Wurzel Rechnung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:33 Fr 07.01.2005 | | Autor: | stone-d |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wir schreiben am Mittwoch eine Klassenarbeit über Wurzeln, dazu habe ich folgende Fragen:
1. [mm] \wurzel{x²}=x
[/mm]
aber [mm] \wurzel{x³}=???
[/mm]
2. [mm] \wurzel{u²+2uv+v²}=???
[/mm]
3. Aufgabenstellung: Vereinfache die Terme durch Ausklammern
2 [mm] \wurzel{5} [/mm] - 3 [mm] \wurzel{2} [/mm] - [mm] \wurzel{5} [/mm] =???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:53 Fr 07.01.2005 | | Autor: | Andi |
Hallo stone-d,
zunächst einmal herzlich willkommen im Matheraum.
Auch wir hätten uns über eine kleine Begrüßung gefreut,
also nehm dir doch für dieses kleine Zeichen der Höflichkeit
bei deinen nächsten Beiträgen ein wenig Zeit.
> Wir schreiben am Mittwoch eine Klassenarbeit über Wurzeln,
> dazu habe ich folgende Fragen:
>
> 1. [mm]\wurzel{x²}=x [/mm]
Also ich finde es schon mal toll, dass du den Formeleditor benutzt hast.
Leider ist dir ein kleiner, oder sollte ich sagen großer Fehler unterlaufen und zwar: [mm]\wurzel{x^2}=|x| [/mm]
Dies sollte dir klar sein. Wenn nicht lies noch mal in deinem Buch nach und frage gebenenfalls nach.
> aber [mm]\wurzel{x³}=???
[/mm]
Vielleicht wird es ja klarer wenn ich den Radikanten ein wenig umschreibe.
[mm]\wurzel{x^3}=\wurzel{x^2*x}[/mm]
Kommst du nun weiter ?
> 2. [mm]\wurzel{u²+2uv+v²}=???
[/mm]
Hier haben wir eine Summe unter einer Wurzel, aus Summen kann man nicht Wuzel ziehen, also brauchen wir zunächst ein Produkt.
Welche Möglichkeiten fallen dir ein, eine Summe in ein Produkt zu verwandeln? Also oft kann man etwas ausklammern, oder eine Binomische Formel benutzen.
Es liegt hier eine Binomische Formel vor.
Erinnerst du dich? [mm] a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 [/mm]
Das bedeutet: [mm] \wurzel{u^2+2uv+v^2}=\wurzel{(u+v)^2}=?? [/mm]
Machst du den letzten Schritt bitte alleine und verrätst uns dein Ergebnis?
> 3. Aufgabenstellung: Vereinfache die Terme durch
> Ausklammern
> 2 [mm]\wurzel{5}[/mm] - 3 [mm]\wurzel{2}[/mm] - [mm]\wurzel{5}[/mm] =???
[mm]2*\wurzel{5}- 3*\wurzel{2}- \wurzel{5}=??? [/mm]
Also hier wüsste ich nicht was man großartig ausklammern soll.
Das einzige logische was ich sehe ist, dass man von den [mm] $2*\wurzel{5}$ [/mm] die eine [mm] $\wurzel{5}$ [/mm] abziehen kann, also:
[mm]2*\wurzel{5}- 3*\wurzel{2}- \wurzel{5}=\wurzel{5}- 3*\wurzel{2}[/mm]
Ich hoffe du meldest dich mit deinen Ergebnissen, und du kannst gerne noch zusätzliche Aufgaben welche du gelöst hast von uns Korrekturlesen lassen.
Mit freundlichen Grüßen,
Andi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:45 Fr 07.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Andi und stone-d,
> [mm]2*\wurzel{5}- 3*\wurzel{2}- \wurzel{5}=???[/mm]
>
> Also hier wüsste ich nicht was man großartig ausklammern
> soll.
