Wurzel einer Matrix < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimme zur angegebenen Matrix A die Matrix [mm] \wurzel{A} [/mm] mit der Eigenschaft [mm] \wurzel{A}*\wurzel{A}=A [/mm]
[mm] \pmat{ 3 & 1 &-1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 3 \\ } [/mm] |
Da es sich um eine symmetrische Matrix handelt, weiß ich, dass diese diagonalisierbar ist.
also habe ich zuerst die EW bestimmt mit dem Ergebnis:
[mm] \lambda_{1}=0
[/mm]
[mm] \lambda_{2}=4 [/mm] mit der Vielfachheit 3
das ist auch korrekt, das weiß ich.
jetzt möchte ich die EV bestimmen
für [mm] \lambda_{1}=0 [/mm] bekomme ich dann folgenden Vektor heraus: [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 1 \\ -1}
[/mm]
jetzt kommt mein Problem!
für [mm] \lambda_{2}=4 [/mm] errechne ich folgende Vektoren: [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 1} [/mm] ; [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1 \\ 0} [/mm] ; [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ -1}
[/mm]
diese vektoren ergeben mit der Matrix [mm] (A-E\lambda) [/mm] multipliziert auch alle den 0 Vektor, daher gehe ich eigentlich davon aus, dass diese richtig sind.
Diese normiere ich dann zu [mm] \pmat{ \bruch{1}{\wurzel{4}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} &\bruch{1}{\wurzel{2}} & 0 \\ -\bruch{1}{\wurzel{4}} & 0 & 0 & \bruch{1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{1}{\wurzel{4}} & 0 & -\bruch{1}{\wurzel{2}} & 0 \\ -\bruch{1}{\wurzel{4}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} & 0 & -\bruch{1}{\wurzel{2}} \\ } [/mm] und nenne diese Matrix P
wenn ich die Diagonalmatrix D mit [mm] D=P^{T}AP [/mm] berechne kommt jedoch keine diagonalmatrix heraus, mit der ich dann später die wurzel berechnen kann . Ich weiß nicht wo der Fehler liegt, villeicht kann mir ja einer von euch helfen.
Ich hoffe ich könnt das was ic geschrieben habe nachvollziehen.
Gruß Aldiimwald
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nur eine kleine Hilfe zur Vereinfachung:
es gilt [mm] \wurzel{4}=2
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:02 So 01.02.2009 | | Autor: | Aldiimwald |
ich weiß, wollte es aber so aufschreiben um den weg besser nachvollziehen zu können um mögliche fehlerquellen ausfindig zu machen
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O.K., das Argument lasse ich gelten .
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> Bestimme zur angegebenen Matrix A die Matrix [mm]\wurzel{A}[/mm] mit
> der Eigenschaft [mm]\wurzel{A}*\wurzel{A}=A[/mm]
>
>
>
> [mm]\pmat{ 3 & 1 &-1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 3 \\ }[/mm]
>
> Da es sich um eine symmetrische Matrix handelt, weiß ich,
> dass diese diagonalisierbar ist.
>
> also habe ich zuerst die EW bestimmt mit dem Ergebnis:
>
> [mm]\lambda_{1}=0[/mm]
> [mm]\lambda_{2}=4[/mm] mit der Vielfachheit 3
>
> das ist auch korrekt, das weiß ich.
>
> jetzt möchte ich die EV bestimmen
>
> für [mm]\lambda_{1}=0[/mm] bekomme ich dann folgenden Vektor heraus:
> [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 1 \\ -1}[/mm]
>
> jetzt kommt mein Problem!
>
> für [mm]\lambda_{2}=4[/mm] errechne ich folgende Vektoren: [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> ; [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ -1 \\ 0}[/mm] ; [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ -1}[/mm]
>
> diese vektoren ergeben mit der Matrix [mm](A-E\lambda)[/mm]
> multipliziert auch alle den 0 Vektor, daher gehe ich
> eigentlich davon aus, dass diese richtig sind.
Hallo,
bis hierher ist alles richtig.
>
> Diese normiere ich dann
Das mußt Du eigentlich nicht, schädlich ist's jedoch nicht.
zu [mm]\pmat{ \bruch{1}{\wurzel{4}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} &\bruch{1}{\wurzel{2}} & 0 \\ -\bruch{1}{\wurzel{4}} & 0 & 0 & \bruch{1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{1}{\wurzel{4}} & 0 & -\bruch{1}{\wurzel{2}} & 0 \\ -\bruch{1}{\wurzel{4}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} & 0 & -\bruch{1}{\wurzel{2}} \\ }[/mm]
> und nenne diese Matrix P
>
> wenn ich die Diagonalmatrix D mit [mm]D=P^{T}AP[/mm] berechne kommt
Aha. Hier liegt der Hase im Pfeffer: Du mußt [mm] P^{-1}AP [/mm] rechnen.
