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Wurzelphänomen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:55 Do 07.10.2004
Autor: Blacky

Hallo, beim Rechnen einiger Schulaufgaben bin ich heute durch probieren auf eine Regel gestoßen, die wir in der Schule noch?? nicht behandelt haben.

Meines Erachtens lautet sie

[mm] y * \wurzel{x} = \wurzel {y² * x} [/mm]

Weiß jemand wie sich das erklären lässt ? Ich hoffe das ist nicht zu kompliziert :D Mit Potenzregeln lässt es sich glaube ich nicht erklären, da wir ja 2 unterschiedliche Basen und Exponenten haben. Hmm, ich bin mal gespannt. Sehr bedeutungsvoll ist die Regel sicherlich nicht, interessant finde ich sie trotzdem.

MFG Blacky




        
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Wurzelphänomen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:08 Do 07.10.2004
Autor: Stefan

Hallo Blacky!

> Meines Erachtens lautet sie
>  
> [mm]y * \wurzel{x} = \wurzel {y² * x}[/mm]

Die Formel gilt für [mm] $x,y\ge [/mm] 0$. Für $x<0$ sind die Terme gar nicht definiert, klar. Und für $y<0$ ist die Gleichung  falsch.

Beispielsweise gilt für $y=-1$:

$-1 [mm] \cdot \wurzel{x} \ne \wurzel{x} [/mm] = [mm] \wurzel{(-1)^2 \cdot x}$. [/mm]

Für $x [mm] \ge [/mm] 0$, $y [mm] \ge [/mm] 0$ folgt deine Formel wie folgt aus den Wurzelgesetzen:

$y [mm] \cdot \wurzel{x} [/mm] = [mm] \wurzel{y^2} \cdot \wurzel{x} [/mm] = [mm] \wurzel{y^2 \cdot x}$. [/mm]

Ich finde es gut, dass du dir Gedanken darüber machst. :-)

Liebe Grüße
Stefan
  
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Wurzelphänomen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:27 Do 07.10.2004
Autor: Blacky

Hallo, vielen Dank für die schnelle Antwort. Über die Definitionsmenge der Variablen habe ich mir dummerweise im vorhinein keine Gedanken gemacht. Aber da man aus negativen Zahlen keine Wurzel ziehen kann muss x logischerweise immer positiv (oder 0) sein.

Für [mm] y < 0 [/mm] müsste man jedoch nur noch ein Minuszeichen einfügen, so dass für alle [mm]y < 0[/mm] gilt : [mm] y * \wurzel{x} = -\wurzel{y² * x} [/mm]  

Diese Wurzelgesetze da, meine ich schon einmal in der Mittelstufe gesehen zu haben :) Sie sind mir allerdings in nicht ganz so guter Erinnerung geblieben. Aber da war glaub ich eher was mit Wurzeln unter Wurzeln und Summen im Spiel :)
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Wurzelphänomen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:06 Do 07.10.2004
Autor: Marcel

Hallo Blacky,

> Für [mm]y < 0[/mm] müsste man jedoch nur noch ein Minuszeichen
> einfügen, so dass für alle [mm]y < 0[/mm] gilt : [mm]y * \wurzel{x} = -\wurzel{y² * x}[/mm]

[ok]

Das ist so, weil für alle $y [mm] \in \IR$ [/mm] gilt:
(1.) [mm] $\wurzel{y^2}=|y|$. [/mm]
Ferner gilt für alle $y [mm] \in \IR_{<0}$: [/mm]
(2.) $y=-|y|$

(Bemerkung: [m]\IR_{<0}:=\{r \in \IR: r < 0\}[/m])

Mit (1.) und (2.) erhältst du im Falle $y < 0$ und $x [mm] \ge [/mm] 0$:
[mm]y * \wurzel{x} =-|y|*\wurzel{x} =-\wurzel{y²}*\wurzel{x} =-\wurzel{y²*x}[/mm]

PS: Hier noch zwei Links zu den Wurzelgesetzen:
[]http://www.mathematik.net/wurzeln/w02s02.htm
[]http://www.mathematik.net/wurzeln/0-inhalt-1.htm

Und nochmal ein Link zu den Potenzgesetzen:
[]http://www.mathematik.net/potenzen/0-inhalt-1.htm

Liebe Grüße
Marcel
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Wurzelphänomen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:51 Do 07.10.2004
Autor: Marcel

Hallo Blacky,

das Wichtigste hat ja Stefan schon gesagt. :-)
Man kann (im Falle $x [mm] \ge [/mm] 0$ und [m]y \ge 0[/m]) das ganze mit den Potenzgesetzen [mm] ($\rightarrow$[/mm]  []http://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_%28Mathematik%29) nachrechnen.

Dort stehen drei Regeln, die du dafür brauchst:
Für $a [mm] \ge [/mm] 0$ und $b [mm] \ge [/mm] 0$ gilt:
(I) [mm] $a^{\frac{1}{2}}=\wurzel{a}$ [/mm]
(II) [mm] $(a*b)^q=a^q*b^q$, [/mm] welches auch für alle $q [mm] \in \IQ$ [/mm] gilt!(siehe dazu etwa: []http://www.mathematik.net/potenzen/p04s76.htm)
(III) [mm] $(a^p)^q=a^{p*q}$, [/mm] welches auch für alle $p [mm] \in \IQ$ [/mm] und [m]q \in \IQ[/m] gilt [mm] ($\rightarrow$[/mm]  []http://www.mathematik.net/potenzen/p04s80.htm)  

Nun gilt (für $x [mm] \ge [/mm] 0$ und $y [mm] \ge [/mm] 0$):
[mm] $y*\wurzel{x}=y^{(2*\frac{1}{2})}*\wurzel{x}$ [/mm]
[mm] $=(y^2)^{\frac{1}{2}}*\wurzel{x}$ [/mm] (wegen (III), von rechts nach links gelesen)
[mm] $=(y^2)^{\frac{1}{2}}*x^{\frac{1}{2}}$ [/mm] (wegen (I))
[mm] $=(y^2*x)^{\frac{1}{2}}$ [/mm] (wegen (II), von rechts nach links gelesen)
[mm] $=\wurzel{y^2*x}$ [/mm] (wegen (I)).

Viele Grüße
Marcel
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Wurzelphänomen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:30 Do 07.10.2004
Autor: Blacky

Danke auch für deine Antworten, marcel. Ich werde mir das ganze jedoch erst in den kommenden Tagen zu Gemüte führen, da ich morgen eine Klausur über ganz andere Dinge schreibe :)
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Wurzelphänomen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:51 Do 07.10.2004
Autor: Marcel

Hallo Blacky,

> Danke auch für deine Antworten, marcel.

Gern geschehen! :-)

> Ich werde mir das
> ganze jedoch erst in den kommenden Tagen zu Gemüte führen,
> da ich morgen eine Klausur über ganz andere Dinge schreibe
> :)

Das ist überhaupt kein Problem. Ich wünsche dir viel Erfolg bei deiner Klausur! :-)

Liebe Grüße
Marcel  
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