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| Aufgabe | Gegeben sei der Würfel mit den Ecken
(1,1,1), (-1,1,1), (1-1,1), (-1,-1,1),
(1,1,-1), (-1,1-1), (1,-1,-1),(-1,-1,-1)
sowie die Punkte
A=(1, a,-1), B=(b, 1,-1), C=(-1,-a,1), D=(-b,-1,1)
a) Für welche Werte a,b liegen A,B,C,D in einer Ebene?
b) Für welche dieser a, b ist das ebene Viereck gleichseitig?
c) Welches dieser gleichseitigen Vierecke hat minimalen Flächeninhalt? Welchen Wert hat dieser?
d) Um was für spezielle Vierecke handelt es sich bei den gleichseitigen Vierecken mit minimalem Flächeninhalt? |
ich will nicht unbedingt die aufgaben lösen. ich will nur wissen wie man sie löst.
a) hier hätte ich die determinante aus den vier Punkten berechnen. Dann hätte ich eine gleichung mit a und b. diese hätte ich so gewählt, das die determinante 0 ist
linearkombination würde auch gehen oder?
[mm] A=\alpha*B+\beta*C+\gamma*D
[/mm]
b) verstehe ich nicht ganz. Da steht "Für welche dieser a, b..."
heißt das ich brauche hier die werte für a und b, die ich aus aufg. a) berechnet habe? ich habe aufg. b) so verstanden, dass ich a und b so bestimmen soll, das ich ein gleichseitiges viereck habe.
das hätte ich dann so bestimmt
[mm] \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}
[/mm]
ich hätte a und b so gewählt, dass die gleichung passt
sind die ansätze richtig?
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> Gegeben sei der Würfel mit den Ecken
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> (1,1,1), (-1,1,1), (1-1,1), (-1,-1,1),
>
> (1,1,-1), (-1,1-1), (1,-1,-1),(-1,-1,-1)
>
> sowie die Punkte
>
> A=(1, a,-1), B=(b, 1,-1), C=(-1,-a,1), D=(-b,-1,1)
>
> a) Für welche Werte a,b liegen A,B,C,D in einer Ebene?
>
> b) Für welche dieser a, b ist das ebene Viereck
> gleichseitig?
>
> c) Welches dieser gleichseitigen Vierecke hat minimalen
> Flächeninhalt? Welchen Wert hat dieser?
>
> d) Um was für spezielle Vierecke handelt es sich bei den
> gleichseitigen Vierecken mit minimalem Flächeninhalt?
>
> ich will nicht unbedingt die aufgaben lösen. ich will nur
> wissen wie man sie löst.
>
> a) hier hätte ich die determinante aus den vier Punkten
> berechnen.
Hallo,
was meinst Du damit?
Welche Determinante willst Du berechnen?
Schreib sie doch mal hin - so kann ich mir keinen Reim drauf machen.
> Dann hätte ich eine gleichung mit a und b.
> diese hätte ich so gewählt, das die determinante 0 ist
>
> linearkombination würde auch gehen oder?
Ja, wenn man die richtige Linearkombination anschaut.
>
> [mm]A=\alpha*B+\beta*C+\gamma*D[/mm]
Nein, so klappt das nicht.
Nach dieser Idee würde ja [mm] P_4(4|4|4) [/mm] in derselben Ebene liegen wie [mm] P_1(1|0|0), P_2(0|1|0), P_3(0|0|1).
[/mm]
Du kannst aber die Ebenengleichung aus dreien der Punkte aufstellen und gucken, ob der vierte Punkt in der Ebene liegt.
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> b) verstehe ich nicht ganz. Da steht "Für welche dieser a,
> b..."
> heißt das ich brauche hier die werte für a und b, die
> ich aus aufg. a) berechnet habe?
Wenn sie nicht in einer Ebene liegen, kann's ja kein ebenes Viereck sein.
In Aufgabe a) hast Du geschaut, wie a, b sein müssen, damit die Punkte in einer Ebene sind. In b) schaust Du nun nur die Punkte an, die in einer Ebene liegen und guckst, für welche a,b sie ein Viereck mit gleichlangen Seiten bilden.
> ich habe aufg. b) so
> verstanden, dass ich a und b so bestimmen soll, das ich ein
> gleichseitiges viereck habe.
Ja.
>
> das hätte ich dann so bestimmt
>
> [mm]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}[/mm]
Mach Dir erstmal eine Skizze, in welche Du die Pfeile einträgst.
Ganz sicher müssen und können nicht alle die Pfeile, die Du benennst, gleich sein.
Du solltest auch eher die Pfeillängen betrachten...
LG Angela
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> ich hätte a und b so gewählt, dass die gleichung passt
>
> sind die ansätze richtig?
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hallo,
> Nein, so klappt das nicht.