> Das einzige logische was ich sehe ist, dass man von den
> [mm]2*\wurzel{5}[/mm] die eine [mm]\wurzel{5}[/mm] abziehen kann, also:
> [mm]2*\wurzel{5}- 3*\wurzel{2}- \wurzel{5}=\wurzel{5}- 3*\wurzel{2}[/mm]
Ja, ich denke, so ist die Aufgabe auch gemeint, und du klammerst ja eigentlich auch einmal aus  :
[mm]2*\wurzel{5}- 3*\wurzel{2}- \wurzel{5}=(2-1)*\wurzel{5}-3*\wurzel{2}=\wurzel{5}-3*\wurzel{2}[/mm]
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:34 Sa 08.01.2005 | | Autor: | stone-d |
Hi Marcel
auch dir danke das du meine Aufgabe gelöst und mir damit geholfen hast.
stone-d
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:29 Sa 08.01.2005 | | Autor: | stone-d |
Hi andi
ja, hätte ich tun sollen, das mit der Begrüßung. Mach ich auch sonst immer, ist mir wahrscheinlich diesmal nur entfallen, sorry!
1. Ich weiß, dass x positiv und neagtiv sein kann. Mir war nur nicht klar, wie man x³ in einer Wurzel ausrechnet. Aber jetzt habe ich es kapiert.
= [mm] \wurzel{x²*x}=x* \wurzel{x}
[/mm]
oder?
2. = [mm] \wurzel{(u+v)²}= \wurzel{u²+v²}=u+v
[/mm]
oder?
Danke für deine Hilfe
stone-d
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 So 09.01.2005 | | Autor: | stone-d |
hi
hier noch einmal ein paar Fragen zur Wurzelrechnung. Wie löse ich folgende Aufgaben:
1. Forme in einem Term ohne Wurzelzeichen um. Gib einschränkende Bedingungen an
[mm] (\wurzel{a+b})²
[/mm]
[mm] \wurzel{(a+b)²}
[/mm]
Gibt es bei dem Lösungsweg Unterschiede?
2. Forme so um, dass im Nenner keine Wurzeln mehr auftreten. Gib, falls nötig, einschränkende Bedingungen an.
[mm] \bruch{b}{a+ \wurzel{a²-b²}}
[/mm]
Vielen Dank für Eure Hilfe
stone-d
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Hast du keine eigenen Ansätz der den Aufgaben?
> 1. Forme in einem Term ohne Wurzelzeichen um. Gib
> einschränkende Bedingungen an
>
> [mm](\wurzel{a+b})²
[/mm]
>
> [mm]\wurzel{(a+b)²}
[/mm]
>
> Gibt es bei dem Lösungsweg Unterschiede?
Die Wurzel und das Quadrat heben sich gegenseitig auf., so dass nur noch [mm]a+b[/mm] übrigbleibt.
Einschränkung: das geht nur, wenn der Term unter der Wurzel [mm]\ge 0[/mm] ist, also [mm]a+b \ge 0[/mm]
> 2. Forme so um, dass im Nenner keine Wurzeln mehr
> auftreten. Gib, falls nötig, einschränkende Bedingungen
> an.
>
> [mm]\bruch{b}{a+ \wurzel{a²-b²}}
[/mm]
Wurzeln im Nenner bekommt man weg, indem man mit Hilfe der 3. Binomischen Formel erweitert. Ich geb dir mal ein Beispiel, und anhand dessen kannst du deine Aufgabe mal selber probieren:
[mm]\bruch{x}{1+\wurzel{x}} \cdot \bruch{1-\wurzel{x}}{1-\wurzel{x}}\ =\ \bruch{x \cdot (1-\wurzel{x})}{(1+\wurzel{x})\cdot (1-\wurzel{x})}\ =\ \bruch{x-x\wurzel{x}}{1-x}[/mm].
Einschränkungen gibt es hier auch: erstens darf der Term unter der Wurzel nicht negativ sein, zweitens darf der Nenner nicht =0 sein (was in deiner Aufgabe z.B. für [mm]b=0[/mm] und [mm]a=-1[/mm] der Fall wäre), und dasselbe gilt auch für den Term, mit dem du erweiterst: du musst darauf achten, nicht mit [mm]\bruch{0}{0}[/mm] zu erweitern.
So, jetzt bist du am Zug.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:50 So 09.01.2005 | | Autor: | Andi |
Hallo stone-d
> hier noch einmal ein paar Fragen zur Wurzelrechnung. Wie
> löse ich folgende Aufgaben:
>
> 1. Forme in einem Term ohne Wurzelzeichen um. Gib
> einschränkende Bedingungen an
>
> [mm](\wurzel{a+b})²[/mm]
> [mm]\wurzel{(a+b)²}[/mm]
Hier ist die Lösung:
[mm]\wurzel{(a+b)^2}=|a+b|[/mm]
Dann der Term (a+b) kann in diesem Fall auch negativ sein.
