Wurzelkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] eine Folge reeller Zahlen. Weiterhin gebe es ein [mm] \varepsilon [/mm] mit 0 < [mm] \varepsilon [/mm] < 1, sodass gilt:
lim sup [mm] \wurzel[n]{|a_{n}|} [/mm] = [mm] \varepsilon
[/mm]
Zeigen Sie, dass die Reihe [mm] \sum^n_{k=0} a_{k} [/mm] absolut konvergiert. |
Ich hab mir ein paar Überlegungen dazu gemacht:
Wenn ich mir irgendein b definiere mit [mm] \varepsilon [/mm] < b < 1, dann gilt doch:
[mm] \wurzel[n]{|a_{n}|} [/mm] < b bzw. [mm] |a_{n}| [/mm] < [mm] b^n.
[/mm]
was ja nix anderes ist, als die geometrische Reihe.
Also gilt auch, dass [mm] \sum^n_{k=0}|a_{n}| [/mm] < [mm] \sum^n_{k=0} b^n [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] und mit Hilfe dem Majorantenkriterium ist [mm] \sum^n_{k=0} |a_{n}| [/mm] absolut konvergent.
Ich hoffe meine Überlegungen stimmen soweit. Oder hab ich was vergessen?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:04 Mo 12.12.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm] eine Folge reeller Zahlen.
> Weiterhin gebe es ein [mm]\varepsilon[/mm] mit 0 < [mm]\varepsilon[/mm] < 1,
> sodass gilt:
> lim sup [mm]\wurzel[n]{|a_{n}|}[/mm] = [mm]\varepsilon[/mm]
> Zeigen Sie, dass die Reihe [mm]\sum^n_{k=0} a_{k}[/mm] absolut
> konvergiert.
> Ich hab mir ein paar Überlegungen dazu gemacht:
> Wenn ich mir irgendein b definiere mit [mm]\varepsilon[/mm] < b <
> 1, dann gilt doch:
> [mm]\wurzel[n]{|a_{n}|} < b[/mm] bzw. [mm]|a_{n}| < b^n.[/mm]
Nicht ganz: endlich viele Glieder dürfen [mm] $\ge [/mm] b$ sein. Es gibt also ein $N$, sodass
[mm]|a_{n}| < b^n[/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] N$ .
> was ja nix anderes ist, als die geometrische Reihe.
Das ist eine Ungleichung, keine Reihe. Du meinst, dass [mm] $\summe b^n$ [/mm] eine geometrische Reihe ist; aber das musst du auch sauber hinschreiben.
> Also gilt auch, dass [mm]\sum^n_{k=0}|a_{n}|[/mm] < [mm]\sum^n_{k=0} b^n[/mm]
> für alle n [mm]\in \IN[/mm] und mit Hilfe dem Majorantenkriterium
> ist [mm]\sum^n_{k=0} |a_{n}|[/mm] absolut konvergent.
Wiederum:
[mm] \sum^n_{k=N}|a_{n}| < \sum^n_{k=N} b^n[/mm] für $n>N$,
und daher
[mm] \sum^n_{k=0}|a_{n}| < \sum^{N-1}_{k=0}|a_{n}|+\sum^n_{k=N} b^n[/mm] für $n>N$,
denn das Hinzufügen der endlich vielen Glieder am Anfang ändert nicht am Konvergenzverhalten.
Viele Grüße
Rainer
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Danke hab es jetzt verstanden
gruß
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