X.
b) Bestimmen Sie den Grenzwert von [mm] \bruch{1-(1-p_n)^{n+1}}{(n+1)*p_n} [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm] und [mm] p_n \to [/mm] 0 und [mm] n*p_n \to \lambda [/mm] > 0
c) Sei Y Possion verteilt. Bestimmen Sie [mm] E(\bruch{1}{Y+1}) [/mm] |
HI, mal wieder ne schöne Aufgabe  . Versuchen wir mal schrittartig vorzugehen.
a) erstmal:
Wir haben also die Binomialverteilung für X: [mm] P(X=k)=\vektor{n \\ k}p^k (1-p)^{n-k}. [/mm]
Dann sollen wir den EW bestimmen, wenn X Binomial verteilt ist. Den EW bekommen wir durch: [mm] E(X)=\summe_{k=1}^{\infty}k*P(X=k).
[/mm]
So Wenn ich erstmal ganz normal P(X=k) hier einsetzte, bekomme ich ja:
[mm] E(X)=\summe_{k=1}^{\infty}k*\vektor{n \\ k}p^k (1-p)^{n-k}
[/mm]
jetzt weiß ich gerade nicht, wie ich [mm] E(\bruch{1}{X+1}) [/mm] dort einsetze??
Und den Tipp versteh ich auch nicht so, wie sollenw ir denn da auf [mm] E(\bruch{1}{X+1})=E(\integral_{0}^{1}{t^X dt}) [/mm] kommen???
Danke für Hilfe.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:27 Do 07.01.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin
> a) erstmal:
>
> Wir haben also die Binomialverteilung für X:
> [mm]P(X=k)=\vektor{n \\ k}p^k (1-p)^{n-k}.[/mm]
>
> Dann sollen wir den EW bestimmen, wenn X Binomial verteilt
> ist. Den EW bekommen wir durch:
> [mm]E(X)=\summe_{k=1}^{\infty}k*P(X=k).[/mm]
Nein, das ist nicht gesucht.
>
> So Wenn ich erstmal ganz normal P(X=k) hier einsetzte,
> bekomme ich ja:
>
> [mm]E(X)=\summe_{k=1}^{\infty}k*\vektor{n \\ k}p^k (1-p)^{n-k}[/mm]
Wenn schon, dann
[mm]E(X)=\summe_{k=0}^{n}k*\vektor{n \\ k}p^k (1-p)^{n-k}[/mm]
>
> jetzt weiß ich gerade nicht, wie ich [mm]E(\bruch{1}{X+1})[/mm]
> dort einsetze??
Es ist
[mm]E(\bruch{1}{X+1})=\summe_{k=0}^{n}\frac{1}{k+1}\vektor{n \\ k}p^k (1-p)^{n-k}[/mm]
zu bestimmen.
>
> Und den Tipp versteh ich auch nicht so, wie sollenw ir denn
> da auf [mm]E(\bruch{1}{X+1})=E(\integral_{0}^{1}{t^X dt})[/mm]
> kommen???
Bestimme doch mal
[mm] $\integral_{0}^{1}t^x [/mm] dt$
fuer [mm] $x=0,1,2,\dots,n$.
[/mm]
vg Luis
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Hi,
> Bestimme doch mal
> $ [mm] \integral_{0}^{1}t^x [/mm] dt $
> für x=0,1,2,...,n.
ok, habe das mal gemacht, für x=1 kommt man auf [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] für x=2 auf [mm] \bruch{1}{3} [/mm] und für x=n auf [mm] \bruch{1}{n+1}, [/mm] das grenzt ja dazu, [mm] \summe_{k=0}^{n}\frac{1}{k+1} [/mm] zu sein.
Heißt eigentlich [mm] E(\integral_{0}^{1}{t^X dt})=(\integral_{0}^{1}{t^X dt})* \vektor{n \\ k}p^k (1-p)^{n-k} [/mm] ? das habe ich jetzt so richtig verstanden, oder??
d.h. mann musster erstmal zeigen, dass [mm] \summe_{k=0}^{n}\frac{1}{k+1}=\integral_{0}^{1}{t^X dt} [/mm] ist, richtig?
Jetzt ist die Frage, von welcher Seite geht man zur anderen? Fange ich mit rechts an, also [mm] \integral_{0}^{1}{t^X dt} [/mm] und leite das mal auf, so komme ich auf: [mm] \bruch{t^{X+1}}{X+1} [/mm] in den Grenzen von 1 und 0, setze ich diese Grenzen mal ein, komme ich ja auch [mm] \bruch{1^{X+1}}{X+1}=\bruch{1}{X+1} [/mm] kann ich jetzt einfach sagen,dass [mm] \bruch{1^{X+1}}{X+1}=\bruch{1}{X+1}=\summe_{k=0}^{n}\frac{1}{k+1} [/mm] ist??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:35 Do 07.01.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin,
du bist leider gaenzlich auf dem Holzweg ...