Mit freundlichen Grüßen,
Andi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 So 09.01.2005 | | Autor: | stone-d |
Hi Andi und e.kandrai
danke für eure Hilfe, aber,....
> > [mm](\wurzel{a+b})²[/mm]
>
> > [mm]\wurzel{(a+b)²}[/mm]
>
> Hier ist die Lösung:
> [mm]\wurzel{(a+b)^2}=|a+b|[/mm]
... gilt diese Lösung für beide Aufgaben?
[mm] \bruch{b}{a+ \wurzel{a²-b²}}=\bruch{b}{a+ \wurzel{a²-b²}}*\bruch{ \wurzel{a²+b²}}{ \wurzel{a²+b²}}= \bruch{b* \wurzel{a²+b²}}{a+ \wurzel{(a²-b²)*(a²+b²)}}= \bruch{b* \wurzel{a²+b²}}{a+(a²-b²)}
[/mm]
Ich weiß nicht genau, ob das richtig ist.
Danke das ihr immer so schnell antwortet
stone-d
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 So 09.01.2005 | | Autor: | Andi |
Hi Stone-d,
> > > [mm](\wurzel{a+b})²[/mm]
> >
> > > [mm]\wurzel{(a+b)²}[/mm]
> >
> > Hier ist die Lösung:
> > [mm]\wurzel{(a+b)^2}=|a+b|[/mm]
>
> ... gilt diese Lösung für beide Aufgaben?
Nein, der erste Term vereinfacht ergibt:
[mm] (\wurzel{(a+b)})^2=a+b[/mm]
Wobei dieser Term nur definiert ist wenn a+b größer oder gleich Null ist.
Da zuerst die Wurzel gezogen wird und das ja nur für Zahlen größer gleich Null erlaubt ist. Danach wird das Ergebnis quadriet.
Beim zweiten Fall wird zuerst quadriert. Durch das Quadrieren erhalten wir immer eine nichtnegative Zahl, aus der ich nun die Wurzel ziehe.
Darum darf a+b hier auch negativ sein.
Beispiel:
[mm] (\wurzel{-3})^2 [/mm] ist nicht definiert, da ich aus einer negativen Zahl nicht die Wurzel ziehen darf.
[mm] \wurzel{(-3)^2}=\wurzel{9}=3 [/mm]
Jetzt siehst du vielleicht warum wir im zweiten Term bei der Lösung die Betragsstriche setzen mussten.
Grundsätzlich gilt immer [mm] \wurzel{a^2}=|a| [/mm]
> [mm]\bruch{b}{a+ \wurzel{a²-b²}}=\bruch{b}{a+ \wurzel{a²-b²}}*\bruch{ \wurzel{a²+b²}}{ \wurzel{a²+b²}}= \bruch{b* \wurzel{a²+b²}}{a+ \wurzel{(a²-b²)*(a²+b²)}}= \bruch{b* \wurzel{a²+b²}}{a+(a²-b²)}
[/mm]
Hier hast du einen Fehler in deiner Rechnung und zwar musst du wenn du einen Bruch erweiterst den kompletten Nenner mit dieser Zahl malnehmen.
Also denk dir am besten immer eine Klammern um den Nenner.
[mm] \bruch{a+b}{c+d}*\bruch{e}{e}=\bruch{(a+b)*e}{(c+d)*e}=\bruch{a*e+b*e}{c*e+d*e}[/mm]
Beim Rational machen von Nennern führt meistens eine von den beiden folgenden Methoden zum Ziel.
[mm]\bruch{a}{\wurzel{b}}=\bruch{a}{\wurzel{b}}*\bruch{\wurzel{b}}{\wurzel{b}}=\bruch{a*\wurzel{b}}{b}[/mm]
Also wenn über dem Kompletten Nenner eine Wurzel steht, dann einfach mit dem Nenner erweitern.
[mm]\bruch{a}{b+\wurzel{c}}=\bruch{a}{b+\wurzel{c}}*\bruch{b-\wurzel{c}}{b-\wurzel{c}}=\bruch{a*(b-\wurzel{c})}{(b+\wurzel{c})*(b-\wurzel{c})}=\bruch{a*(b-\wurzel{c})}{b^2-c}[/mm]
Also wir haben den Bruch so erweitert, dass sich im Nenner die 3. Binomische Formel anwenden lies.
