Wohldefiniertheit < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:16 Do 13.12.2007 | | Autor: | Blueevan |
| Aufgabe | 1. Ist die Abbildung wohldefiniert? Und wenn ja:
2. Ist die Abbildung linear?
3. Ist die Abbildung stetig?
[mm] T:L²(\IR) \to L^{1}(\IR) [/mm] mit [mm] T(f)(x)=\bruch{1}{1+x²}f(x) [/mm] |
Hallo!
Sind uns überhaupt nicht sicher, ob die Funktion wohldefiniert, also überhaupt in den Raum [mm] L^{1}(\IR) [/mm] abbildet und kommen hier auch auf keinen brauchbaren Ansatz. Kann uns jemand helfen?
Lieben Gruß,
Blueevan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:30 Do 13.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> 1. Ist die Abbildung wohldefiniert? Und wenn ja:
> 2. Ist die Abbildung linear?
> 3. Ist die Abbildung stetig?
>
> [mm]T:L²(\IR) \to L^{1}(\IR)[/mm] mit [mm]T(f)(x)=\bruch{1}{1+x²}f(x)[/mm]
> Hallo!
> Sind uns überhaupt nicht sicher, ob die Funktion
> wohldefiniert, also überhaupt in den Raum [mm]L^{1}(\IR)[/mm]
> abbildet und kommen hier auch auf keinen brauchbaren
> Ansatz. Kann uns jemand helfen?
Tipp: Hölder-Ungleichung.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:33 Fr 14.12.2007 | | Autor: | Blueevan |
Hallo Rainer,
danke für den super Tipp :)
Viele Grüße,
Blueevan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:06 Sa 15.12.2007 | | Autor: | Blueman |
Und die anderen Aufgaben hast du hingekriegt?
Ich verzweifle ja schon an der ersten.
Könntest du (oder natürlich auch jemand anderes) mir vielleicht sagen, ob
P: [mm] L^{2} (\IR^{2}) \to L^{2} (\IR^{2}) [/mm] mit P(f(x)) = f(x)+f(-x)
wohldefiniert ist und wie man darauf kommt? Also man wird ja zeigen müssen dass f(x) + f(-x) wieder in [mm] L^{2}(\IR^{2}) [/mm] liegt, aber wie macht man das?
Ist wichtig, ich wäre über Hilfe echt dankbar!
Viele Grüße,
Blueman
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 Sa 15.12.2007 | | Autor: | Chlors |
Hallo,
also bei mir ist es wohldefiniert.
du multiplizierst erstmal |f(x)+f(-x)|² aus. du erhälst:
|f(x)|²+2*|f(x)|*|f(-x)| + |f(-x)|²
die erste und letzte summand macht dir keine probleme da f in L²
jetzt muss du noch überlegen warum gilt, dass f(-x)*f(x) in [mm] L^1 [/mm] liegt.
dies löst du aber einfach mit Übungsblatt 8, Aufgabe 3.2
das haben wir ja schließlich schon bewiesen ;)
du weist daraus, dass g*f in [mm] L^r [/mm] liegt für r aus [1, pq/(p+q)] wobei f aus [mm] L^p [/mm] und g aus [mm] L^q [/mm] , in unserem fall also beides mal 2 und g(x)=f(-x) .. damit hab ich das zumindestens gelöst, also keine garantie für richtigkeit 
hoffe, ich konnte dir weiterhelfen.
LG, Conny.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:25 So 16.12.2007 | | Autor: | Blueman |
Hi Conny,
Ja hast mir auf jeden Fall weitergeholfen. Vielen Dank dafür.
Eine Frage hätt ich aber noch: Man müsste doch zeigen, dass f(-x)*f(x) in [mm] L^{2} [/mm] liegt und nicht nur in [mm] L^{1}, [/mm] oder? Aber wie macht man das?
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Hallo,
das geht doch viel schneller indem man mit der Vektorraumstruktur von [mm] L^2 [/mm] argumentiert.
Wenn f(x) [mm] \in L^2 (\IR^2) [/mm] , dann ist natürlich auch f(-x) in [mm] L^2 (\IR^2)
[/mm]
Nun ist [mm] L^2 [/mm] ein Vektorraum und deshalb ist das wieder in [mm] L^2
[/mm]
Das Ganze dürfte dann auch linear sein.
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