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> Nach dieser Idee würde ja [mm]P_4(4|4|4) [/mm] in derselben Ebene
> liegen wie [mm]P_1(1|0|0), P_2(0|1|0), P_3(0|0|1).[/mm]
dann ist der ansatz hier im video falsch oder? https://www.youtube.com/watch?v=LLRKhOrGfMg
der ansatz wäre richtig, wenn die vektoren im [mm] \IR^4 [/mm] sind
wenn ich drei vektoren hätte, dann würde das so gehen oder? also
[mm] A=\alpha*B+\beta*C
[/mm]
A,B,C [mm] \in \IR^3
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:57 Sa 26.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> hallo,
>
> > Nein, so klappt das nicht.
> >
> > Nach dieser Idee würde ja [mm]P_4(4|4|4) [/mm] in derselben Ebene
> > liegen wie [mm]P_1(1|0|0), P_2(0|1|0), P_3(0|0|1).[/mm]
>
> dann ist der ansatz hier im video falsch oder?
> https://www.youtube.com/watch?v=LLRKhOrGfMg
Nein, du hast es nur falsch verstanden. Im Video ist von der linearen Abhängigkeit von Vektoren die Rede.
Du nimmst in deinem Ansatz an, die Punkte würden in einer Ebene liegen, wenn ihre vier Ortsvektoren linear abhängig sind - das ist grundfalsch und Angela hat dir da schon ein Gegenbeispiel gegeben.
Vielmehr musst du, wenn du nicht angela's Weg mit der Ebenengleichung folgen möchtest, drei Vektoren aus den drei Punkten bilden, etwa [mm] $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ [/mm] und [mm] $\overrightarrow{AD}$. [/mm] Wenn diese linear abhängig sind, dann sind die vier Punkte komplanar.
ad b) Einer deiner Vektoren ist hier falsch - Skizze anfertigen. Außerdem müssen keinesfalls die von dir angegeben Vektoren gleich sein, nur ihre Beträge! Und ja, da es sich um ein ebenes Viereck handeln soll, wirst du den Zusammenhang zwischen a und b, den du in a) finden wirst, auch hier in b) verwenden.
>
> der ansatz wäre richtig, wenn die vektoren im [mm]\IR^4[/mm] sind
diesen deinen Ausflug in die vierte Dimension muss ich jetzt aber hoffentlich nicht verstehen.
> wenn ich drei vektoren hätte, dann würde das so gehen
> oder? also
>
> [mm]A=\alpha*B+\beta*C[/mm]
>
> A,B,C [mm]\in \IR^3[/mm]
>
Keine Ahnung was genau du da im Schilde führst. Jedenfalls ist die Untersuchung der Ortsvektoren deiner Punkte auf lineare Abhängigkeit Unfug.
Zur erneuten Erläuterung: Drei Punkte, die ein echtes, nicht entartetes Dreieck bilden, legen doch in jedem Fall eine Ebene fest. Ihre drei Ortsvektoren werden aber in der Regel nicht linear abhängig sein (es sei denn, die aufgespannte Ebene verläuft zufälligerweise durch den Ursprung).
Na, und vier Vektoren im Raum sind ja immer linear abhängig!
Gruß RMix
P.S.: Wieso hat der Thread eigentlich den Betreff "Würfel"?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:34 Sa 26.07.2014 | | Autor: | arbeitsamt |
aso ich habe lineare abhängigkeit mit in der ebene liegen verwechselt
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> aso ich habe lineare abhängigkeit mit in der ebene liegen
> verwechselt
Hallo,
das, was Du im Eingangspost tun wolltest, hatte - wie viele Gerüchte - alles einen wahren Kern.
Dein Fehler: Du hast Vorgehensweisen, die für Vektoren richtig sind, auf Punkte des Raumes angewendet.
Zum Beispiel:
wenn man wissen will, ob drei Vektoren des [mm] \IR^3 [/mm] linear unabhängig sind, ob sie also parallel zu einer Ebene sind, kann man in der Tat die Determinante der entsprechenden Matrix berechnen.
Du wolltest wissen, ob die Punkte A,B,C,D in einer Ebene liegen.
Wenn sie in einer Ebene liegen, sind die Verbindungsvektoren [mm] \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD} [/mm] parallel zu einer Ebenen, komplanar, und wenn Du das erkannt hast, kommst Du mit der Determinante weiter.
Wenn Du das erkannt hast, kannst Du auch mithilfe der entsprechenden Gleichungen prüfen, ob [mm] \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD} [/mm] linear unabhängig (die vier Punkte sind nicht in einer Ebene) oder linear abhängig (die vier Punkte sind in einer Ebene) sind.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:41 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Diophant |
Moin,
> P.S.: Wieso hat der Thread eigentlich den Betreff
> "Würfel"?
Weil er so:
> Gegeben sei der Würfel mit den Ecken...
beginnt.
Gruß, Diophant
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