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| Aufgabe | Vier aufeinanderfolgende Jahre im 21. Jahrhundert haben 4*365+1 Tage. Der 1. Januar 2007 ist ein Montag.
Berechne den Wochentag vom 1. Januar 2099. |
Hi,
zu dieser Aufgabe habe ich die folgende Lösung vorliegen.
Vom 1. Januar 2007 bis zum 1. Januar 2099 vergehen
92*365+23
Tage.
Nun berechnen wir
[mm] 92*365\equiv [/mm] 92*1 (mod [mm] 7)\equiv [/mm] 1 (mod 7)
und damit
[mm] 92*365+23\equiv1+23*1 [/mm] (mod [mm] 7)\equiv [/mm] 3 (mod 7)
Somit ist der 1. Januar 2099 ein Montag plus 3 Tage, also ein Donnerstag.
So, nun zu meinen Fragen, denn so richtig verstehe ich die Lösung nicht.
1. Ich verstehe schon gleich am Anfang nicht, wieso die das hier betrachten [mm] 92*365\equiv [/mm] 92*1 (mod 7)
2. Nach welcher Regel vereinfachen die [mm] \equiv [/mm] 92*1 (mod [mm] 7)\equiv [/mm] 1 (mod 7)?? Das habe ich irgendwie auch nichts gefunden. Wenn die durch 92 geteilt hätten, dann hätte die ja auch 92*365 durch 92 teilen müssen, oder??
3. Das gleiche Verständnisproblem habe ich auch bei [mm] \equiv1+23*1(mod 7)\equiv [/mm] 3 (mod 7), auch hier verstehe ich gerade nicht, wie die von 1+23 auf 3 kommen??
Danke schon mal für eure Hilfe.
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:48 Fr 27.05.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo Steve.Joke,
> Vier aufeinanderfolgende Jahre im 21. Jahrhundert haben
> 4*365+1 Tage. Der 1. Januar 2007 ist ein Montag.
>
> Berechne den Wochentag vom 1. Januar 2099.
> Hi,
>
> zu dieser Aufgabe habe ich die folgende Lösung vorliegen.
>
> Vom 1. Januar 2007 bis zum 1. Januar 2099 vergehen
>
> 92*365+23
>
> Tage.
>
> Nun berechnen wir
>
> [mm]92*365\equiv[/mm] 92*1 (mod [mm]7)\equiv[/mm] 1 (mod 7)
>
> und damit
>
> [mm]92*365+23\equiv1+23*1[/mm] (mod [mm]7)\equiv[/mm] 3 (mod 7)
>
> Somit ist der 1. Januar 2099 ein Montag plus 3 Tage, also
> ein Donnerstag.
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>
> So, nun zu meinen Fragen, denn so richtig verstehe ich die
> Lösung nicht.
>
> 1. Ich verstehe schon gleich am Anfang nicht, wieso die das
> hier betrachten [mm]92*365\equiv[/mm] 92*1 (mod 7)
>
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> 2. Nach welcher Regel vereinfachen die [mm]\equiv[/mm] 92*1 (mod
> [mm]7)\equiv[/mm] 1 (mod 7)?? Das habe ich irgendwie auch nichts
> gefunden. Wenn die durch 92 geteilt hätten, dann hätte
> die ja auch 92*365 durch 92 teilen müssen, oder??
>
>
> 3. Das gleiche Verständnisproblem habe ich auch bei
> [mm]\equiv1+23*1(mod 7)\equiv[/mm] 3 (mod 7), auch hier verstehe ich
> gerade nicht, wie die von 1+23 auf 3 kommen??
Generell gilt [mm]x\ (\operatorname{mod} 7)[/mm] ist die Zahl, die als Rest bleibt, wenn du durch 7 teilst. Zum Beispiel:
[mm]10\ (\operatorname{mod} 7)=3[/mm], denn [mm]10=1*7+3[/mm]
[mm]21\ (\operatorname{mod} 7)=0[/mm], denn [mm]21=3*7+0[/mm]
[mm]5\ (\operatorname{mod} 7)=5[/mm], denn [mm]5=0*7+5[/mm]
Wenn du von einem Datum (hier: 1.1.2007) den Wochentag weißt, und willst den Wochentag von einem Datum wissen willst, das x Tage später ist, berechnest du [mm]x\ (\operatorname{mod} 7)[/mm]. Wenn dabei 0 rauskommt, ist es derselbe Wochentag (hier: Montag), kommt 1 raus ist es der darauffolgende Wochentag (Dienstag), etc.
Das gefragte Datum ist hier [mm]92*365+23[/mm] Tage später (92 Jahre + 23 Tage von den Schaltjahren). Man berechnet hier also [mm](92*365+23)\ (\operatorname{mod} 7)[/mm].
Die oben erwähnten Reste addieren sich bei Summen und multiplizieren sich bei Produkten, d.h. [mm](92*365+23)\ (\operatorname{mod} 7)=(92\ (\operatorname{mod} 7))*(365\ (\operatorname{mod} 7))+(23\ (\operatorname{mod} 7))[/mm].
Jetzt kannst du selber weitermachen:
Schau, was bei 92, 365, 23 als Rest bleibt, wenn du durch 7 teilst und multipliziere bzw. addiere diese Reste. Du wirst sehen, deine Musterlösung ist korrekt.
Lieben Gruß,
Fulla
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:42 Sa 28.05.2011 | | Autor: | steve.joke |
Hi,
vielen Dank für die ausführliche Erklärung.
Grüße
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