Willst du es noch mal versuchen ? *g*
Keine Angst, wir kriegen das Ergebnis heut schon noch raus.
Viel Spass noch,
Andi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 So 09.01.2005 | | Autor: | stone-d |
Hi Andi
ich glaub, jetzt habe ich es verstanden.
Also:
[mm] \bruch{b}{a+ \wurzel{a²-b²}}=\bruch{b}{(a+ \wurzel{a²-b²)}}* \bruch{(a+ \wurzel{a²+b²)}}{(a+\wurzel{a²+b²)}}= \bruch{b*(a+ \wurzel{a²+b²)}}{a²+ \wurzel{a^{4}-b^{4}}}=\bruch{b*(a+ \wurzel{a²+b²)}}{a²+a²-b²}
[/mm]
Hoffentlich ist es jetzt richtig.
Vielen vielen Dank für deine Hilfe
stone-d
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:45 So 09.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo stone-d,
das stimmt so leider nicht ...
> [mm]\bruch{b}{a+ \wurzel{a²-b²}} = \bruch{b}{(a+ \wurzel{a²-b²)}}* \bruch{(a+ \wurzel{a²+b²)}}{(a+\wurzel{a²+b²)}} = \bruch{b*(a+ \wurzel{a²+b²)}}{a²+ \wurzel{a^{4}-b^{4}}}= \bruch{b*(a+ \wurzel{a²+b²)}}{a²+a²-b²}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wir wollen ja die Wurzel aus dem Nenner entfernen und dabei die 3. binomische Formel anwenden: $(m+n)*(m-n) = [mm] m^2 [/mm] - [mm] n^2$
[/mm]
(Ich habe hier mal bewußt andere Buchstaben benutzt, um Verwechslungen in unserer Aufgabe zu vermeiden ...)
Für unserem Fall heißt das:
m = a
$n = [mm] \wurzel{a^2-b^2}$
[/mm]
Wir haben hier den Term $m [mm] \red{+} [/mm] n$.
Wir müssen also mit $m [mm] \red{-} [/mm] n$ erweitern.
[mm] $\bruch{b}{a + \wurzel{a^2-b^2}}$
[/mm]
$= [mm] \bruch{b}{a + \wurzel{a^2-b^2}}* \bruch{a \red{-} \wurzel{a^2-b^2}}{a \red{-}\wurzel{a^2-b^2}}$
[/mm]
$= [mm] \bruch{b*(a - \wurzel{a^2-b^2})}{a^2 - (\wurzel{a^2-b^2})^2}$
[/mm]
$= [mm] \bruch{b*(a - \wurzel{a^2-b^2})}{a^2 - (a^2-b^2)}$
[/mm]
$= [mm] \bruch{b*(a - \wurzel{a^2-b^2})}{a^2 - a^2+b^2}$
[/mm]
$= [mm] \bruch{b*(a - \wurzel{a^2-b^2})}{b^2}$
[/mm]
$= [mm] \bruch{a - \wurzel{a^2-b^2}}{b}$
[/mm]
Sieh' Dir das mal in Ruhe an und versuche das nachzuvollziehen.
Bei Rückfragen meldest Du dich noch mal ...
Grüße
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:05 Mo 10.01.2005 | | Autor: | stone-d |
Hallo Loddar
danke für deine Hilfe.
Hab die Aufgabe noch einmal gerechnet und dann kam das gleiche raus wie bei deiner Lösung.
stone-d
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:21 Mo 10.01.2005 | | Autor: | Andi |
Hallo stone-d,
zuächst möchte ich mich für die Mitarbeit bei deiner Übungsaufgabe bedanken, denn nur durch aktives Mitmachen können wir versuchen dir zu helfen. Da ich mir nicht sicher bin, ob du nun alles verstanden hast habe ich hier ein paar Aufgaben für dich. Selbst wenn du die Vorgehensweise schon verstanden hast wird dir diese kleine Übung auch nicht schaden.
Ich wünsch dir viel Spass und Erfolg mit den Aufgaben.
Mit freundlichen Grüßen,
Andi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 Di 11.01.2005 | | Autor: | stone-d |
Hallo,
so, das sind jetzt die letzten Fragen vor der morgigen Arbeit:
(ich möcht einfach nur wissen, ob dieses Beispiel stimmen)
1. [mm] \wurzel{a}+ \wurzel{b}= \wurzel{a+b} [/mm] ??
