Wurzel- u. Quotientenkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zu untersuchen ist die Reihe
[mm] $$\summe_{n=1}^{\infty}\frac{2+(-1)^n}{2^n}$$
[/mm]
Was ergibt die Anwendung des Quotientenkriteriums, was die Anwendung des Wurzelkriteriums hinsichtlich der Konvergenzfrage ? |
Hallo,
hier mal meine Argumentation.
(a) Wurzelkriterium:
[mm] $\sqrt[n]{|\frac{2+(-1)^n}{2^n}|}=\frac{\sqrt[n]{2+(-1)^n}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt[n]{2+(-1)^n}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2}\sqrt[n]{2+(-1)^n}=\frac{1}{2}<1\Rightarrow$ [/mm] Die Reihe ist konvergent.
(b) Quotientenkriterium:
[mm] $|\frac{a_{n+1}}{a_n}|$ [/mm] Ich kürze hier die Rechenschritte mal raus. Habe es mehrmals überprüft und die Rechnung sollte stimmen.
[mm] $=|\frac{(-1)^{n+1}+2}{2((-1)^n+2)}|$
[/mm]
[mm] $=\frac{|(-1)^{n+1}+2|}{|2(-1)^n+2|}$
[/mm]
[mm] $\le\frac{|(-1)^{n+1}|+|2|}{|2(-1)^n|+|2|}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{|(-1)^{n+1}|+|2|}{|2(-1)^n|+|2|}=\frac{3}{4}<1\Rightarrow$ [/mm] Die Reihe ist konvergent.
Also liefern beide, dass die Reihe konvergent ist. Ist das korrekt oder haben sich Fehler eingeschlichen?
Viele Grüße
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Hallo lord.garbage,
> Zu untersuchen ist die Reihe
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\frac{2+(-1)^n}{2^n}[/mm]
>
> Was ergibt die Anwendung des Quotientenkriteriums, was die
> Anwendung des Wurzelkriteriums hinsichtlich der
> Konvergenzfrage ?
> Hallo,
>
> hier mal meine Argumentation.
>
> (a) Wurzelkriterium:
>
> [mm]\sqrt[n]{|\frac{2+(-1)^n}{2^n}|}=\frac{\sqrt[n]{2+(-1)^n}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt[n]{2+(-1)^n}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2}\sqrt[n]{2+(-1)^n}=\frac{1}{2}<1\Rightarrow[/mm]
> Die Reihe ist konvergent.
Genauer ist der [mm]\limsup[/mm] zu berechnen, aber der ist auch [mm]\frac{1}{2}[/mm], also stimmt die Aussage der (absoluten) Konvergenz.
>
> (b) Quotientenkriterium:
>
> [mm]|\frac{a_{n+1}}{a_n}|[/mm] Ich kürze hier die Rechenschritte
> mal raus. Habe es mehrmals überprüft und die Rechnung
> sollte stimmen.
>
> [mm]=|\frac{(-1)^{n+1}+2}{2((-1)^n+2)}|[/mm]
>
> [mm]=\frac{|(-1)^{n+1}+2|}{|2(-1)^n+2|}[/mm]
>
> [mm]\le\frac{|(-1)^{n+1}|+|2|}{|2(-1)^n|+|2|}[/mm]
Das stimmt doch nicht, wenn du die [mm]\Delta[/mm]-Ungleichung im Nenner anwendest, ihn also vergrößerst, wird der Bruch doch nicht größer ...
>
> [mm]\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{|(-1)^{n+1}|+|2|}{|2(-1)^n|+|2|}=\frac{3}{4}<1\Rightarrow[/mm]
> Die Reihe ist konvergent.
>
> Also liefern beide, dass die Reihe konvergent ist. Ist das
> korrekt oder haben sich Fehler eingeschlichen?
Nach dem Kürzen hat man [mm]\frac{1}{2}\cdot{}\left(\frac{2+(-1)^{n+1}}{2+(-1)^n}\right)[/mm]
Nun schaue mal, was für gerade und ungerade n hier passiert ...
>
> Viele Grüße
LG
schachuzipus
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Hallo schachuzipus,
genau das hatte ich mich nämlich auch gefragt. Also für ungerade $n$ erhalten wir [mm] $\frac{3}{2}$ [/mm] und für gerade $n$ erhalten wir [mm] $\frac{1}{6}$. [/mm] Dann wäre die Folge für ungerade $n$ nicht konvergent und für gerade $n$ konvergent. Also würde ich argumentieren, dass uns in diesem Fall das Quotientenkriterium keine Aussage über die Konvergenz erlaubt, oder?
Grüße
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> Also für
> ungerade [mm]n[/mm] erhalten wir [mm]\frac{3}{2}[/mm] und für gerade [mm]n[/mm]
> erhalten wir [mm]\frac{1}{6}[/mm]. Dann wäre die Folge für
> ungerade [mm]n[/mm] nicht konvergent und für gerade [mm]n[/mm] konvergent.
> Also würde ich argumentieren, dass uns in diesem Fall das
> Quotientenkriterium keine Aussage über die Konvergenz
> erlaubt, oder?
Hallo,
Deine Argumentation ist wurmstichig:
1.
Wenn (!) das Quotientenkriterium Dir sagt, daß die ungerade Teilfolge divergiert und die gerade konvergiert, dann hilft es bei einer sehr genauen Aussage über die Konvergenz der Reihe: sie konvergiert nicht.
(Zwei Teilfolgen einer konvergenten Reihen konvergieren immer, und zwar gegen denselben Grenzwert)
2.
Wenn (!) das Quotientenkriterium Dir sagt, daß die ungerade Teilfolge divergiert und die gerade konvergiert, dann divergiert die Reihe, folglich müßte beim Wurzelkriterium, welches Dir Konvergenz mitteilt, etwas schiefgelaufen sein.
3.
Wenn(!) Du mithilfe des Quotientenkriteriums etwas über die gerade und ungerade Teilfolge herausfinden wolltest, so würdest Du doch den Quotienten jeweils nur aus Gliedern der geraden oder der ungeraden Folge bilden, aber doch nicht gemischt.
Du solltest merken, daß Deine Argumentation so, wie sie dasteht, nicht stimmen kann.
Du hast aber trotzdem alles herausgefunden, was man benötigt:
für ungerade n ist der Quotient [mm] \ge [/mm] 1, für gerade <1.
Jetzt laß mal jegliche eigenen Fantasien fort, frag das Quotientenkriterium (im Originalton, keine Nacherzählung, keine Eigeninterpretation!), entscheide, ob es Dir Konvergenz bestätigt, entscheide, ob es Dir Divergenz bestätigt.
Nichts von beidem tut es, also kannst Du mithilfe des Kriteriums keine Aussage über Konvergenz treffen.
Das hattest Du oben auch schon geschrieben, aber die Argumentation stimmte nicht.
LG Angela
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