Würfelwkt für Experten < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:56 Sa 15.11.2008 | | Autor: | HarryIII |
| Aufgabe | | Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter n Würfen (idealer Würfel), MIN. einne Zahl NICHT erscheint ? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
!!!Die Frage klingt viel einfacher als sie ist!!!
konkreter :
wieviel Würfe (von [mm] 6^n) [/mm] haben höchstens 5 verschiedene Zahlen?
Wie kann ich das bitte berechnen?
ich habe mir viele möglichkeiten bereitgestellt, doch immer komm ich auf probleme des Schnitts (abhängigkeit).
Ich versuche auch das Gegenereigniss festzulegen,
komme aber auch hier wegen formulierungsschwierigkeiten ins holpern.
Ist das gegenereignis wirklich :
unter n würfen , nie ALLE zahlen gewürfelt zu haben?
HILFE!
lg
Harry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:04 Sa 15.11.2008 | | Autor: | HarryIII |
Ich hab versucht, die Wahrscheinlichkeit über die summe von bernuliiereignissen zu berechnen.. :
[mm] \summe_{i=1}^{5} \vektor{i \\ 5}* \bruch{i}{6}^{n}
[/mm]
Diese fkt kommt zwar eigentlich gut hin, doch dann wiederspricht sich bei mir die wahrscheinlichkeit, dass bei 6 würfen NICHT alle Zahlen getroffen werden, = 98,456790
mit der summe für n = 6 = 94,393004
wer kann helfen ??
ist eins dieser ergebnisse richtig ?
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Nehmen wir mal an, es wird ein Probewurf vorweg gemacht. Die geworfene Zahl a soll dann aber nicht mehr vorkommen.
Dann ist die Wahrscheinlichkeit bei jedem der folgenden n Würfe, dass er nicht a zeigt, [mm] \bruch{5}{6}.
[/mm]
Also ist [mm] p=\left(\bruch{5}{6}\right)^n
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:15 Sa 15.11.2008 | | Autor: | HarryIII |
Dies ist ja wohl selbstverständlich, wie ich auch schon in meinem versuch angedeutet habe,
aber es beantwortet noch lange nicht die ´frage!
wir suchen schließlich die wahrscheinlichkeit, dass MINDESTENS eine zahl nie auftritt
also eigentlich könnte man alle [mm] 6^n [/mm] möglichkeiten abzählen und schauen, in welchen dieser würfe maximal 5 verschiedene zahlen vorkommen (egal welche spezielle es ist!)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:05 Sa 15.11.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin Karol,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Dies ist ja wohl selbstverständlich, wie ich auch schon in
> meinem versuch angedeutet habe,
Bitte nicht so pampig!
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:15 Sa 15.11.2008 | | Autor: | reverend |
Ja, das kannst du machen. Nur wird Dein Ergebnis kein anderes sein. Auch in den von mir erfassten Fällen sind die erhalten, die Dir noch zu fehlen scheinen.
Leider hilft hier ja keine Wertetabelle für eine kleine Zahl von Würfen. Dass bei drei Würfen noch nicht alle sechs Zahlen gefallen sein können, ist ja selbstverständlich. Deswegen ist meine Lösung eigentlich auch erst ab n=6 gültig, und da hätte die noch wenig aussagekräftige Wertetabelle schon 46656 Einträge.
Im übrigen tut es mir leid, wenn Du meine Antwort selbstverständlich findest und daraus liest, ich wolle Dir Einfalt unterstellen. Viele der Fragen hier sind eigentlich einfach, weil jeder halt mal den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr sieht. Bei anderen Fragen ist dann wieder kein einziger Baum in Reichweite...
Also, ich denke, ich habe die Wahrscheinlichkeit für n>5 richtig bestimmt, bin aber immer für Gegenargumente offen. Deins ist noch keins, auch jede Folge von z.B. Einsern, Zweiern und Vierern ist ja in meinen Ergebnissen enthalten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:27 Sa 15.11.2008 | | Autor: | abakus |
Hallo,
dass in n Würfen mindestens eine Zahl nicht geworfen wird, kann in folgende (sich nicht überschneidende) Teilereignisse zerlegt werden:
A: Genau eine Zahl wird nicht geworfen.
