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| Aufgabe | Sei V ein euklidischer Vektorraum mit Skalarprodukt [mm] \Phi [/mm] : V [mm] \times [/mm] V [mm] \to \IR [/mm] und sei f : V [mm] \to [/mm] V eine [mm] \IR [/mm] - lineare Abbildung.
Zeigen Sie, dass f genau dann winkeltreu ist, wenn f Komposition einer orthogonalen [mm] \IR [/mm] -linearen Abbildung g : V [mm] \to [/mm] V und einer Homothetie ist, d.h. es gibt ein [mm] \lambda \in \IR [/mm] \ {0} mit [mm] f=h_\lambda \circ [/mm] g! |
Hallo,
also bei dieser Aufgabe habe ich die Hinrichtung (hoffentlich richtig) allein geschafft, habe aber ein paar Probleme mit der Rückrichtung.
Also erstmal zur Hinrichtung, da wollte ich zeigen dass f winkeltreu ist wenn f Komposition aus einer Homothetie und einer orthogonalen Abbildung ist.
Also z.z.: [mm] \bruch{\Phi(f(v),f(w))}{||f(v)|| ||f(w)||} [/mm] = [mm] \bruch{\Phi(v,w)}{||v|| ||w||} [/mm] mit v,w [mm] \in [/mm] V
[mm] \bruch{\Phi(f(v),f(w))}{||f(v)|| ||f(w)||}
[/mm]
Da f = [mm] h_\lambda \circ [/mm] g = [mm] {\lambda g} [/mm] gilt:
[mm] \bruch{\Phi(\lambda g(v),\lambda g(w))}{||\lambda g(v)|| ||\lambda g(w)||} [/mm]
[mm] \gdw \bruch{\lambda^2\Phi(g(v),g(w))}{\lambda^2||g(v)|| ||g(w)||}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{\Phi(g(v),g(w))}{||g(v)|| ||g(w)||} [/mm] = [mm] \bruch{\Phi(v,w)}{||v|| ||w||} [/mm] da g orthogonal
Ok, f ist also winkeltreu. Aber jetzt muss ich ja zeigen, dass f eine Komposition einer Homothetie und einer orthogonalen Abbildung ist. Dazu meine Theorie: Eine orthogonale Abbildung g ist nach Definition längen- und winkeltreu, damit sie nur noch winkel- und nicht mehr längentreu ist, muss praktisch die Länge "künstlich" durch eine Homothetie verändert werden. Mein Ansatz sieht wie folgt aus:
z.z.: f ist nicht längentreu, d.h. [mm] \parallel f(v)\parallel \not= \parallel v\parallel [/mm]
[mm] \parallel f(v)\parallel [/mm] = [mm] \parallel\lambda g(v)\parallel [/mm] = [mm] |\lambda| \parallel g(v)\parallel [/mm] = [mm] |\lambda| \parallel v\parallel \not= \parallel v\parallel
[/mm]
aber das stimmt doch nicht, denn nach Voraussetzung ist [mm] \lambda [/mm] nur ungleich 0, aber wenn [mm] \lambda [/mm] 1 wäre, dann wäre [mm] \parallel f(v)\parallel [/mm] = [mm] \parallel v\parallel.
[/mm]
Habe ich hier nur einen kleinen Denkfehler gemacht, oder ist meine komplette Theorie Müll?
Vielen Dank schonmal im Voraus
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> Sei V ein euklidischer Vektorraum mit Skalarprodukt [mm]\Phi[/mm] :
> V [mm]\times[/mm] V [mm]\to \IR[/mm] und sei f : V [mm]\to[/mm] V eine [mm]\IR[/mm] - lineare
> Abbildung.
> Zeigen Sie, dass f genau dann winkeltreu ist, wenn f
> Komposition einer orthogonalen [mm]\IR[/mm] -linearen Abbildung g :
> V [mm]\to[/mm] V und einer Homothetie ist, d.h. es gibt ein [mm]\lambda \in \IR[/mm]
> \ {0} mit [mm]f=h_\lambda \circ[/mm] g!
> Hallo,
>
> also bei dieser Aufgabe habe ich die Hinrichtung
> (hoffentlich richtig) allein geschafft, habe aber ein paar
> Probleme mit der Rückrichtung.
>
> Also erstmal zur Hinrichtung,
<--- so gefährlich ist Mathematik!
> da wollte ich zeigen, dass f winkeltreu ist wenn f Komposition aus einer Homothetie und
> einer orthogonalen Abbildung ist.