Es ist ja hier [mm] P^{T}\not=P^{-1}, [/mm] denn Du hattest die Spalten von P zwar normiert, aber orthogonal sind sie nicht.
Gruß v. Angela
> jedoch keine diagonalmatrix heraus, mit der ich dann später
> die wurzel berechnen kann . Ich weiß nicht wo der Fehler
> liegt, villeicht kann mir ja einer von euch helfen.
>
> Ich hoffe ich könnt das was ic geschrieben habe
> nachvollziehen.
>
>
> Gruß Aldiimwald
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ohh man das macht diese doch recht umfangreiche aufgabe nicht gerade kürzer!!!
danke für den hinweis.
gottseidank zu umfangreich für die klausur.....aber können muss ichs ja trotzdem
gibt es denn einen trick oder Anzeichen dafür welches ich sofort sehe, wann ich transponiert und wann invertiert rechnen muss?
habe die Inverse nun berechnet zu: [mm] P^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ \bruch{1}{2} & -\bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} & -2 \\ \bruch{\wurzel{2}}{2} & \bruch{\wurzel{2}}{2} & \bruch{\wurzel{2}}{2} & \bruch{3\wurzel{2}}{2} \\ \bruch{\wurzel{2}}{4} & -\bruch{\wurzel{2}}{4} &-\bruch{3\wurzel{2}}{4} & -\bruch{\wurzel{2}}{4} \\ \bruch{\wurzel{2}}{4} & \bruch{3\wurzel{2}}{4} & \bruch{\wurzel{2}}{4} & -\bruch{\wurzel{2}}{4}}
[/mm]
hier aber wieder das gleiche Problem
[mm] P^{-1}AP=D [/mm] ergibt dann bei mir keine Diagonalmatrix
schon in der ersten zeile : [mm] \pmat{ 0 & -6\wurzel{3} & x & x \\ x & x & x & x }
[/mm]
da habe ich dann direkt aufgehört weil es ja keine diagonalmatrix ist.
was hab ich denn diesmal falsch gemacht.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:31 So 01.02.2009 | | Autor: | Aldiimwald |
es sollte natürlich [mm] -3\wurzel{2} [/mm] heißen....
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> ohh man das macht diese doch recht umfangreiche aufgabe
> nicht gerade kürzer!!!
>
> danke für den hinweis.
>
> gottseidank zu umfangreich für die klausur.....aber können
> muss ichs ja trotzdem
>
> gibt es denn einen trick oder Anzeichen dafür welches ich
> sofort sehe, wann ich transponiert und wann invertiert
> rechnen muss?
Hallo,
wenn Du diagonalisieren willst, liegst Du grundsätzlich mit Invertieren goldrichtig.
In dem Fall, daß Du eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren hast, ist Deine Matrix P orthogonal, und invertieren=transponieren.
>
> habe die Inverse nun berechnet zu: [mm]P^{-1}[/mm] = [mm]\pmat{ \bruch{1}{2} & -\bruch{1}{2} & \bruch{1}{2} & -2 \\ \bruch{\wurzel{2}}{2} & \bruch{\wurzel{2}}{2} & \bruch{\wurzel{2}}{2} & \bruch{3\wurzel{2}}{2} \\ \bruch{\wurzel{2}}{4} & -\bruch{\wurzel{2}}{4} &-\bruch{3\wurzel{2}}{4} & -\bruch{\wurzel{2}}{4} \\ \bruch{\wurzel{2}}{4} & \bruch{3\wurzel{2}}{4} & \bruch{\wurzel{2}}{4} & -\bruch{\wurzel{2}}{4}}[/mm]
Prüfe Deine Inverse nochmal.
Es ist sicher bequemer, wenn Du mit der nichtnormierten Matrix rechnest, also mit der, die als Einträge nur 0,1, -1 hat.
Gruß v. Angela
>
> hier aber wieder das gleiche Problem
>
> [mm]P^{-1}AP=D[/mm] ergibt dann bei mir keine Diagonalmatrix
>
> schon in der ersten zeile : [mm]\pmat{ 0 & -6\wurzel{3} & x & x \\ x & x & x & x }[/mm]
>
> da habe ich dann direkt aufgehört weil es ja keine
> diagonalmatrix ist.
>
> was hab ich denn diesmal falsch gemacht.
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