Wohlordnung auf Z < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Auf [mm] \IZ [/mm] sei die Relation
[mm] m\preceq [/mm] n [mm] \gdw [/mm] |m| [mm] \le [/mm] |n| und (|m|=|n| [mm] \Rightarrow [/mm] m [mm] \le [/mm] n)
gegeben. (Dabei bezeichnet das Symbol [mm] \le [/mm] auf der rechten Seite die übliche Ordnung auf [mm] \IZ.) [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] \preceq [/mm] eine Wohlordnung ist. |
Hallo!
Ich habe, um die Aufgabe zu lösen, den Begriff Wohlordnung immer weiter durch Definitionen und Sätze ersetzt, bis ich folgendes hatte, was gelten muss:
(i) Die Relation ist total.
(ii) Die Relation ist reflexiv.
(iii) Die Relation ist antisymmetrisch.
(iv) Die Relation ist transitiv
(v) Die Relation ist artinsch.
(i)-(iv) hab ich ohne Probleme geschafft (abgesehen davon, das (i) echt nervig war...) aber bei (v) komme ich nicht weiter.
Laut einem Satz aus dem Skript ist artinsch äquivalent dazu, dass jede nichtleere Teilmenge von M (in diesem Fall [mm] \IZ) [/mm] ein minimales Element besitzt.
Aber das ist bei [mm] \IZ [/mm] doch nicht der Fall, oder? z.B. [mm] \IZ [/mm] ist eine nichtleere Teilmenge von [mm] \IZ [/mm] besitzt aber kein kleinstes Element, oder?
Bin für Bestätigung oder Berichtigung dankbar
Gruß
Mathezwerg
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jede teilmenge von z hat bezüglich dieser relation ein kleinstes element, und zwar das betragsmäßig kleinste
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:15 Sa 18.12.2010 | | Autor: | Mathezwerg |
Argh... ok, hab ich nich dran gedacht... Danke für die schnelle Antwort.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:03 So 19.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Hmm..hab die gleiche Aufgabe, aber komme irgendwie nicht drauf, wie du
i) - iv) bewiesen hast. Wäre für jede Hilfe dankbar. Gruß
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> Hmm..hab die gleiche Aufgabe, aber komme irgendwie nicht
> drauf, wie du
> i) - iv) bewiesen hast. Wäre für jede Hilfe dankbar.
> Gruß
Hallo,
leider zeigst Du nicht, was Du bisher versucht hast.
zur i)
Wie ist "totale Relation" definiert?
Was mußt Du also zeigen?
Was hast Du dafür bereits getan?
An welcher Stelle trat ein Problem auf?
Die anderen entsprechend.
Offenbar studierst Du Mathematik.
Du bist kein Vogeljunges.
Mit Schreien und Schnabel aufsperren und auf den Wurm warten wirst Du folglich nicht erfolgreich sein.
Etwas zielgerichtete Aktivität bitte.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:30 So 19.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ok, hast ja recht. Aber so viel hab ich bisher nicht geschafft.
Also:
- reflexiv ist ja klar, also es gilt:
|m| [mm] \le [/mm] |m| und wenn |m| = |m| gilt m [mm] \le [/mm] m
Kann man das so sagen? Bin mir beim Formalen nicht so sicher?
- antisymmetrisch:
Wenn |m| [mm] \le [/mm] |n| und |n| [mm] \le [/mm] |m| gilt |m| = |n|
Und wenn |m| = |n| dann folgt [mm] m\le [/mm] n
Geht das so?
- transitiv:
Wenn |m| [mm] \le [/mm] |n| und |n| [mm] \le [/mm] |r| dann gilt |m| [mm] \le [/mm] |r| ( ist ja "normale" Ordnung)
Aber wie mache ich da das zweite?
- total:
Wenn |m| [mm] \le [/mm] |n| oder |n| [mm] \le [/mm] |m| ( das ist die Bedingung), dann soll m,n [mm] \in [/mm] M liegen, hier in [mm] \IZ [/mm] oder? Aber komme hier nicht so ganz zurecht.
Sry, hast ja recht, Lösungswege sollten schon da stehn ;) Danke für Hilfe.
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Hallo,
zu zeigen: die Relation [mm] \preceq [/mm] ist reflexiv,
d.h. für alle [mm] m\in \IZ [/mm] gilt [mm] m\preceq [/mm] m.
Bew.: sei [mm] m\in \IZ
[/mm]
>
> - reflexiv ist ja klar, also es gilt:
>
> |m| [mm]\le[/mm] |m| und wenn |m| = |m| gilt m [mm]\le[/mm] m
Nach Def. von [mm] \preceq [/mm] ist also m [mm] \preceq [/mm] m.
> - antisymmetrisch:
Zu zeigen: ...
Beweis: Es sei ...
>
> Wenn |m| [mm]\le[/mm] |n| und |n| [mm]\le[/mm] |m| gilt |m| = |n|
>
> Und wenn |m| = |n| dann folgt [mm]m\le[/mm] n
>
> Geht das so?
Ich glaube nicht.
Es wäre sicher sinnvoll, wenn Du erstmal aufschreibn würdest, was man für antisymmetrisch zeigen muß.
>
> - transitiv:
>
> Wenn |m| [mm]\le[/mm] |n| und |n| [mm]\le[/mm] |r| dann gilt |m| [mm]\le[/mm] |r| (
> ist ja "normale" Ordnung)
Das stimmt, aber was wolltest Du zeigen, und hast Du das, was Du zeigen wolltest, nun gezeigt?
>
> Aber wie mache ich da das zweite?
Welches zweite?
>
> - total:
Schreib' auch hier zunächst auf, was zu zeigen ist, wenn Du zeigen willst, daß die Relation total ist.
>
> Wenn |m| [mm]\le[/mm] |n| oder |n| [mm]\le[/mm] |m| ( das ist die Bedingung),
Welche Bedingung?
> dann soll m,n [mm]\in[/mm] M liegen, hier in [mm]\IZ[/mm] oder?
Ich war nicht in Deiner Vorlesung und weiß nicht, von welchem M Du sprichst.
Du wirst nur sinnvolle Beweise führen können, wenn Du Dir erstmal verdeutlichst, was überhaupt gezeigt werden soll.
Es ist keine vertane Zeit, dies aufzuschreiben.
Mit "pi mal Daumen sowas ähnliches" gewinnt man in HÜs und Klausuren keinen Blumentopf.
Gruß v. Angela
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:41 So 19.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Also, der Beweis zu "reflexiv" war also ok.
Wegen Antisymmetrie:
zz. Wenn xRy und yRx soll folgen: x =y für alle x,y [mm] \in \IZ
[/mm]
War der Beweis dazu denn wirklich falsch? Versteh das nicht.
Das Transitive ist doch dann gezeigt oder? Weil die Ordnung halt tranistiv ist.
Mit "das zweite" mein ich, dass in der aufgabe zwei bedingungen stehen, |m| [mm] \le [/mm] |n| und ...
Das verwirrt mich irgendwie.
Bei total muss man zeigen:
Es gilt xRy oder yRx für alle x,y [mm] \in \IZ
[/mm]
Aber wie mache ich da konkrte den Beweis?
Danke.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:21 Di 21.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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