>
> Also z.z.: [mm]\bruch{\Phi(f(v),f(w))}{||f(v)|| ||f(w)||}[/mm] =
> [mm]\bruch{\Phi(v,w)}{||v|| ||w||}[/mm] mit v,w [mm]\in[/mm] V
>
> [mm]\bruch{\Phi(f(v),f(w))}{||f(v)|| ||f(w)||}[/mm]
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> Da f = [mm]h_\lambda \circ[/mm] g = [mm]{\lambda g}[/mm] gilt:
>
> [mm]\bruch{\Phi(\lambda g(v),\lambda g(w))}{||\lambda g(v)|| ||\lambda g(w)||}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{\lambda^2\Phi(g(v),g(w))}{\lambda^2||g(v)|| ||g(w)||}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{\Phi(g(v),g(w))}{||g(v)|| ||g(w)||}[/mm] =
> [mm]\bruch{\Phi(v,w)}{||v|| ||w||}[/mm] da g orthogonal
>
> Ok, f ist also winkeltreu.
Alles richtig, nur solltest du = statt [mm] \gdw [/mm] verwenden.
> Aber jetzt muss ich ja zeigen, dass f eine Komposition einer Homothetie und einer
> orthogonalen Abbildung ist. Dazu meine Theorie: Eine
> orthogonale Abbildung g ist nach Definition längen- und
> winkeltreu, damit sie nur noch winkel- und nicht mehr
> längentreu ist, muss praktisch die Länge "künstlich" durch
> eine Homothetie verändert werden.
Nein, warum? Sie darf doch beides sein!
> Mein Ansatz sieht wie folgt aus:
>
> z.z.: f ist nicht längentreu, d.h. [mm]\parallel f(v)\parallel \not= \parallel v\parallel[/mm]
>
> [mm]\parallel f(v)\parallel[/mm] = [mm]\parallel\lambda g(v)\parallel[/mm] =
> [mm]|\lambda| \parallel g(v)\parallel[/mm] = [mm]|\lambda| \parallel v\parallel \not= \parallel v\parallel[/mm]
>
> aber das stimmt doch nicht, denn nach Voraussetzung ist
> [mm]\lambda[/mm] nur ungleich 0, aber wenn [mm]\lambda[/mm] 1 wäre, dann wäre
> [mm]\parallel f(v)\parallel[/mm] = [mm]\parallel v\parallel.[/mm]
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> Habe ich hier nur einen kleinen Denkfehler gemacht, oder
> ist meine komplette Theorie Müll?
Dein Denkfehler ist der, dass du von einer orthogonalen Abbildung ausgehst, die aber noch zusätzliche Eigenschaften hat, die du ihr rauben willst.
Tatsächlich musst du davon ausgehen, dass du irgendeine (!) - vielleicht ganz verworrene - Abbildung hast, z.B. eine Komposition aus mehreren Scherungen und Verzerrungen, die aber winkeltreu ist. Nun musst du nachweisen, dass diese sich als Komposition einer orthogonalen und einer homothetischen Abbildung darstellen lässt. Dies lässt sich m.e. nur so beweisen, dass du 2 Eckpunkte eines beliebigen Dreiecks fest wählst, einen dritten variablen Eckpunkt hinzufügst und von allen dreien die Bildpunkte betrachtest. Da sich ein ähnliches Dreieck ergeben muss, dürfte sich daraus die gesuchte Komposition ergeben. Vermutlich solltest du als einen der beiden festen Punkte den Ursprung wählen...
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> Vielen Dank schonmal im Voraus
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Was ist eigentlich mit der Spiegelung an der x-Achse( [mm] Matrix\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }?
[/mm]
Sie ist winkeltreu, lässt sich aber nicht durch Drehen (und Strecken) erzeugen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:24 Sa 09.06.2007 | | Autor: | Somebody |
Orthogonale Abbildungen sind nicht auf "eigentliche Drehungen" beschränkt. Die durch die Matrix
[mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }[/mm]
definierte Abbildung ("Spiegelung an der x-Achse") ist zweifellos orthogonal. - Insofern empfinde ich dieses Problem, wenn es denn für die ursprüngliche Aufgabenstellung eines sein sollte, nicht als gar so bitteren Wermutstropfen.
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Nur als kleine Zusatzbemerkung zum Vorschlag von HJKweseleit apropos Beweis der => Richtung.
Man könnte zunächst die inverse Abbildung von f als Zusammensetzung einer orthogonalen Abbildung ("in Ähnlichkeitslage bringen") und einer Homothetie ("auf gewünschte Länge strecken") nachweisen und daraus schliessen, dass f selbst ebenfalls eine Zusammensetzung aus orthogonaler Abbildung und Homothetie sein muss.
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