Wurzel aus Null = dopp.Nullst. < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:49 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Giraffe |
Hallo,
ich möchte wissen, wenn meine Fkt. heißt
[mm] f(x)=x^2
[/mm]
u. ich die Nullst. best. will, dann:
0 = [mm] =x^2
[/mm]
Nun kommt das Wurzelziehen u. auch gleich meine Frage: Es hat mir jemand gesagt, dass
- das Wurzelziehen aus einer pos. Zahl 2 Ergebnisse bringt
- das Wurzelziehen aus einer neg. Zahl 0 Ergebnisse bringt
und (jetzt kommts)
- das Wurzelziehen aus Null nur 1 Ergebniss bringt
Ich habe jetzt meine Zweifel, nachdem ich weiß, was eine doppelte Nullstelle ist.
Die o.g. Fkt hat nämlich den Berührpkt. im Ursprung u. somit eine dopp. Nullst.
heißt es dann
[mm] x_1 [/mm] =+0 =0
[mm] x_2 [/mm] =-0 =0
Danach ist dann ja die Auskunft eines MATHEMATIKERS, der da sagte: "Wurzel aus Null macht nur 1 Ergebnis" falsch. Und
Falschaussagen traue ich DEM nicht zu.
Wer kann Klärung u. Licht ins Dunkel bringen?
Sabine
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:11 Mo 24.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
> ich möchte wissen, wenn meine Fkt. heißt
> [mm]f(x)=x^2[/mm]
> u. ich die Nullst. best. will, dann:
> 0 = [mm]=x^2[/mm]
> Nun kommt das Wurzelziehen u. auch gleich meine Frage: Es
> hat mir jemand gesagt, dass
> - das Wurzelziehen aus einer pos. Zahl 2 Ergebnisse bringt
> - das Wurzelziehen aus einer neg. Zahl 0 Ergebnisse
> bringt
> und (jetzt kommts)
> - das Wurzelziehen aus Null nur 1 Ergebniss bringt
Das stimmt auch. Die beiden "verschiedenen" Lösungen +0 und -0 sind doch in Wirklichkeit ein und die selbe Zahl - nämlich Null.
> Ich habe jetzt meine Zweifel, nachdem ich weiß, was eine
> doppelte Nullstelle ist.
> Die o.g. Fkt hat nämlich den Berührpkt. im Ursprung u.
> somit eine dopp. Nullst.
> heißt es dann
> [mm]x_1[/mm] =+0 =0
> [mm]x_2[/mm] =-0 =0
> Danach ist dann ja die Auskunft eines MATHEMATIKERS, der
> da sagte: "Wurzel aus Null macht nur 1 Ergebnis" falsch.
> Und
> Falschaussagen traue ich DEM nicht zu.
> Wer kann Klärung u. Licht ins Dunkel bringen?
Alle Polynome mit mehreren Nullstellen kann man in Linearfaktoren zerlegen.
1. Beispiel: [mm] y=x^2-4x-5 [/mm] hat die Nullstellen -1 und 5 und kann deshalb auch geschrieben werden als
[mm] y=x^2-4x-5 [/mm] =(x+1)(x-5)
2. Beispiel: [mm] y=x^3-4x^2-5x [/mm] hat die Nullstellen 0, -1 und 5 und kann deshalb auch geschrieben werden als [mm] y=x^3-4x^2-5x=(x-0)(x+1)(x-5). [/mm] (An Stelle von (x-0) schreibt man in der Realität sicher einfach x).
3. Beispiel (jetzt kommts):
[mm] y=x^2-10x+25 [/mm] hat NUR die Nullstelle (als Berührungsstelle) x=5.
Bei einer Zerlegung in Linearfaktoren erhält man
[mm] y=x^2-10x+25 [/mm] =(x-5)(x-5). Weil der Linearfaktor (x-5) zweimal auftritt, spricht man eben von der zweifachen (oder doppelten) Nullstelle x=5.
