Wurzel auflösen < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe mal wieder ein Problem bei meinen Hausaufgaben.
Es geht um eine Extremwertaufgabe, die ich jetzt gar nicht erst abschreibe, weil mein Problem ganz wo anders liegt.
mit der Einsetzung der Nebenbedingungen in die Zielfunktion bekomme ich dies:
$ [mm] K=(\wurzel{14400+y^2}\cdot{}25000)+2400000-15000y [/mm] $
Um weiter zu rechnen, muss ich nun diese blöde Wurzel wegbekommen. Kann mir jemand erklären, wie ich das am einfachsten mache, sodass ich das auch bei anderen Aufgaben anwenden kann?
Natürlich könnte ich Die Wurzel durch [mm] (14400+y^2)^{1/2} [/mm] ersetzen, aber dann kommen ja weiter krumme Potenzen raus.
Also würde ich jetzt mit ^(1/2) rechnen, wäre dies so:
$ [mm] K=(14400+y^2)^{1/2}\cdot{}25000+2400000-15000y [/mm] $
$ [mm] K=(120+y^{5/2})\cdot{}25000+2400000-15000y [/mm] $
$ [mm] K=25000y^{5/2}-15000y+5400000 [/mm] $
Hier weiß ich dann nicht wie ich weiter rechnen sollte. Vor allem nach der Ableitung
$ [mm] K'=62500y^{3/2}-15000 [/mm] $
Wie könnte ich dann hier y gleich Null setzen?
Ich brauche eure Hilfe.
Vielen Dank schon jetzt!
LG TryingHard
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:36 Do 30.11.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Du musst bei der Zielfunktion die Kettenregel anwenden.
[u(v(x))]'=u'(v(x))*v'(x)
Hattet ihr die schon?
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> Hallo!
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> Du musst bei der Zielfunktion die Kettenregel anwenden.
> [u(v(x))]'=u'(v(x))*v'(x)
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> Hattet ihr die schon?
Die Kettenregel? Ich hatte doch schon alles so aufgelöst, dass nur noch Summen vorhanden waren. Aber die anzuwenden wäre glaube ich nicht das Problem. Hauptsächlich geht es mir darum wie ich die Wurzel auflöse.
Mache ich das so, wie ich es angefangen habe, aber wenn ja, wie mache ich dann weiter, oder gibt es einen noch ganz andere Lösung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:55 Do 30.11.2006 | | Autor: | Teufel |
Nunja, die Wurzel ist leider falsch aufgelöst! Wenn unter der Wurzel eine Summe steht, kann man da nicht vereinfachen (soweit ich weiß). Dehalb wäre die Kettenregel hier besser.
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Hi!
Also ich habe mal angefangen zu probieren mir der Kettenregel, aber irgendwie bekomme ich das nicht mit der Wurzel.
Ich schreibe mal, wie ich gerechnet habe und es wäre super wenn mir irgendwer meinen Fehler zeigen könnte:
[mm] K(y)=\wurzel{14400+y^2}\cdot{}25000+2400000-15000y
[/mm]
Bei der Kettenregel ist ja innere mal äußere Ableitung
$ [mm] K'(y)=2y\cdot{}\bruch{1}{2\cdot{}\wurzel{14400+y^2}}\cdot{}25000+\wurzel{14400+y^2}\cdot{}0-15000 [/mm] $
Das ist ja definitiv nicht richtig. Aber wieso? Ich kopiere meinen Lösung und probiere mit farben kenntlich zu machen, was ich warum gemacht habe, damit man mir auch dort direkt meinen Fehler zeigen kann:
$ K'(y)= 2y [mm] \cdot{}[green] \bruch{1}{2\cdot{}\wurzel{14400+y^2}}[/green] \cdot{}[blue] 25000+\wurzel{14400+y^2}\cdot{}0[/blue] [/mm] -15000 $
Ableitung von $ [mm] 14400+y^2 [/mm] $
Ableitung der äüßeren Funktion [mm] \wurzel{x} [/mm] . Davon die Ableitung ist [mm] \bruch{1}{2\wurzel{x}} [/mm]
Diesen Teil habe ich mit der Produktregel gerechnet.
Hier habe ich 2400000-15000y alleine Abgeleitet und einfach drann gehangen. Das bezweifel ich aber, dass das möglich ist.
Irgendwie wurden die Farben in der Funktion nicht übernommen. Ich hoffe es ist trotzdem erkenntlich.
Freue mich auch eure Hilfe!
LG TryingHard
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:08 Do 30.11.2006 | | Autor: | Teufel |
Die Ableitung ist richtig, obwohl du dir den Ausdruck mit mal 0 sparen kannst :)
[mm] f'(x)=\bruch{25000y}{\wurzel{14400+y²}}-15000.
[/mm]
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Hey!
Das ist ja super. Na, das mit der Null weiß ich, ich habe es nur zur besseren Nachvollziehung geschrieben, weil ich dachte, dass es nicht ganz richtig ist.
Jetzt Frage ich mich aber, wie ich das ganze gleich Null setzen kann um die Extrema zu bestimmen.
Beu Brüchen ist ja eigentlich immer nur der Zähler zu beachten, weil wenn der Zähler gleich Null ist der Bruch gleich Null ist. Aber hinter dem Bruch steht ja auch noch -15000. Wie muss ich nun vorgehen?
50000y-15000=0 kann ja nicht sein, weil das Ergebnis davon y=0,3 wäre, und das bei der Aufgabe als äußerst Unwahrscheinlich aussieht, oder doch?
Danke schon jetzt!
LG TryingHard
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:15 Do 30.11.2006 | | Autor: | Teufel |
Du solltest die Wurzel isolieren und dann die Gleichung quadrieren!
Also kurz gesagt: +15000, *den Wurzelausdruck, :15000, quadrieren.
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