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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | | Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf konvergenz: \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2+(-1)^{k}}{2^{k}} |
Hallo.
Diese Aufgabe wurde (i) direkt (ii) mit dem Wurzelkriterium und (iii) mit dem Majorantenkriterium bewiesen.
Das Ende des Wurzelkriteriums leuchtet mir nicht ganz ein:
(ii) Wurzelkriterium
$\forall k\in\IN:\left| 2+(-1)^{k}} \right|\le2+\left| (-1)^{k} \right|=2+1=3 \Rightarrow \wurzel[k]{\left| \bruch{2+(-1)^{k}}{2^{k}} \right|}\le\wurzel[k]{\bruch{3}{2^{k}}}= \bruch{\wurzel[k]{3}}{\wurzel[k]{2^{k}}}=\bruch{\wurzel[k]{3}}{2}\le\bruch{\wurzel{3}}{2}<1$ für alle $k\ge2 \Rightarrow \mathop{\mathrm{lim\,sup}}\limits_{k\to\infty}\wurzel[k]{\left| \bruch{2+(-1)^{k}}{2^{k}} \right|}\le\bruch{\wurzel{3}}{2}=:q<1$
Also konvergiert die Reihe nach dem Wurzelkriterium.
Meine Verständnisprobleme beginnen ab $\bruch{\wurzel[k]{3}}{2}$.
Ich hätte nach dieser Stelle $\xrightarrow[n\to\infty]{}\bruch{1}{2}<1$ geschrieben.
Es wäre super, wenn mir jemand die Lösungsschritte nach der besagten Stelle erklären könnte und warum ich mit meinem Lösungsweg im Irrtum liege.
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
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Hiho,
> Meine Verständnisprobleme beginnen ab
> [mm]\bruch{\wurzel[k]{3}}{2}[/mm].
> Ich hätte nach dieser Stelle
> [mm]\xrightarrow[n\to\infty]{}\bruch{1}{2}<1[/mm] geschrieben.
>
> Es wäre super, wenn mir jemand die Lösungsschritte nach
> der besagten Stelle erklären könnte und warum ich mit
> meinem Lösungsweg im Irrtum liege.
du liegst mit deinem Lösungsweg nicht im Irrtum.
Oftmals führen ja viele Wege nach Rom.
Wichtig ist ja nur, dass der [mm] $\limsup [/mm] < 1$ ist.
Du zeigst es halt direkt, der Weg schätzt nur ab, was in diesem Fall aber auch ausreichend ist, denn schauen wir uns mal die Folge [mm] \sqrt[k]{3} [/mm] an.
$3, [mm] \sqrt{3}, \sqrt[3]{3},.... \to [/mm] 1$, also eine absteigende Folge mit Grenzwert 1.
Es reicht in diesem Fall aber aus, dass die Folge schon ab [mm] \sqrt{3} [/mm] kleiner als 2 und damit [mm] $\bruch{\sqrt{3}}{2}< [/mm] 1$ gilt, denn dann ist der limsup auf jedenfall auch kleiner als 1, da [mm] \bruch{\sqrt[k]{3}}{2} [/mm] ja dann auch eine absteigende Folge ist.
Verstanden soweit?
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:19 So 21.03.2010 | | Autor: | el_grecco |
Vielen Dank für die gute Erklärung, Gono.
Da ich jetzt weiß, dass mein Weg auch richtig ist, werde ich in Zukunft doch die "konservative" Art bevorzugen. 
Gruß
el_grecco
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Hallo.
Ich habe eine generelle Frage zum Majorantenkriterium, das sich bei obiger Aufgabe anwenden lässt.
Wie geht man beim Einsatz des Majorantenkriteriums vor?
Ist es so, dass man immer eine geometrische Reihe aus der gegebenen Reihe bilden muss und dann vergleicht, ob die Ursprungsreihe kleiner/gleich der geometrischen Reihe ist?
Vielen Dank.
(iii) Majorantenkriterium
[mm] $\forall k\in\IN [/mm] : [mm] \left| \bruch{2+(-1)^{k}}{2^{k}} \right|\le\bruch{2}{2^{k}}$
[/mm]
Nun ist die geometrische Reihe [mm] $\summe_{k=0}^{\infty}\left( \bruch{1}{2} \right)^{k}$ [/mm] konvergent, also auch die Reihe [mm] $\summe_{k=1}^{\infty}2*\left( \bruch{1}{2} \right)^{k}=\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2}{2^{k}}$, [/mm] die damit eine konvergente Majorante für [mm] $\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2+(-1)^{k}}{2^{k}}$ [/mm] ist; nach dem Majorantenkriterium ist also letztere Reihe konvergent.
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Hallo el_grecco,
> Hallo.
> Ich habe eine generelle Frage zum Majorantenkriterium, das
> sich bei obiger Aufgabe anwenden lässt.
> Wie geht man beim Einsatz des Majorantenkriteriums vor?
>
> Ist es so, dass man immer eine geometrische Reihe aus der
> gegebenen Reihe bilden muss und dann vergleicht, ob die
> Ursprungsreihe kleiner/gleich der geometrischen Reihe ist?
Nein, es muss nicht die geometrische Reihe sein, nur eine (größere) Reihe (Majorante), von der du weißt, dass sie konvergiert (konvergente Majorante)
Und entsprechend zum Divergenznachweis gegen eine kleine divergente Reihe (divergente Minorante)
Hier bietet sich oftmals eine harmonische Reihe an.
Bei der hier gegebenen Reihe ist die Abschätzung gegen eine konvergente geometrische Reihe aber genau der richtige (und bequeme) Weg:
>
> Vielen Dank.
>
>
> (iii) Majorantenkriterium
>
> [mm]\forall k\in\IN : \left| \bruch{2+(-1)^{k}}{2^{k}} \right|\le\bruch{2}{2^{k}}[/mm]
Na, das stimmt nicht ganz, der Zähler kann ja auch 3 werden, also schätze gegen [mm] $\frac{\red{3}}{2^k}$ [/mm] ab:
>
> Nun ist die geometrische Reihe [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\left( \bruch{1}{2} \right)^{k}[/mm]
> konvergent, also auch die Reihe
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}2*\left( \bruch{1}{2} \right)^{k}=\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2}{2^{k}}[/mm],
Ja, endlich viele Summanden kannst du immer weglassen oder hinzufügen, das ändert am Konvergenzverhalten nix, endliche Summen sind ja endlich. Die beißen also nicht!
> die damit eine konvergente Majorante für
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2+(-1)^{k}}{2^{k}}[/mm] ist; nach
> dem Majorantenkriterium ist also letztere Reihe konvergent.
Ja, statt 2 dann 3, also [mm] $3\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^k}$ [/mm]
Und: damit hast du dann auch automatisch eine Abschätzung für den Reihenwert der gegebenen Reihe, der ist [mm] $\le$ [/mm] dem Wert der Majorante, den du leicht ausrechnen kannst ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:23 Mo 22.03.2010 | | Autor: | el_grecco |
Vielen Dank, schachuzipus.
Das
> > [mm]\forall k\in\IN : \left| \bruch{2+(-1)^{k}}{2^{k}} \right|\le\bruch{2}{2^{k}}[/mm]
>
> Na, das stimmt nicht ganz, der Zähler kann ja auch 3
> werden, also schätze gegen [mm]\frac{\red{3}}{2^k}[/mm] ab:
>
ist nicht von mir, sondern es wurde uns als Musterlösung gegeben. Fehler sind da aber keine Seltenheit. Wahrscheinlich soll nur unsere Aufmerksamkeit geprüft werden. 
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