2. [mm] (\wurzel{a}+ \wurzel{b})²=a+b [/mm] ??
3. [mm] \wurzel{(ab)}²=ab [/mm] ??
4. [mm] \wurzel{(ab)²}=ab [/mm] Betrag (weiß nicht wie ich Betragstriche mache)
5. 3 [mm] \wurzel{7}+5 \wurzel{7}=(3+5) \wurzel{7}=8 \wurzel{7}
[/mm]
ist klar aber
3 [mm] \wurzel{7}*5 \wurzel{7}=(3*5) \wurzel{7}=15 \wurzel{7} [/mm] ??
Danke für eure Hilfe
wahrscheinlich werd ich heute Abend noch etwas im Buch finden, was ich nicht verstehe, also stellt euch schon mal auf ein paar Notfall Nachrichten heute Abend ein...
stone-d
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:57 Di 11.01.2005 | | Autor: | Andi |
Hallo stone-d,
> so, das sind jetzt die letzten Fragen vor der morgigen
> Arbeit:
Beim nächsten mal stelle doch bitte neue Fragen in einen Neuen Strang.
> (ich möcht einfach nur wissen, ob dieses Beispiel
> stimmen)
>
> 1. [mm]\wurzel{a}+ \wurzel{b}= \wurzel{a+b}[/mm] ??
Auf keinen Fall. Mach das bitte morgen nicht im Test. Das ist Falsch!!!!!
Beispiel:
[mm] \wurzel{9}+\wurzel{16}= 3+4=7 [/mm]
[mm] \wurzel{9+16}=\wurzel{25}=5 [/mm]
[mm] 7 \not= 5 [/mm]
> 2. [mm](\wurzel{a}+ \wurzel{b})²=a+b[/mm] ??
Das ist auch falsch. Du musst hier die erste Binomische Formel anwenden:
[mm] (\wurzel{a}+ \wurzel{b})²=(\wurzel{a})^2+2*\wurzel{a}*\wurzel{b}+(\wurzel{b})^2=a+2*\wurzel{a}*\wurzel{b}+b [/mm]
> 3. [mm]\wurzel{(ab)}²=ab[/mm] ??
Das stimmt.
> 4. [mm]\wurzel{(ab)²}=ab[/mm] Betrag (weiß nicht wie ich
> Betragstriche mache)
Das ist auch richtig. Aber vergess die Betragsstriche nicht.
[mm]\wurzel{(ab)²}= |ab|[/mm]
> 5. 3 [mm]\wurzel{7}+5 \wurzel{7}=(3+5) \wurzel{7}=8 \wurzel{7}
[/mm]
>
> ist klar aber
> [mm]3\wurzel{7}*5 \wurzel{7}=(3*5) \wurzel{7}=15 \wurzel{7}[/mm]
Das ist falsch. Schau her:
[mm] 3\wurzel{7}*5 \wurzel{7}[/mm]
Das ist ein reines Produkt. In einem reinen Produkt darfst du das Kommutativgesetz anwenden, d.h. du darst die einzelnen Faktoren vertauschen:
[mm]3\wurzel{7}*5 \wurzel{7}=3*5*\wurzel{7}*\wurzel{7} [/mm]
Und jetzt ist es ja denk ich klar:
[mm]3*5*(\wurzel{7})^2=3*5*7=105[/mm]
Wenn in solchen Aufgaben nur Zahlen vorkommen, kannst du ja mit dem Taschenrechner mal ausprobieren ob deine Gleichung stimmt.
Das heißt einfach die Rechte und die Linke Seite Ausrechnen und dann vergleichen.
Mit freundlichen Grüßen,
Andi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:15 Mo 17.01.2005 | | Autor: | stone-d |
Hallo
ich wollte mich für eure Hilfe bedanken.
Vielen vielen Dank!!!
Ich hab ne 2+ in der Arbeit!!!!
Die nächste Arbeit ist über Wahrscheinlichkeiten, da habe ich aber keine Probleme.
stone-d
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:55 Mo 17.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo stone-d!
> Ich hab ne 2+ in der Arbeit!!!!
![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]") Weiter so ...
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binomische Formel![[respekt2]](/images/smileys/respekt2.gif "[respekt2]"){kind=small}
![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]"){kind=small}