Wir wissen:
[mm] $\integral_{0}^{1}{t^X dt}=\frac{1}{X+1}$ [/mm] und folglich [mm] $E[\integral_{0}^{1}{t^X dt}]=E[\frac{1}{X+1}]$.
[/mm]
Jetzt schau dir mal [mm] E[\integral_{0}^{1}{t^X dt}]$ [/mm] genauer an. Irgendwie
muessen wir ja den Hinweis
und verwenden Sie an geeigneter Stelle die erzeugenden Funktion von $X_$
verbraten.
Aber erst einmal ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
vg Luis
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Hi nochmal,
ok jetzt habe ich es doch nochmal hinbekommen.
Kann jemand das Ergebnis für c) vielleicht bestätigen,
also X [mm] Poi(\lambda) [/mm] verteilt, komme da auf:
[mm] E(\bruch{1}{Y+1})=\bruch{1-e^{-\lambda}}{\lambda}, [/mm] einverstanden damit??
womit ich gerade nicht weiterkomme ist Punkt b)
> Bestimmen Sie den Grenzwert von $ [mm] \bruch{1-(1-p_n)^{n+1}}{(n+1)\cdot{}p_n} [/mm] $ für n $ [mm] \to \infty [/mm] $ und $ [mm] p_n \to [/mm] $ 0 und $ [mm] n\cdot{}p_n \to \lambda [/mm] $ > 0
So habe mir gedacht, erstmal durch [mm] p_n [/mm] zu teilen, komme dann auf:
[mm] \bruch{1-(1-p_n)^{n+1}}{(n+1)\cdot{}p_n}=\bruch{\bruch{1}{p_n} - \bruch{(1-p_n)^{n+1}}{p_n}}{n+1}=\bruch{1-(1-p_n)^{n+1}}{(n+1)*p_n}=\bruch{1-(1-p_n)^{n+1}}{\lambda + p_n}
[/mm]
so weiter komme ich jetzt nicht.. kann da vielleicht wer helfen??
grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 Fr 08.01.2010 | | Autor: | luis52 |
> Hi nochmal,
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> ok jetzt habe ich es doch nochmal hinbekommen.
>
> Kann jemand das Ergebnis für c) vielleicht bestätigen,
>
> also X [mm]Poi(\lambda)[/mm] verteilt, komme da auf:
>
> [mm]E(\bruch{1}{Y+1})=\bruch{1-e^{-\lambda}}{\lambda},[/mm]
> einverstanden damit??
Hm, Mathematica liefert hier
[mm] \frac{\exp(\lambda)(\exp(\lambda e^{-\lambda})-1)}{\lambda}$.
[/mm]
>
> womit ich gerade nicht weiterkomme ist Punkt b)
>
> > Bestimmen Sie den Grenzwert von
> [mm]\bruch{1-(1-p_n)^{n+1}}{(n+1)\cdot{}p_n}[/mm] für n [mm]\to \infty[/mm]
> und [mm]p_n \to[/mm] 0 und [mm]n\cdot{}p_n \to \lambda[/mm] > 0
>
> So habe mir gedacht, erstmal durch [mm]p_n[/mm] zu teilen, komme
> dann auf:
>
> [mm]\bruch{1-(1-p_n)^{n+1}}{(n+1)\cdot{}p_n}=\bruch{\bruch{1}{p_n} - \bruch{(1-p_n)^{n+1}}{p_n}}{n+1}=\bruch{1-(1-p_n)^{n+1}}{(n+1)*p_n}=\bruch{1-(1-p_n)^{n+1}}{\lambda + p_n}[/mm]
>
> so weiter komme ich jetzt nicht.. kann da vielleicht wer
> helfen??
Setze doch mal [mm] $a_n=n p_n\iff p_n=a_n/n$. [/mm] Vielleicht hilft das.
vg Luis
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Hi,
> Hm, Mathematica liefert hier
> $ [mm] \frac{\exp(\lambda)(\exp(\lambda e^{-\lambda})-1)}{\lambda}$. [/mm] $
das ist ja komisch. poste mal meine rechnung. vielleicht findet sich ja der fehler:
[mm] E[\frac{1}{Y+1}]=E[\integral_{0}^{1}{t^Ydt}]=\summe_{k=0}^{n}\integral_{0}^{1}{t^X dt}*e^{-\lambda}\bruch{\lambda^k}{k!} [/mm]
mit der Erzeugenden Funktion der Poi.verteil. erhält man dann:
= [mm] \integral_{0}^{1}{e^{-\lambda}e^{\lambda t} dt}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{1}{e^{\lambda t-\lambda} dt}
[/mm]
= [mm] \bruch{e^{\lambda t-\lambda} }{\lambda} [/mm] in den Grenzen von 1 und 0,
setzt man die Grenzen ein, komme ich auf
= [mm] \bruch{e^0}{\lambda} [/mm] - [mm] \bruch{e^{-\lambda}}{\lambda}
[/mm]
d.h. $ [mm] E(\bruch{1}{Y+1})=\bruch{1-e^{-\lambda}}{\lambda} [/mm] $
wo steckt mein fehler??