Bei [mm] y=x^2 [/mm] ist die Linearfaktorzerlegung entsprechend
[mm] y=x^2=x*x [/mm] (oder ausführlicher) =(x-0)(x-0), deshalb ist die Null eine doppelte Nullstelle.
Ich hoffe, ich konnte etwas Licht ins Dunkel bringen.
Viele Grüße
Abakus
> Sabine
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:19 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Somebody |
> Alle Polynome mit mehreren Nullstellen kann man in
> Linearfaktoren zerlegen.
Ist dies nicht ein wenig sehr salopp formuliert? Zum Beispiel hat das Polynom [mm] $x^4-7x^3+13x^2-7x+12$ [/mm] mehrere Nullstellen (nämlich $x=3$ und $x=4$), ist aber nicht in Linearfaktoren zerlegbar. - Es lassen sich natürlich die Linearfaktoren $(x-3)$ und $(x-4)$ abspalten; ergibt [mm] $(x-3)(x-4)(x^2+1)$. [/mm] Der nach diesen Abspaltungen verbleibende quadratische Faktor [mm] $(x^2+1)$ [/mm] ist aber (in [mm] $\IR$) [/mm] nicht mehr in Linearfaktoren zerlegbar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Giraffe |
erstmal Danke, aber die Antw. auf die Frage, ob du das Dunkel erhellen konntest lautet leider ....... ich bin mir nicht sicher.
Ich: das Wurzelziehen aus Null ergibt nur 1 Ergebnis
Du: Ja, das ist richtig.
Später aber schreibst du auch, dass die Wurzel aus Null 2 Ergebnisse gibt: +0 und -0.
Also, was stimmt jetzt: Wurzel aus 0 gibt ein oder zwei Ergebnisse?
Ich habe eine Vermutg: Es stimmt irgendwie beides: Antw. 2 Ergebnisse, die immer ein u. dieselbe Zahl sind, deswegen 1 Ergebnis. So?
Aber, eine gute Nachricht habe ich noch: Ich wußte bis zu deiner Antw. nicht, was lineare Faktoren sind. Ich kenne sie vom Sehen u. was, dass die Nullst. sofort erkennbar sind, aber das sie lin.Fakt. heißen wußte ich nicht, also DANKE
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Hey!
> erstmal Danke, aber die Antw. auf die Frage, ob du das
> Dunkel erhellen konntest lautet leider ....... ich bin mir
> nicht sicher.
> Ich: das Wurzelziehen aus Null ergibt nur 1 Ergebnis
> Du: Ja, das ist richtig.
> Später aber schreibst du auch, dass die Wurzel aus Null 2
> Ergebnisse gibt: +0 und -0.
> Also, was stimmt jetzt: Wurzel aus 0 gibt ein oder zwei
> Ergebnisse?
> Ich habe eine Vermutg: Es stimmt irgendwie beides: Antw. 2
> Ergebnisse, die immer ein u. dieselbe Zahl sind, deswegen 1
> Ergebnis. So?
Es macht keinen Sinn +0 und -0 als zwei Ergebnisse zu bezeichnen, da +0=-0=0. Somit liegt im Endeffekt nur eine Zahl und damit nur ein Ergebnis vor.
Meiner Meinung nach solltest du dir auch nicht angewöhnen das "die Wurzel aus Null" zwei Ergebnisse liefert, damit könntest du später in der Oberstufe Probleme bekommen.
> Aber, eine gute Nachricht habe ich noch: Ich wußte bis zu
> deiner Antw. nicht, was lineare Faktoren sind. Ich kenne
> sie vom Sehen u. was, dass die Nullst. sofort erkennbar
> sind, aber das sie lin.Fakt. heißen wußte ich nicht, also
> DANKE
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Giraffe |
Sagt,
ist der Unterschied folgender:
vom reinen Rechnerischen her ergibt die Wurzel aus Null 1 Ergebnis.
Bei der Nullst.-Bestimmg. ist es aber wichtig, beide Ergebnisse zu nennen:
[mm] x_1 [/mm] = 0
[mm] x_2 [/mm] = 0
So vielleicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> vom reinen Rechnerischen her ergibt die Wurzel aus Null 1
> Ergebnis.
