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| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR \to \IC [/mm] stetig differenzierbar mit $ f(x) $ [mm] \le C(1+x^2)^{-1} [/mm] und $f'(x)$ [mm] \le C'(1+x^2)^{-1} [/mm] für gewisse Konstanten $C,C' > 0$. Sei $ [mm] \alpha \not= [/mm] 0 $ eine reelle Zahl.
Zeigen Sie, dass durch $g(t) = [mm] \summe_{k \in \IZ} f(t+\alpha*k) [/mm] $ eine wohldefinierte, stetig differenzierbare, [mm] \alpha [/mm] -periodische Funktion gegeben ist. |
Ich verstehe nicht, warum man hier Wohldefiniertheit zeigen soll. Es liegt doch eine explizite Definitionsgleichung vor?!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Sei [mm]f:\IR \to \IC[/mm] stetig differenzierbar mit [mm]f(x)[/mm] [mm]\le C(1+x^2)^{-1}[/mm]
> und [mm]f'(x)[/mm] [mm]\le C'(1+x^2)^{-1}[/mm] für gewisse Konstanten [mm]C,C' > 0[/mm].
> Sei [mm]\alpha \not= 0[/mm] eine reelle Zahl.
>
> Zeigen Sie, dass durch [mm]g(t) = \summe_{k \in \IZ} f(t+\alpha*k)[/mm]
> eine wohldefinierte, stetig differenzierbare, [mm]\alpha[/mm]
> -periodische Funktion gegeben ist.
> Ich verstehe nicht, warum man hier Wohldefiniertheit
> zeigen soll. Es liegt doch eine explizite
> Definitionsgleichung vor?!
>
Du hast ja mit $g(t): = [mm] \summe_{k \in \IZ} f(t+\alpha*k)$ [/mm] eine Funktion über eine Summe definiert
Wenn du jetzt ein [mm] $t^{\star} \in \IR$ [/mm] in $g(t)$ einsetzt, sagt dir keiner, dass die Summe [mm] $\summe_{k \in \IZ} f(t^{\star}+\alpha*k)$ [/mm] konvergiert, das also [mm] g\left(t^{\star}\right) [/mm] existiert.
Das ist hier im Wohldefiniertheit gemeint.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Ah, ok. Aber wie ist es mit der Eindeutigkeit? Was heißt Eindeutigkeit hier, heißt das g(t)=g(t*) nur dann wenn t=t*?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:59 Mo 02.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ah, ok. Aber wie ist es mit der Eindeutigkeit? Was heißt
> Eindeutigkeit hier, heißt das g(t)=g(t*) nur dann wenn
> t=t*?
Wo steht oben etwas von "Eindutigkeit" ?
FRED
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Hallo Fred,
naja, ich dachte, dass man um Wohldefiniertheit zu zeigen Existenz und Eindeutigkeit zeigen muss... oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:27 Sa 07.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
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> naja, ich dachte, dass man um Wohldefiniertheit zu zeigen
> Existenz und Eindeutigkeit zeigen muss... oder?
Wo bist Du gerade ????
FRED
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Was meinst du mit wo bin ich gerade?
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Es wurde bereits in der ersten Antwort gesagt, was mit Wohldefiniertheit gemeint ist. Du musst einfach zeigen, dass die Folge, die summiert wird auch tatsächlich summierbar ist.
Liebe Grüße,
UniverselllesObjekt
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 Mi 25.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Fred,
>
> naja, ich dachte, dass man um Wohldefiniertheit zu zeigen
> Existenz und Eindeutigkeit zeigen muss... oder?
nein - meist hat "Wohldefiniertheit" etwas damit zu tun, dass die Darstellung
unabhängig von der Wahl des Repräsentanten sein muss. So könnte man etwa
versuchen, zu sagen:
Wir definieren
[mm] $\text{op}: \IQ \to \IZ$
[/mm]
durch
[mm] $\text{op}(q):=m+n\,,$
[/mm]
wenn $q=m/n$ mit $m [mm] \in \IZ$ [/mm] und $n [mm] \in \IN\,.$
[/mm]
Dann wäre aber [mm] $\text{op}$ [/mm] alles andere als wohldefiniert, schließlich
gilt für uns bspw. [mm] $3/7=6/14\,,$ [/mm] aber es wäre
[mm] $\text{op}(3/7)=3+7=10 \not=20=6+14=\text{op}(6/14)\,.$
[/mm]
Aber sowas ist in der Aufgabe hier mit "Wohldefiniertheit" gar nicht gemeint,
sondern es wurde schon gesagt, was gemeint ist:
Wenn doch
$g [mm] \colon \IR \to \IC$
[/mm]
mit [mm] ($\alpha \in \IR \setminus \{0\}$ [/mm] fest)
[mm] $g(t):=\sum_{k \in \IZ}f(t+\alpha [/mm] k)$ ($t [mm] \in \IR$)
[/mm]
etwas "wohldefiniertes" ('vernünftig' definiertes) sein soll, dann muss für
jedes $t [mm] \in \IR$ [/mm] zum einen gelten, dass
[mm] $\sum_{k \in \IZ}f(t+\alpha [/mm] k)$
konvergiert - und zum anderen, dass die Reihe sogar "in [mm] $\IC$" [/mm] konvergiert
(manchmal ist das gleichbedeutend).