> $ [mm] \bruch{1-(1-p_n)^{n+1}}{(n+1)\cdot{}p_n}=\bruch{\bruch{1}{p_n} - \bruch{(1-p_n)^{n+1}}{p_n}}{n+1}=\bruch{1-(1-p_n)^{n+1}}{(n+1)\cdot{}p_n}=\bruch{1-(1-p_n)^{n+1}}{\lambda + p_n} [/mm] $
>
> so weiter komme ich jetzt nicht.. kann da vielleicht wer
> helfen??
> Setze doch mal $ [mm] a_n=n p_n\iff p_n=a_n/n [/mm] $. Vielleicht hilft das.
Wo soll ich das denn einsetzen in der Gleichung, ab wann??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:26 Fr 08.01.2010 | | Autor: | luis52 |
> Hi,
>
> > Hm, Mathematica liefert hier
>
> > $ [mm]\frac{\exp(\lambda)(\exp(\lambda e^{-\lambda})-1)}{\lambda}$.[/mm]
> $
>
> das ist ja komisch. poste mal meine rechnung. vielleicht
> findet sich ja der fehler:
>
> [mm]E[\frac{1}{Y+1}]=E[\integral_{0}^{1}{t^Ydt}]=\summe_{k=0}^{n}\integral_{0}^{1}{t^X dt}*e^{-\lambda}\bruch{\lambda^k}{k!}[/mm]
>
> mit der Erzeugenden Funktion der Poi.verteil. erhält man
> dann:
>
> = [mm]\integral_{0}^{1}{e^{-\lambda}e^{\lambda t} dt}[/mm]
> =
> [mm]\integral_{0}^{1}{e^{\lambda t-\lambda} dt}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{e^{\lambda t-\lambda} }{\lambda}[/mm] in den Grenzen von
> 1 und 0,
>
> setzt man die Grenzen ein, komme ich auf
>
> = [mm]\bruch{e^0}{\lambda}[/mm] - [mm]\bruch{e^{-\lambda}}{\lambda}[/mm]
>
> d.h. [mm]E(\bruch{1}{Y+1})=\bruch{1-e^{-\lambda}}{\lambda}[/mm]
>
> wo steckt mein fehler??
Nicht deiner, sondern *meiner*. Jetzt erhalte ich auch mit Mathematica dein Ergebnis.
>
> >
> [mm]\bruch{1-(1-p_n)^{n+1}}{(n+1)\cdot{}p_n}=\bruch{\bruch{1}{p_n} - \bruch{(1-p_n)^{n+1}}{p_n}}{n+1}=\bruch{1-(1-p_n)^{n+1}}{(n+1)\cdot{}p_n}=\bruch{1-(1-p_n)^{n+1}}{\lambda + p_n}[/mm]
>
> >
> > so weiter komme ich jetzt nicht.. kann da vielleicht wer
> > helfen??
>
> > Setze doch mal [mm]a_n=n p_n\iff p_n=a_n/n [/mm]. Vielleicht hilft
> das.
>
> Wo soll ich das denn einsetzen in der Gleichung, ab wann??
Na, am Anfang, also in
[mm] $\bruch{1-(1-p_n)^{n+1}}{(n+1)\cdot{}p_n}$
[/mm]
Allerdings ohne Gewaehr, ob das was bringt. Bei mir
hakt's an einer Stelle ...
vg Luis
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kannst du eigentlich auch mit mathematica den grenzwert von [mm] \bruch{1-(1-p_n)^{n+1}}{(n+1)\cdot{}p_n} [/mm] berechnen??
weil wenn 0 rauskommen sollte, habe ich es vielleicht hinbekommen....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 Fr 08.01.2010 | | Autor: | luis52 |
> kannst du eigentlich auch mit mathematica den grenzwert von
> [mm]\bruch{1-(1-p_n)^{n+1}}{(n+1)\cdot{}p_n}[/mm] berechnen??
Ich wuesste nicht wie, denn es gibt einfach zu viele
Moeglichkeiten fuer [mm] $np_n\to\lambda$.
[/mm]
> weil wenn 0 rauskommen sollte, habe ich es vielleicht hinbekommen....
Das *kann* nicht stimmen: Betrachte [mm] $p_n=\lambda/n$. [/mm]
(Das liefert auch meine Vermutung bezueglich des Grenzwerts.)
vg Luis
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Hi nochmal.
aber genau aus diesem Grund denke ich es ja, also wegen $ [mm] p_n=\lambda/n [/mm] $.