Richtig. Das Ergebnis aus [mm] $\sqrt{0}$ [/mm] ist eindeutig 0. Und das ist eben nur "eine" Zahl.
> Bei der Nullst.-Bestimmg. ist es aber wichtig, beide
> Ergebnisse zu nennen:
> [mm]x_1[/mm] = 0
> [mm]x_2[/mm] = 0
> So vielleicht?
Nein, auch nicht. [mm] $x^2=0$ [/mm] ergibt nur die Lösung $x=0$. Allerdings ist das, was du meinst dann: Es gibt eine doppelte Nulltselle, denn man kann [mm] $x^2=x*x$ [/mm] schreiben, und somit steht die 0 da als "zweifache" Nullstelle dar (s.h. Erklärung oben). Daraus weist du, dass der Graph die x-Achse dort berührt. Aber es gibt nur die eine Lösung für [mm] $x^2=0$.
[/mm]
Um nochmal auf den Gedanken des Mathematikers zu kommen:
In der Regel bekommst du beim "Wurzelziehen" nur eine Zahl heraus. Das Problem hierbei ist aber folgendes:
Geben wir uns mal eine "einfache" quadratische Funktion vor:
[mm] $x^2=4$. [/mm] Damit man jetzt nach x auflösen kann, "zieht man die Wurzel". Jetzt muss man aber aufpassen! x=2 ist nur die halbe Wahrheit, denn man kann ja genauso gut $x=-2$ wählen. Allgemein schreibt man es dann so:
[mm] $x^2=4 \gdw [/mm] |x|=2 [mm] \gdw [/mm] x=2 [mm] \vee [/mm] x=-2$
Was der Mathematiker also aussagen wollte:
[mm] $x^2=a$ [/mm] hat genau
1) Keine Lösung, wenn a<0
2) Eine Lösung, wenn a=0
3) Zwei Lösungen, falls a>0
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:13 Di 25.03.2008 | | Autor: | Giraffe |
Mensch Kinder, was soll ich sagen. Ich bin erst neu hier u. mir wurde schon soviel gehelfen. DANKE Koni.
Wie gut, dass ich Betragsstriche vor einer Woche kennengelernt habe, sonst hätte ich deine mathematisch perfekte Antw. nicht verstanden.
Ich kriege nicht nur Antworten sondern auch wirkl. viele Infos zu meinen Fragen, die das Lernen erst richtig intensivieren. Toll!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Mo 24.03.2008 | | Autor: | Giraffe |
Wo hast du so schnell die ganzen Nullst. her, zumindest von den ersten beiden Beispielen.
Gibt es da einen Trick?
Oder ist es klassisch mit quadrat. Ergänzg. od. pq-Formel geschehen?
Oder hat man nach 10 Jahren Mathe das irgendwann im Kopf?
Oder hast du an der Antw. mind. 30 Min. gesessen.
Wenn es einen Trick gibt, will ich den gern u. unbedingt wissen.
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Hallo Giraffe,
> Wo hast du so schnell die ganzen Nullst. her, zumindest von
> den ersten beiden Beispielen.
> Gibt es da einen Trick?
Bei Polynomen, deren Koeffizienten ganze Zahlen sind, kann man alle Teiler des Absolutgliedes dahingehend überprüfen, ob sie Nullstellen sind.
> Oder ist es klassisch mit quadrat. Ergänzg. od. pq-Formel
> geschehen?
> Oder hat man nach 10 Jahren Mathe das irgendwann im Kopf?
> Oder hast du an der Antw. mind. 30 Min. gesessen.
Na ja, als Mathe-Lehrer sollte man das ja können.
Außerdem geht das 2. Beispiel aus dem 1. Beispiel durch Multiplikation mit x hervor.
> Wenn es einen Trick gibt, will ich den gern u. unbedingt
> wissen.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:19 Di 25.03.2008 | | Autor: | Giraffe |
Und wieder etwas schlauer u. nächstes mal etwas schneller.
Fantastisch - danke
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