Manche sagen halt auch, dass die Reihe konvergiert, wenn sie gegen [mm] $\infty$ [/mm]
(das ist ein Symbol [mm] $\notin \IC$) [/mm] streben möge - daher das ergänzende
"zum anderen".
Kurz: Wohldefiniertheit bedeutet hier
[mm] $\forall$ [/mm] $t [mm] \in \IR:$ $\sum_{k \in \IZ}f(t+\alpha [/mm] k) [mm] \in \IC.$
[/mm]
(Das hat also nichts mit dem zu tun, was Du sonst kennst - das kommt
eher bei Äquivalenzrelationen oder so vor, diese "Repräsentantenunabhängigkeit"...)
Und vielleicht noch ein anderes Beispiel:
Setze ich
$f [mm] \colon \IR \to \IR$
[/mm]
fest durch
[mm] $f(x):=\sum_{k=0}^\infty x^k\,,$
[/mm]
so ist [mm] $f\,$ [/mm] nicht wohldefiniert (dafür reicht schon eines der folgenden beiden
Argumente:
1. Für [mm] $x=1\,$ [/mm] ist [mm] $\sum_{k=0}^\infty x^k=\sum_{k=0}^\infty 1=\infty \notin \IR.$
[/mm]
2. Für [mm] $x=-1\,$ [/mm] ist [mm] $\sum_{k=0}^\infty x^k=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k$ [/mm] eine divergente Folge [beachte: eine Reihe
ist die Folge ihrer Partialsummen].)
Betrachte ich allerdings
$f [mm] \colon [/mm] (-1,1) [mm] \to \IR$
[/mm]
mit
[mm] $f(x):=\sum_{k=0}^\infty x^k\,,$
[/mm]
so ist [mm] $f\,$ [/mm] wohldefiniert.
Ebenso wäre $f [mm] \colon [/mm] (-1,1] [mm] \to \IR \cup \{\infty\}$ [/mm] mit
[mm] $f(x):=\sum_{k=0}^\infty x^k$
[/mm]
wohldefiniert - und wohl auch
$f [mm] \colon [/mm] [-1,1] [mm] \to \IR$
[/mm]
mit [mm] $f(x):=\begin{cases}\sum\limits_{k=0}^\infty x^k, & \text{ für }|x| < 1,\\ 2, & \text{für }|x|=1 \end{cases}.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:58 Mo 02.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f:\IR \to \IC[/mm] stetig differenzierbar mit [mm]f(x)[/mm] [mm]\le C(1+x^2)^{-1}[/mm]
> und [mm]f'(x)[/mm] [mm]\le C'(1+x^2)^{-1}[/mm] für gewisse Konstanten [mm]C,C' > 0[/mm].
> Sei [mm]\alpha \not= 0[/mm] eine reelle Zahl.
>
> Zeigen Sie, dass durch [mm]g(t) = \summe_{k \in \IZ} f(t+\alpha*k)[/mm]
> eine wohldefinierte, stetig differenzierbare, [mm]\alpha[/mm]
> -periodische Funktion gegeben ist.
Das kann nicht sein ! Nimm mal f(t)=-1 für alle t. Dann sind die Voraussetzungen mit C=C'=1 erfüllt.
Lauten die Vor. vielleicht so:
$ |f(x)| $ $ [mm] \le C(1+x^2)^{-1} [/mm] $ und $ |f'(x)| $ $ [mm] \le C'(1+x^2)^{-1} [/mm] $
?
FRED
Dann
> Ich verstehe nicht, warum man hier Wohldefiniertheit
> zeigen soll. Es liegt doch eine explizite
> Definitionsgleichung vor?!
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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hm, ja, was du meinst ist plausibel, der Aufgabensteller hat aber keine Betragsstriche verwendet. Ich frag noch mal nach.
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