B: Genau zwei Zahlen werden nicht geworfen
C: ...
D: ...
E: Genau 5 Zahlen werden nicht geworfen.
P(A)= 6* [mm] (5/6)^n [/mm] (Jede der 6 Zahlen könnte die sein, die nicht geworfen wird).
[mm] P(B)=15*(4/6)^n [/mm] (Es gibt 15 zweielementige Teilmengen aus der Menge der Würfelzahlen, die nicht gewürfelten Zahlen könnten also sein 1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 1-6, 2-3, 2-4, ...,5-6).
[mm] P(C)=20*(3/6)^n [/mm] (Es gibt 20 Auswahlen "4 aus 6".)
[mm] P(D)=15*(2/6)^n
[/mm]
[mm] P(E)=6*(1/6)^n.
[/mm]
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:51 Sa 15.11.2008 | | Autor: | reverend |
Das sieht gut aus, abakus, ist es aber nicht. Die Ereignisse überschneiden sich, z.T. erheblich. Schon in deinem ersten sich nicht nur alle weiteren enthalten, sondern viele sogar doppelt.
So ergäbe sich bei 6 Würfen (n=6)
[mm] p_6(A):6*\left(\bruch{5}{6}\right)^n=\bruch{5^6}{6^5}=2,009...
[/mm]
Das finde ich eine ziemlich hohe Wahrscheinlichkeit, geradezu unwahrscheinlich hoch 
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:03 Sa 15.11.2008 | | Autor: | reverend |
Je länger ich drüber nachdenke, um so mühsamer wird die Aufgabe.
Meine angegebene Lösung hat einen Haken, wie sich bei einem Blick auf die Gegenereignisse bzw. ungünstigen Ereignisse zeigt.
Betrachten wir den kleinstmöglichen Fall, 6 Würfe. Es gibt insgesamt [mm] 6^6 [/mm] Möglichkeiten.
Die Möglichkeiten, dass alle Augenzahlen vorkommen, sind allerdings nur 6!=720
Also ist das gesuchte [mm] p_6=1-\bruch{6!}{6^6}=\bruch{45936}{46656}\not=\bruch{5^6}{6^6}=\bruch{15625}{46656}
[/mm]
Das gleiche für 7 Würfe. Wenn alle Zahlen vorkommen müssen, muss genau eine der 6 Zahlen doppelt sein. Dieses Paar kann an [mm] \vektor{6 \\ 2} [/mm] Positionen vorkommen, die übrigen 5 haben 5! mögliche Anordnungen.
Also ist das gesuchte
[mm] p_7=1-\bruch{6*15*5!}{6^7}=\bruch{269136}{279936}\not=\bruch{5^7}{6^7}=\bruch{78125}{279936}
[/mm]
Genug, um zu zweifeln.
Was ist also eine geschlossene bzw. explizite Darstellung für das gesuchte [mm] p_n?
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:39 Sa 15.11.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin reverend,
>
> Betrachten wir den kleinstmöglichen Fall, 6 Würfe. Es gibt
> insgesamt [mm]6^6[/mm] Möglichkeiten.
> Die Möglichkeiten, dass alle Augenzahlen vorkommen, sind
> allerdings nur 6!=720
> Also ist das gesuchte
> [mm]p_6=1-\bruch{6!}{6^6}=\bruch{45936}{46656}\not=\bruch{5^6}{6^6}=\bruch{15625}{46656}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das verstehe ich.
>
> Das gleiche für 7 Würfe. Wenn alle Zahlen vorkommen müssen,
> muss genau eine der 6 Zahlen doppelt sein. Dieses Paar kann
> an [mm]\vektor{6 \\ 2}[/mm] Positionen vorkommen, die übrigen 5
> haben 5! mögliche Anordnungen.
