Wohldefiniertheit < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm]V[/mm] ein [mm]K[/mm]-Vektorraum und [mm]\beta: V \times V \to K[/mm] eine symmetrische Bilinearform.
Das Radikal [mm]R_{\beta}[/mm] von [mm]\beta[/mm] ist die Menge aller [mm]v \in V[/mm] für die [mm]\beta(v,w) = 0[/mm] für alle [mm]w \in V[/mm]. Zeige:
1. Das Radikal [mm]R_{\beta} := \{v \in V | \beta(v,w) = 0[/mm] für alle [mm]w \in V \}[/mm] ist ein Untervektorraum von [mm]V[/mm] .
2. Betrachte die Abbildung [mm]\tilde \beta : V/R_{\beta} \times V/R_{\beta} \to K[/mm] mit [mm]\tilde \beta(v+R_{\beta},w+R_{\beta}) := \beta(v,w)[/mm] auf
dem Quotientenraum [mm]V/R_{\beta}[/mm]. Zeige:
[mm]\tilde \beta[/mm] ist wohldefiniert und
[mm]\tilde \beta[/mm] ist eine symmetrische, nicht-ausgeartete Bilinearform. |
Hallo,
also ich sitze gerade an dieser Aufgabe.
Teil 1 ist kein Problem, die Menge ist nicht leer und die Abgeschlossenheit kann ich auch nachweisen.
Jetzt häng ich aber bei Teil 2 und der Wohldefiniertheit bei der ich generell immer Probleme hab.
Zunächst ist die Frage was überhaupt zu zeigen ist und da bin ich der Meinung das müsste sein:
Für alle [mm]v, w \in V[/mm] und alle [mm]x, x', y, y' \in R_{\beta}[/mm] gilt:
[mm]\tilde \beta(v+x, w+y) = \tilde \beta(v+x', w+y') = \beta(v, w)[/mm]
Ist das so richtig und wenn ja wie beweis ich das?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:58 So 19.04.2009 | | Autor: | thane |
> Sei [mm]V[/mm] ein [mm]K[/mm]-Vektorraum und [mm]\beta: V \times V \to K[/mm] eine
> symmetrische Bilinearform.
> Das Radikal [mm]R_{\beta}[/mm] von [mm]\beta[/mm] ist die Menge aller [mm]v \in V[/mm]
> für die [mm]\beta(v,w) = 0[/mm] für alle [mm]w \in V[/mm]. Zeige:
>
> 1. Das Radikal [mm]R_{\beta} := \{v \in V | \beta(v,w) = 0[/mm] für
> alle [mm]w \in V \}[/mm] ist ein Untervektorraum von [mm]V[/mm] .
>
> 2. Betrachte die Abbildung [mm]\tilde \beta : V/R_{\beta} \times V/R_{\beta} \to K[/mm]
> mit [mm]\tilde \beta(v+R_{\beta},w+R_{\beta}) := \beta(v,w)[/mm]
> auf
> dem Quotientenraum [mm]V/R_{\beta}[/mm]. Zeige:
> [mm]\tilde \beta[/mm] ist wohldefiniert und
> [mm]\tilde \beta[/mm] ist eine symmetrische, nicht-ausgeartete
> Bilinearform.
> Hallo,
>
> also ich sitze gerade an dieser Aufgabe.
>
> Teil 1 ist kein Problem, die Menge ist nicht leer und die
> Abgeschlossenheit kann ich auch nachweisen.
>
> Jetzt häng ich aber bei Teil 2 und der Wohldefiniertheit
> bei der ich generell immer Probleme hab.
Hallo,
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Dein Ansatz stimmt, wenn ich ihn auch etwas anderst formulieren würde.
![[]](/images/popup.gif) Wiki erklärt das sicher ausführlicher, aber grob gesagt setzten wir in [mm] \tilde \beta [/mm] ja Äquivalenzklassen ein und wählen uns einen Repräsentanten heraus für [mm] \beta [/mm]. Wir müssen also zeigen, dass die Wahl des Repräsentanten beliebig ist und das Ergebnis nicht verändert.
Für die Übersicht definieren wir [mm]\forall v \in V: \qquad v +R_{\beta} =: [v] [/mm]
Nun seien [mm] v,w \in V [/mm]. Weiter wählen wir [mm] v',w' \in V [/mm] mit [mm]v \sim v' [/mm] und [mm] w \sim w' [/mm]
(d.h. [mm] [v] = [v'], [w] = [w'] [/mm],was gleichbedeutend ist mit [mm] v' \in [v], w' \in [w] [/mm])
Zu zeigen ist jetzt, dass
[mm]\tilde \beta([v],[w]) =\tilde \beta([v'],[w']) [/mm]gilt.
Um dies zu beweisen benutzt du die Definition von [mm]\tilde \beta[/mm], Die Tatsache, dass [mm] v' \in [v] [/mm] liegt (analog w), sowie die Eigenschaften der Bilinearform und den Elementen des Radikals.
|
|
|
|
