Wohldefiniertheit < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 Mi 11.02.2009 | | Autor: | Jolly |
| Aufgabe | Auf den reellen Zahlen definieren wir die Relation
[mm] \varphi_1 \sim \varphi_2 : \gdw \exists z\in\IZ: \varphi_2 = \varphi_1 + 2\pi z[/mm]
Durch welche der folgenden Vorschriften erhalten wir wohldefinierte Abbildungen?
[...]
c)[mm] f_2: \IR /\sim \to \IR, [\varphi]\sim \mapsto \varphi [/mm] |
Also, wir hängen fest und wollen die Aufgabe lösen, weil wir morgen eine Klausur (u.a.) darüber schreiben.
Wir haben schon 1000 E-Mails hin und her geschickt und das sind die Kernüberlegungen gewesen:
Erstmal: Wie sieht [mm] [\varphi]\sim [/mm] aus? Beispielsweise so:
[mm] [1]~ = \{7,28; 13,57; 19,85; ...\} , \qquad [2]~ = \{8,28; 14,57; 20,85; ...\}
... [/mm]
Stimmt das schonmal?
Wohldefiniertheit besagt doch, dass einem Wert aus der Urbildmenge nicht mehr als ein Wert aus der Bildmenge zugeordnet werden darf, oder?
Uns wurde gesagt, dass das nicht wohldefiniert ist, aber wir sehen nicht, für welches [mm] \varphi [/mm] die Bilder gleich sein sollen.
(Hab die Frage nirgendwo anders gestellt)
Vielen Dank, Jolly
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> Auf den reellen Zahlen definieren wir die Relation
> [mm]\varphi_1 \sim \varphi_2 : \gdw \exists z\in\IZ: \varphi_2 = \varphi_1 + 2\pi z[/mm]
>
> Durch welche der folgenden Vorschriften erhalten wir
> wohldefinierte Abbildungen?
> [...]
> c)[mm] f_2: \IR /{\sim}\ \to\quad\IR,\qquad [\varphi]_\sim\ \mapsto\ \varphi[/mm]
>
>
> Erstmal: Wie sieht [mm][\varphi]_\sim[/mm] aus? Beispielsweise so:
> [mm][1]~ = [mm] \{7,28; 13,57; 19,85; ...\} [/mm] , [mm] \qquad [/mm] [2]~ = [mm] \{8,28; 14,57; 20,85; ...\}
[/mm]
> Stimmt das schonmal?
Ich würde empfehlen, die exakten Werte mit den Summanden
[mm] 2\pi*z [/mm] stehen zu lassen; und denk dran, dass auch negative
z-Werte in Frage kommen !
> Wohldefiniertheit besagt doch, dass einem Wert aus der
> Urbildmenge nicht mehr als ein Wert aus der Bildmenge
> zugeordnet werden darf, oder?
Ja.
> Uns wurde gesagt, dass das nicht wohldefiniert ist, aber
> wir sehen nicht, für welches [mm]\varphi[/mm] die Bilder gleich sein
> sollen.
Hallo Jolly,
Die "Zuordnungsvorschrift" sagt: [mm] [\varphi]_\sim\ \mapsto\ \varphi
[/mm]
Dies würde zum Beispiel besagen, dass
[mm] [1]_\sim\ \mapsto\ [/mm] 1
und
[mm] [1+6*\pi]_\sim\ \mapsto\ 1+6*\pi
[/mm]
Da aber [mm] 1+6*\pi=1+3*(2\pi), [/mm] ist $\ [mm] [1+6*\pi]_\sim\ [/mm] =\ [mm] [1]_\sim$
[/mm]
Damit würden dieser Klasse verschiedene Bildwerte
zugeordnet. Also ist diese Relation keine Funktion.
Es wäre aber leicht, aus ihr eine zu machen, indem
man z.B. festsetzen würde, dass stets derjenige
Bildwert genommen werden soll, der im Intervall
[mm] [\,0\,;2*\pi) [/mm] liegt.
LG
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