> Also ist das gesuchte
>
> [mm]p_7=1-\bruch{6*15*5!}{6^7}=\bruch{269136}{279936}\not=\bruch{5^7}{6^7}=\bruch{78125}{279936}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das verstehe ich nicht. M.E. kann das Paar an [mm] \binom{7}{2}=21 [/mm] Positionen stehen. Mit deinem Ansatz erhalte ich so
[mm]p_7=1-\bruch{6*21*5!}{6^7}=\bruch{613}{648}[/mm].
>
> Genug, um zu zweifeln.
> Was ist also eine geschlossene bzw. explizite Darstellung
> für das gesuchte [mm]p_n?[/mm]
Sei [mm] $A_i$ [/mm] das Ereignis, dass Augenzahl $i$ *nicht* gewuerfelt wird.
Gesucht ist [mm] $p_n=P(A_1\cup A_2\cup\dots\cup A_6)$. [/mm] Nach einer alten
Bauernregel ist sie gegeben durch
[mm] $\sum_i P(A_i)-\sum\sum_{i
(Beachte: [mm] $P(A_1\cap A_2\cap\dots\cap A_6)=0$)
[/mm]
Das Ereignis [mm] $A_{i_1}\cap\dots\cap A_{i_k}$ [/mm] bedeutet, dass die
Augenzahlen [mm] $i_1,\dots,i_k$ [/mm] nicht geworfen werden. Die Wsk hierfuer ist
[mm] $(6-k)/6^n$. [/mm] Somit erhalte ich
[mm] $p_n=6\left(\dfrac{5}{6}\right)^n- 15\left(\dfrac{4}{6}\right)^n [/mm] + [mm] 20\left(\dfrac{3}{6}\right)^n [/mm] - [mm] 15\left(\dfrac{2}{6}\right)^n [/mm] + [mm] 6\left(\dfrac{1}{6}\right)^n [/mm] $.
Fuer n = 6 oder 7 stimmt dies mit den Ergebnisse oben ueberein.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:14 So 16.11.2008 | | Autor: | reverend |
Stimmt. Danke für die Korrektur, Luis.
Sobald man "zu Fuß" Wahrscheinlichkeiten katalogisiert, ist die Fehlerquote erschreckend hoch. Zu meinem tiefen Bedauern mache ich da überhaupt keine Ausnahme. Die "Bauernregel" war mir übrigens nicht mehr geläufig, und dürfte für das gemeine Landvolk auch nicht handhabbar genug sein.
Ich gehe die Lösung mal durchkauen.
Nebenbei:
> Das Ereignis [mm]A_{i_1}\cap\dots\cap A_{i_k}[/mm] bedeutet, dass die
> Augenzahlen [mm]i_1,\dots,i_k[/mm] nicht geworfen werden. Die Wsk
> hierfuer ist [mm]\red{(6-k)/6^n}[/mm]. Somit...
Müsste das nicht [mm]\blue{\left(\bruch{6-k}{6}\right)^{n}}[/mm] sein?
Dann verstünde ichs leichter.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:29 So 16.11.2008 | | Autor: | luis52 |
> Stimmt. Danke für die Korrektur, Luis.
>
> Sobald man "zu Fuß" Wahrscheinlichkeiten katalogisiert, ist
> die Fehlerquote erschreckend hoch. Zu meinem tiefen
> Bedauern mache ich da überhaupt keine Ausnahme. Die
> "Bauernregel" war mir übrigens nicht mehr geläufig, und
> dürfte für das gemeine Landvolk auch nicht handhabbar genug
> sein.
>
Das ist die Siebformel, siehe z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier.
> Ich gehe die Lösung mal durchkauen.
>
> Nebenbei:
> > Das Ereignis [mm]A_{i_1}\cap\dots\cap A_{i_k}[/mm] bedeutet, dass
> die
> > Augenzahlen [mm]i_1,\dots,i_k[/mm] nicht geworfen werden. Die Wsk
> > hierfuer ist [mm]\red{(6-k)/6^n}[/mm]. Somit...
>
> Müsste das nicht [mm]\blue{\left(\bruch{6-k}{6}\right)^{n}}[/mm]
> sein?
Ja, du hast Recht. Aber in der Formel spaeter ist das dann korrekt.
>
> Dann verstünde ichs leichter.
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