[mm] p_n [/mm] streht ja eh gegen 0. und [mm] \lambda [/mm] ist größer 0, n geht gegen unendlich, also geht [mm] \lambda/n [/mm] auch gegen 0, dann hätten wir 0=0.
geht das nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 Fr 08.01.2010 | | Autor: | luis52 |
>
> geht das nicht?
Nein, so geht das nicht. Mit deiner Argumentation erhalten wir den Grenzwert:
[mm] \frac{1-1^\infty}{\infty\cdot0}= [/mm] ...
Was'n das?
vg Luis
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Ok noch einmal ein letzter versuch, wenn das nicht klappt, weiß ich auch nicht weiter...
[mm] \bruch{1-(1-p_n)^{n+1}}{(n+1)\cdot{}p_n} [/mm] jetzt [mm] p_n [/mm] ausklammer und kürzen, es folgt
= [mm] \bruch{\bruch{1}{p_n} - (\bruch{1}{p_n}-1)*(1-p_n)^n}{n+1}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{n*p_n +p_n} [/mm] - [mm] (\bruch{(1+p_n)^n}{n*p_n +p_n}) [/mm] + [mm] \bruch{(1-p_n)^n}{n+1}
[/mm]
so, dann könnte ich jetzt schon [mm] n*p_n [/mm] = [mm] \lambda [/mm] ausnutzen
= [mm] \bruch{1}{\lambda+p_n} [/mm] - [mm] (\bruch{(1+p_n)^n}{\lambda +p_n}) [/mm] + [mm] \bruch{(1-p_n)^n}{n+1}
[/mm]
Weiter komme ich wieder nicht.....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:43 Sa 09.01.2010 | | Autor: | luis52 |
> Weiter komme ich wieder nicht.....
[mm] \frac{1-(1-p_n)^{n+1}}{(n+1)p_n}=\frac{1-(1-\frac{a_n}{n})^{n+1}}{(n+1)\frac{a_n}{n}}=\frac{1-(1-\frac{a_n}{n})^{n}(1-\frac{a_n}{n})}{\frac{(n+1)}{n}a_n}$
[/mm]
Fuer [mm] $a_n=\lambda$ [/mm] konvergiert dieser Ausdruck gegen
[mm] $\frac{1-e^{-\lambda}\cdot1}{1\cdot\lambda}$,
[/mm]
was, nicht unerwartet, dem Ergebnis aus c) entspricht.
Ich haenge an der Stelle, ob unter den getroffenen Annahmen allgemein gilt
[mm] $\lim_{n\to\infty}(1-\frac{a_n}{n})^{n}=e^{\lambda}$.
[/mm]
Stelle diese Frage doch mal im Analysis-Forum.
vg Luis
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Hi,
ok, d.h.
[mm] =\frac{1-(1-\frac{a_n}{n})^{n}(1-\frac{a_n}{n})}{\frac{(n+1)}{n}a_n}
[/mm]
der Teil [mm] \bruch{-a_n (1-\bruch{a_n}{n})^n}{n} [/mm] strebt ja bei dir auch gegen 0, sehe ich das richtig??
Und hier
[mm] \lim_{n\to\infty}(1-\frac{a_n}{n})^{n}=e^{-\lambda}
[/mm]
ich weiß, dass [mm] \lim_{n\to\infty}(1-\frac{1}{n})^{n}=e^{-1}, [/mm] das andere wusste ich gar nicht, dass das auch gilt.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:06 Sa 09.01.2010 | | Autor: | luis52 |
> Hi,
>
> ok, d.h.
>
> [mm]=\frac{1-(1-\frac{a_n}{n})^{n}(1-\frac{a_n}{n})}{\frac{(n+1)}{n}a_n}[/mm]
>
> der Teil [mm]\bruch{-a_n (1-\bruch{a_n}{n})^n}{n}[/mm] strebt ja bei
> dir auch gegen 0, sehe ich das richtig??
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Und hier
>
> [mm]\lim_{n\to\infty}(1-\frac{a_n}{n})^{n}=e^{-\lambda}[/mm]
>
> ich weiß, dass
> [mm]\lim_{n\to\infty}(1-\frac{1}{n})^{n}=e^{-1},[/mm] das andere
> wusste ich gar nicht, dass das auch gilt.
Generell: [mm]\lim_{n\to\infty}(1-\frac{x}{n})^{n}=e^{x}[/mm] fuer [mm] $x\in\IR$. [/mm] Ob [mm]\lim_{n\to\infty}(1-\frac{a_n}{n})^{n}=e^{\lim a_n}}[/mm] ist mir unklar.
vg Luis
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:08 Sa 09.01.2010 | | Autor: | jaruleking |
Besten Dank.
Grüße
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