Wurzel aus einer negativen Zah < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Ermittle sämtliche Zahlen [mm] $z\in\IC$, [/mm] die den folgenden Gleichungen genügen:
(a) [mm] $z^4=-16;$
[/mm]
(b) [mm] $z^3+3iz^2-3z-9i=0$ [/mm] (Hinweis kubische Ergänzung);
(c) [mm] z^2-3z+3-i=0$(Hinweis:Der Ansatz$(x+iy)^2=a+ib$ [/mm] führt auf die Gleichungen [mm] $x^2+y^2=\wurzel{a^2+b^2}$ [/mm] und $ [mm] x^2-y^2=a$ [/mm] zur Bestimmung von x und y). |
Hallo liebes Forum!
Diese Aufgabe bereitet mir leichte Probleme, da wir in der Vorlesung nicht genau gesagt hatten wie man Wurzeln zieht. Im Internet hab ich zwar Formeln gefunden aber die halfen mir nicht weiter. Doch zu kubischer Ergänzung hab ich mich schon schlau gemacht, mal sehen obs richtig war ;).
zu (a): [mm] $z^4=-16 \gdw Z=\wurzel[4]{-16}$
[/mm]
zu (b): [mm] $z^3+3z^2i-3z-i=8i$
[/mm]
[mm] $(z+i)^3=8i$
[/mm]
zu (c) habe ich mir noch keine Gedanken gemacht, mach ich sobald ich von a und b eine Ahnung habe =)
Vielen lieben Dank für Hilfe
Angelnoir
|
|
| |
|
> Ermittle sämtliche Zahlen [mm]z\in\IC[/mm], die den folgenden
> Gleichungen genügen:
> (a) [mm]z^4=-16;[/mm]
> (b) [mm]z^3+3iz^2-3z-9i=0[/mm] (Hinweis kubische Ergänzung);
> (c) [mm]z^2-3z+3-i=0$(Hinweis:Der Ansatz$(x+iy)^2=a+ib$[/mm] führt
> auf die Gleichungen [mm]$x^2+y^2=\wurzel{a^2+b^2}$[/mm] und $
> [mm]x^2-y^2=a$[/mm] zur Bestimmung von x und y).
> Hallo liebes Forum!
>
> Diese Aufgabe bereitet mir leichte Probleme, da wir in der
> Vorlesung nicht genau gesagt hatten wie man Wurzeln zieht.
Du solltest aber wissen, wie man Potenzen (mit ganzzahligen
Exponenten) in [mm] \IC [/mm] berechnet und wie man komplexe Gleichungen
löst (Gleichung in je eine Gleichung für die Realteile und
für die Imaginärteile zerlegen oder in eine für die Beträge
und eine für die Argumente).
> Im Internet hab ich zwar Formeln gefunden aber die halfen
> mir nicht weiter. Doch zu kubischer Ergänzung hab ich mich
> schon schlau gemacht, mal sehen obs richtig war ;).
> zu (a): [mm]z^4=-16 \gdw Z=\wurzel[4]{-16}[/mm]
Das kannst du natürlich nicht so stehen lassen. Die Glei-
chung hat 4 Lösungen, die alle angegeben werden müssen.
Mache für z einen Ansatz entweder in rechtwinkligen Koor-
dinaten:
$\ z\ =\ a+i*b$
oder in Polarkoordinaten:
$\ z\ =\ [mm] r*e^{i*\varphi}$
[/mm]
>
> zu (b): [mm]z^3+3z^2i-3z-i=8i[/mm]
> [mm](z+i)^3=8i[/mm]
Substituiere w:=z+i , bestimme alle möglichen Lösungen [mm] w_k [/mm] und
rechne dann zu den [mm] z_k [/mm] zurück.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
Leider hilft mir das alles nicht so richtig weiter. Ich fürchte ich habe das ganze Thema noch nicht richtig verstanden.
Vielleicht kann mir mal jemand die a) vorrechnen, dann kann ich die b) selber mal probieren.
Ich hab wohl irgendwas im Thema verpasst, ich kenne zwar die Darstellungen in Polarkooridnaten und so, aber habe leider keine Ahnung, was ich damit anfangen soll und potenziert in C hab ich auch noch nie...
Liebe Grüße
Angelnoir
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:39 Mi 19.01.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
wenn du deine komplexe Zahl in Polardarstellung hast dann kannst du sie mit einer Zahl $n$ potenzieren, indem du [mm] $r^{n}cis(\phi\cdot [/mm] n)$ berechnest. Also den Betrag potenzieren und den Winkel multiplizieren und dann wieder umrechnen in Normalform.
gruss
kushkush
|
|
|
| |
|
a) [mm] z^{4}=-16 [/mm]
zuerst umwandeln in polarform/trig. form: [mm] 16cis(\pi)
[/mm]
um alle wurzeln einer zahl zu finden gibts die formel von demoivre:
[mm] $r^{1/n}cis(\frac{\phi+2k\pi}{n}) [/mm] , k=0,1...n-1$
$ [mm] z_{1}=2cis(\frac{\pi}{4})
[/mm]
[mm] z_{2}=2cis(\pi)
[/mm]
[mm] z_{3}=2cis(\frac{5\pi}{4})
[/mm]
[mm] z_{4}=2cis(\frac{7\pi}{4})$ [/mm]
ah und wenn du mathe studierst dann schreib alles in der exponentialform auf, professoren geben gerne mal abzug wegen so was!
gruss
kushkush
|
|
|
|
