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| Aufgabe | Auf [mm] $M=\IN\times\IN$ [/mm] ist durch [mm] $(a,b)~(c,d)\iff [/mm] a+d=b+c$ eine Äquivalenzrelation definiert. Auf der Menge M/~ der dazugehörigen Äquivalenzklassen definieren wir wie folgt eine Addition und eine Multiplikation:
$"+":[(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c,b+d)]$
$"*":[(a,b)]*[(c,d)]=[(ac+bd,ad+bc)]$
Zeigen Sie, dass diese Definition unabhängig von der Wahl der Repräsentanten ist, d. h. dass die Operationen wohldefiniert sind. |
Hallo Leute,
ich habe zu dieser Aufgabe eine Idee, aber ich weiß nicht, ob dies der richtige Ansatz bzw. formal in Ordnung ist.
Also ich habe mir $(a',b'), [mm] (c',d')\in [/mm] M:(a',b')~(c',d') $gewählt. Dann habe ich die gegebenen Operatoren darauf angewendet.
[mm] $[(a',b')]+[(c',d')]=[(a'+c',b'+d')]\in [/mm] M$
[mm] $[(a',b')]*[(c',d')]=[(a'c'+b'd',a'd'+b'c')]\in [/mm] M$
Liebe Grüße
Christoph
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Hallo meister_quitte,
was du zeigen sollst ist folgendes:
Ist [mm] $(a,b)\sim [/mm] (a',b')$ und $(c,d) [mm] \sim [/mm] (c',d')$ so gilt:
$(a,b)+(c,d) [mm] \sim [/mm] (a',b')+(c',d')$
Wenn es der Intuition hilft kannst du dir die Äquivalenzrelation wie folgt vorstellen (aber auch nur vorstellen):
$(a,b) [mm] \sim [/mm] (a',b') [mm] :\Leftrightarrow [/mm] a-b=a'-b'$
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Hallo sometree,
ich habe folgendes gerechnet:
[mm] $(a,b)~(a',b')\iff a+b'=b+a'\wedge (c,d)~(c',d')\iff [/mm] c+d'=d+c'$
$(a,b)+(c,d)=(a+c, [mm] b+d)\wedge [/mm] (a',b')+(c',d')=(a'+c', [mm] b'+d')\Rightarrow [/mm] (a+c, [mm] b+d)\sim(a'+c', b'+d')\iff a+c+b'+d'=b+d+a'+c'\iff [/mm] b'+d'-a'-c'=b+d-a-c$
Also ist die Addition wohldefiniert.
$(a,b)*(c,d)=(ac+bd, [mm] ad+bc)\wedge [/mm] (a',b')*(c',d')=(a'c'+b'd', [mm] a'd'+b'c')\Rightarrow [/mm] (ac+bd, [mm] ad+bc)\sim(a'c'+b'd', a'd'+b'c')\iff ac+bd+a'd'+b'c'=ad+bc+a'c'+b'd'\iff [/mm] ac+bd-ad-bc=a'c'+b'd'-a'd'-b'c'$
Die Multiplikation ist auch wohldefiniert.
Ist das so korrekt?
Liebe Grüße
Christoph
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Hallo meister_quitte,
Gegenfrage: Wieso sollte das korrekt sein?
Ich kann nicht einmal nachvollziehen, wie du auf die Idee kommst, das wäre ein Beweis.
Du machst Äquivalenzumformungen, dabei ist normalerweise das Ziel in eine wahre Aussage umzuformen, in der Regel die Voraussetzung.
Du verwendest hier nirgends die Voraussetzung, macht dich das nicht stutzig?
Und wieso sollte hier Subtraktion eine zulässige Operation sein?
Die natürlichen Zahlen mit Addition sind keine Gruppe.
Zusammenfassung: Das ist kein Beweis.
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Danke sometree. Ich weiß nun wie es geht.
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